XII Олимпиада по нанотехнологиям (с решениями) - часть 24

 

 

 

 

Математика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Задача 9. Фуллерены 

 
Молекулы  фуллеренов  представляют  собой  выпуклые  многогранники,  составленные  из 
атомов  углерода*  и  имеющие  только  пяти-  и  шестиугольные  грани.  Воспользовавшись 
теоремой  Эйлера  для  выпуклых  многогранников,  рассчитайте,  сколько  одинарных  и 
двойных связей, а также пяти- и шестиугольников имеют фуллерены C

2017

 и C

2018

. 

 
* Каждый  атом  углерода  образует  две  одинарных  и  одну  двойную  связь  с  соседними 
атомами. 
 
Всего – 6 баллов 

186

 

 

 

 

Математика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Решение задачи 9. Фуллерены 

 

1.

 

Обозначим V = n – число вершин, тогда число ребер E = 1,5V = 1,5n (в каждой вершине 

сходится по 3 ребра, но каждое ребро принадлежит двум вершинам). 

 

а)

 

n  =  2017:  E  =  3025,5  –  ответ  не  имеет  смысла,  возможно,  данный  фуллерен  не 
существует. 

 
б)

 

n  =  2018:  E  =  3027,  из  них  одинарных  E

1

  =  2/3  E  =  2018  и  двойных  E

2

  =  1/3 

E = 1009. 

 

2.

 

Общее число граней можно записать как F = F

5

 + F

6

.  

 
Выразим  число  вершин  через  число  граней:  V  =  5/3F

5

  +  6/3F

6

  (каждая  пяти- 

(шестиугольная)  грань  дает  5  (6)  вершин,  но  каждая  вершина  принадлежит  трем 
граням). Тогда число ребер E = 1,5(5/3F

5

 + 2F

6

) = 2,5F

5

 + 3F

6

. 

 

3.

 

Запишем теорему Эйлера для выпуклых многогранников: V + F – E = 2. 
 
Таким  образом,  5/3F

5

  +  2F

6

  +  F

5

  +  F

6

  –  2,5F

5

  –  3F

6

  =  2  или  F

5

  =  12.  То  есть  любой 

многогранник, составленный из пяти- и шестиугольников, сходящихся в вершинах по  
три,  всегда содержит строго 12 пятиугольников. 

 

4.

 

Рассчитаем число шестиугольников: 

10

5

,

0

2

12

3

5

2

3

5

5

6















n

n

F

V

F

. 

 

а)

 

2017:  F

6

  =  0,5·2017  –  10  =  998,5  –  ответ  не  имеет  смысла,  возможно,  данный 

фуллерен не существует. 

 
б)

 

2018: F

6

 = 0,5·2018 – 10 = 999. 

 

187

 

 

 

 

Математика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Задача 10. Изомерия икосаэдрических фуллеренов 

 
Любой  икосаэдрический  фуллерен  можно  представить  в  виде  «выкройки»  на  графеновой 
плоскости (рис. 1).  
 

 

Рис. 1. Пример развертки икосаэдрического фуллерена C

140

  

на графеновой плоскости (n = 2, m = 1); если склеить  вершины треугольников с 

одинаковыми номерами, получится фуллерен. На графеновой плоскости отмечены 

единичные векторы r

1

 и r

2

 и показан задающий развертку вектор 

2

1

1

2

r

r

R











. 

 

Общее  число  атомов  при  этом  определяется  по  формуле  N = 





2

2

20

m

nm

n





,  где 

неотрицательные числа n и m – индексы хиральности – задают радиус-вектор 

2

1

r

m

r

n

R











, 

длина  которого  равна  стороне  треугольника  «выкройки».  Изомерными  называются 
молекулы  икосаэдрических  фуллеренов,  имеющие  одинаковое  число  атомов  N,  но  разную 
сумму индексов хиральности c = n + m. 
 

1.

 

Рассматривая  зависимость  c(n)  для  изомеров  произвольного  икосаэдрического 

фуллерена  C

N

  как  непрерывную  функцию,  найдите  значения  c

min

  и  c

max

.  Запишите 

индексы хиральности (n, m) для этих изомеров через 

20

N

X 

. (7 баллов) 

Возможно ли для реального фуллерена C

N

 одновременное существование изомеров с 

суммами индексов хиральности c

min

 и c

max

? (1 балл) 

 

2.

