Автоматизированное проектирование и расчет шнековых машин - часть 27

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

2

)

1

(

1

)

1

(

2

2

)

1

(

1

)

1

(

2

2

)

1

(

1

)

1

(

2

2

)

1

(

1

)

1

(

2

2

)

2

(

1

)

2

(

2

2

)

2

(

1

)

2

(

2

y

y

x

x

t

y

y

x

x

y

y

x

x

k

−

+

−

∆

−

+

−

−

−

+

−

=

, 

(6.51)  

 
 
где 

t

x

x

x

∆

υ

+

=

1

)

1

(

1

)

2

(

1

, 

t

y

y

y

∆

υ

+

=

1

)

1

(

1

)

2

(

1

, 

t

x

x

x

∆

υ

+

=

2

)

1

(

2

)

2

(

2

, 

=

)

2

(

2

y

 

t

y

y

∆

υ

+

=

2

)

1

(

2

 – координаты  концов  линии 

раздела в начале и конце промежутка времени 

∆t. 

Для  практического  использования  подобного    способа  расчета  динамического  изменения 

концентрации в различных точках поперечного сечения смесителя необходимо задать начальное 
распределение компонентов. Здесь был использован статистический метод, основанный на пред-
положении,  что  в  начальный  момент  времени  распределение  концентраций  подчиняется  нор-
мальному закону. 

Для практического использования формул (6.47) – (6.51) необходимо знание плотности 

ρ и ко-

эффициента  диффузии  D.  Примеры  зависимости  этих  величин  от    концентрации  для  растворов 
натурального каучука в нефрасе C2-80/120 представлены на рис. 6.6 – 6.7. 
 

 

 

Рис. 6.6. Зависимость эффективного коэффициента диффузии  

от концентрации при набухании образца натурального каучука  

в нефрасе C2-80/120 

 

 

 

 

Рис. 6.7. Зависимость плотности раствора натурального каучука  

в нефрасе C2-80/120 от концентрации 

 

D

э

 

10

10

 

 
 

Рис. 6.8. Зависимость индекса течения раствора натурального каучука  

в нефрасе C2-80/120 от концентрации 

 
 
Кроме того, следует учесть, что в данном случае индекс течения среды в той или иной области 

зависит от концентрации упомянутого ранее раствора. Ранее упомянутые растворы НК в нефрасе 
C2-80/120 концентрацией около 10 % и меньше ведут себя как ньютоновская жидкость (рис. 6.8). 

 
 

6.1.3. Минимизация длины рабочих органов смесителя 

 

Как было отмечено выше, одним из наиболее перспективных способов интенсификации про-

цесса смешения и, следовательно, сокращения времени пребывания материала в рабочих органах 
смесителя, является использование таких смесительных элементов, которые вызывают в перера-
батываемом материале наибольшие скорости сдвиговой деформации. 

С  другой  стороны,  смесительные  кулачки  различной  формы  лучше  подходят  для  смешения 

материалов различной концентрации.  

Разработанная математическая модель позволяет прогнозировать процесс смешения в попе-

речном сечении пространства смешения, где определяющим является время нахождения перера-
батываемого материала в соответствующих зонах деформации. Деление на зоны должно учиты-
вать и точки ввода растворителя. Отметим также, что последовательный ввод растворителя по 
мере продвижения материала к выходному отверстию смесителя необходим потому, что в загру-
зочную зону нельзя подавать сразу весь растворитель, так как в этом случае неизбежно образова-
ние  в  готовом  продукте  агломератов  растворяемого  полимера  с  более  высокой  концентрацией, 
чем у окружающей основной массы (так называемых "бобов"). Для простоты расчетов полагаем,  
что  растворитель  вводится  на  границах  между  различными  зонами  деформации  (т.е.  зонами  с 
различной конфигурацией смесительных элементов). 

В  качестве  критерия  оптимизации  принимаем  общую  длину  рабочих  органов  смесителя  L

0

. 

Необходимо подобрать такие длины зон, чтобы L

0

 была минимальной: 

 

∑

=

i

i

L

L

0

.                                               (6.52) 

 
Так как L

i 

= 

υ ∆t

i

, то 

 
 

.