 

Икосаэдрический  фуллерен  C

242060

  имеет  шесть  изомеров.  Найдите  (n,m)  для 

изомеров  C

242060

,  имеющих  минимальное  и  максимальное  значение  c.  Поясните 

логику поиска. (8 баллов) 
 

В рамках задачи считайте фуллерены (n,m) и (m,n) одним и тем же изомером. 
 
Всего – 16 баллов 

188

 

 

 

 

Математика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Решение задачи 10. Изомерия икосаэдрических фуллеренов 

 

1.

 

  
1)

 

Запишем величину X как функцию от суммы индексов хиральности: 

 









n

c

n

c

nm

m

n

nm

m

nm

n

m

nm

n

N

X





























2

2

2

2

2

2

2

20

 

0

2

2









X

n

cn

c

 

 

Запишем c(n) как корень квадратного уравнения: 
 

 









2

2

2

3

4

5

,

0

2

4

n

X

n

X

n

n

n

n

c















 

(корень с вычитанием дискриминанта нам не подходит, так как 

0

m

,

n

,

c





). 

 
Для нахождения точки экстремума приравняем производную нулю: 
 

 









































2

2

3

4

3

1

5

,

0

3

4

6

5

,

0

1

5

,

0

n

X

n

n

X

n

n

c

 

0

3

4

3

1

5

,

0

2



















n

X

n

 

1

3

4

3

2



 n

X

n

 

2

3

4

3

n

X

n





 

2

2

3

4

9

n

X

n





 

X

n 

2

3

 

3

X

n 

 









3

2

3

3

1

5

,

0

3

3

4

3

5

,

0

3

2

X

X

X

X

X

X

c





































 

n

X

X

X

n

c

m













3

3

3

2

 

 
Рассчитаем  значение  второй  производной  в  данной  точке,  чтобы  установить 
характер экстремума: 
 

 









2

3

2

2

3

2

2

2

2

2

2

3

4

6

3

4

3

3

4

5

,

1

3

4

3

4

6

5

,

0

3

3

4

3

5

,

0

n

X

X

n

X

n

n

X

n

X

n

X

n

n

n

X

n

c



































 









 

0

3

2

3

6

3

3

4

6

3

2

3

2

3

2































X

X

X

X

X

X

X

c

  –  найденное  значение  n 

отвечает максимуму. 
 

189

 

 

 

Следовательно, минимальному значению функции 

 





2

3

4

5

,

0

n

X

n

n

c







 будут 

отвечать граничные условия: n = 0, c = m или n = c, m = 0. 
 

 





X

X

c











2

0

3

4

0

5

,

0

0

, m =  X . 

 
Таким  образом,  минимальную  величину 

X

c



min

  имеет  изомер  с  индексами 

(0,  X )  или  ( X ,0),  а  максимальную 

3

2

max

X

c



–  с  индексами 

(

3

X

,

3

X

). 

 
2)

 

Допустим, для некоторого N и, соответственно, X, существуют одновременно оба 
изомера.  Тогда  одновременно  должны  выполнятся  два  условия: 

0





X

  и 

0

3 



X

, что невозможно, так как эти две величины отличаются на множитель 

3

1

. 

 

2.

 

Рассчитаем величину X для икосаэдрического фуллерена C

242060

: 

 

12103

20

242060

20







N

X

. 

 

Как мы увидели выше, при существовании для заданного c изомера фуллерена (0,m) 
он  будет  отвечать  c

min

 = 

X

N



20

/

.  Ближайший  к  12103  квадрат  целого  числа 

равен 12100 (110: 11

2

 = 121), что чуть меньше 12103, а значит  12103  > 110. 

 
Поскольку  между  c

min

  и  c

max

  функция  c  больше  не  имеет  экстремумов  и  монотонно 

возрастает, то поиск 

0

min





c

, соответствующих изомеру фуллерена, нужно начинать 

со 111. 
 
Перебираем разные пары (n,m) для c = 111: 
 





12321

0

0

111

111

111

,

0

2

2











X

– нет, > 12103 





12211

1

1

110

110

110

,

1

2

2











X

– нет, > 12103 





12103

2

2

109

109

109

,

2

2

2











X

– находим искомый изомер. 