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1

1

0

1

1

2

0

1

2

1

0

















′

−

+

−

υ

=

=

′

−

υ

+

+

′

−

υ

+

−

υ

=

=

∆

υ

+

+

∆

υ

+

∆

υ

=

∑

−

=

−

n

i

i

i

n

n

n

n

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

L

K

K

              (6.53) 

 
 

С помощью разработанной математической модели можно построить зависимости изменения 

коэффициента неоднородности от времени пребывания в зонах с различной конфигурацией рабо-
чих органов и для различной средней концентрации композиции.  

Коэффициент неоднородности V

c

 на выходе из i-й зоны является начальным для следующей 

(i + 1)-й (рис. 6.9), поэтому 

)

(

)

(

1 i

i

i

i

t

f

t

f

′

=

+

.  Выразив отсюда 

)

(

i

i

i

t

t

ϕ

=

′

, подставим его в (6.53) и получим 

 
 

(

)

















ϕ

−

+

−

υ

=

∑

−

=

−

1

1

1

0

0

)

(

)

(

n

i

i

i

i

n

t

t

t

t

L

.                        (6.54) 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 

Рис. 6.9. К расчету минимальной длины смесителя 

 
 
Начальное и максимальное конечное значения V

c

 заданы, отсюда можно найти t

n

 и t

0

. 

Таким 

образом, 

для 

n 

зон 

общая 

длина 

смесителя 

L

0

 

в 

данном  

случае 

может 

быть 

представлена 

как 

функция 

n – 1 

переменной: 

L

0 

=  

= L

0

 (t

1

, t

2

, …, t

n–1

). Следовательно, для того, чтобы она имела экстремум (в данном случае мини-

мум),  воспользуемся  общим  приемом  дифференциального  исчисления.  Найдем  частные  произ-
водные от величины L

0

 по всем переменным t

i

 и приравняем их нулю: 

 
 





















=

∂

∂

=

∂

∂

=

∂

∂

−

.

0

;

0

;

0

1

0

2

0

1

0

n

t

L

t

L

t

L

M

                                             (6.55) 

 
 

В общем случае это система n – 1 нелинейных уравнений с n – 1 неизвестным. Для ее решения 

можно, например, использовать метод Ньютона-Рафсона. Если для аппроксимации зависимостей 
V

c

  от  t  удастся  подобрать  функции,  приводящие  систему  уравнений (6.55) к  

линейному виду, то для ее решения можно использовать метод Халецкого. 

t

t

… 

c 

= 

V

c 

= 

Скорость перемещения материала вдоль оси смесителя при заданной производительности за-

висит от его длины (6.9), поэтому для корректного определения минимальной длины L

0

 как сум-

мы длин отдельных зон L

i

 можно использовать итерационный процесс, блок-схема которого при-

ведена на рис. 6.10. Начальное приближение рассчитывается по формуле 
 

ρ

=

υ

S

Q

m

.                                            (6.56) 

 

Затем,  зная  t

i

  и  определив 

)

(

i

i

i

t

t

ϕ

=

′

,  можно  последовательно  найти 

∆t

i

,  L

i

  и  L

0

,  что  и  требова-

лось. 

 
 
 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис. 6.10. Блок-схема расчета минимальной длины смесителя 

Таким образом, разработанная математическая модель дает возможность прогнозировать динамику 

коэффициента  неоднородности  полимерных  композиций  при  смешении  в  зонах  с  различной  конфи- 
гурацией 

смесительных 

элементов 

и 

позволяет 

минимизировать 

дли- 

ну рабочих органов смесителя с учетом качества конечного продукта [75 – 77]. 

 

6.2. МОДЕЛЬНАЯ УСТАНОВКА И МЕТОДИКИ ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ 

ИССЛЕДОВАНИЙ 

 

6.2.1. Экспериментальная модельная установка 

 
С целью выявления  закономерностей течения перерабатываемых материалов в каналах ра-

бочих органов смесителей разработаны модельная установка и методика проведения эксперимен-
тов,  позволяющие  осуществить  проверку  адекватности  разработанной  математической  модели 
исследуемого процесса [78 – 79]. Схема модельной установки представлена на рис. 6.11.  

 
 

 

Решение системы уравнений (6.55) 

 

∑

=

ρ

=

υ

n

i

i

i

i

m

S

L

Q

L

1

р

 

н

н

υ

−

υ

конец

а

 

НЕТ