 
(Стоит  отметить,  что  если  бы  мы  не  нашли  на  этом  шаге  изомер,  т.е.  полученное 
значение  X  оказалось  бы  меньше  искомого,  то  нужно  было  бы  взять  следующее 
значение c

min

 = 111+1 = 112 и аналогично повторить поиск, перебирая пары индексов 

хиральности (112,0), (111,1) (эти 2 пары можно отбросить без рассмотрения, так как, 
очевидно, что отвечающие им значения X будут больше искомого), (110,2), (109,3), …, 
и повторять далее с разными c по возрастанию до тех пор, пока не найдется изомер.) 
 

3

12100

2

3

3

12100

2

3

12103

2

max









c

; 

17

,

127

3

12100

2



 

 
т.к. c монотонно возрастает и 

0





c

, то необходимо искать c

max

 начиная с 127. 

перебираем разные пары (n,m) для c = 127: 

190

 

 

 





12097

64

64

63

63

64

,

63

2

2











X

– нет, < 12103 





12099

65

65

62

62

65

,

62

2

2











X

– нет, < 12103 





12103

66

66

61

61

66

,

61

2

2











X

 – искомый изомер 

 
(если  бы  искомый  изомер  не  нашелся,  то  было  бы  необходимо  повторять  поиск, 
уменьшая c на единицу). 
 
Полный список изомеров икосаэдрического фуллерена C

242060 

 

(n,m)  (66,61) 

(77,49) 

(89,34)  (94,27) 

(98,21)  (109,2) 

c 

127 

126 

123 

121 

119 

111 

 

191

Конкурс тьюторов

Конкурс Тьюторов

Категория участников: студенты, аспиранты, молодые ученые, учителя, преподаватели

Конкурс руководителей школьных проектов - тьюторов.

Задание

В современной системе образования все более существенной становится роль тьютора –
преподавателя, наставника, курирующего проектную деятельность школьников. Очень
часто тьютор является ключевым звеном в выборе темы и обсуждении способов
достижения результатов, в мотивации школьников на выполнение проекта, помощником
в корректной интерпретации полученных результатов и поиске перспектив развития
проекта. Быть тьютором – значит быть неординарным человеком, сподвижником, ходячей
энциклопедией знаний, сосудом ярких идей. Ежегодный конкурс тьюторов призван
помочь нашей молодой школьной смене, обществу найти этих редких и крайне важных
людей, чтобы поделиться их идеями и достижениями, вдохновить школьников на новые
открытия и формирование их научного мировозрения.

 

Для участия в конкурсе Вам необходимо ознакомиться с положением и предоставить
паспорт проекта по предлагаемой форме (файл с заданием ниже).

192

 

 

Конкурс тьюторов (заочный тур) 
Форма заявки на участие в конкурсе – паспорт проекта 

 

Паспорт  проекта  предоставляется  на  конкурсной  основе  для  отбора  лучших 
руководителей  проектных  команд  школьников  и  рассматривается  как  внутренний 
конфиденциальный  конкурсный  документ  (не  публикуется  на  сайте,  школьникам  не 
передается).  Файл  заявки  в  формате  pdf  необходимо  загрузить  на  сайт  Олимпиады  в 
раздел  Конкурсы  –  «Конкурс  тьюторов»,  предварительно  создав  личный  профиль  на 
сайте Олимпиады или отредактировав (обновив) существующий. 
 
Часть A. Идентификационная. 
 

А1. Автор-руководитель проекта (не оценивается) 
Фамилия, имя, отчество куратора проекта полностью. 
 
А2. Статус, ученая степень (до 5 баллов)  
Указывается  текущий  статус  в  настоящий  момент  (студент,  аспирант, 
преподаватель и др.) и ученая степень (при наличии). 
 
А3. Организация (до 5 баллов) 
Место учебы / работы. 
 
А4. Перечень  достижений  в  науке,  технике,  работе  со  школьниками,  опыт 
образовательной деятельности (до 10 баллов) 
Краткое жизнеописание. Объем – до 2000 знаков. 
 
А5. Координаты для связи (не оценивается) 
Телефон, адрес электронной почты, сайт, соцсети (при наличии). 
 
А6. Название проекта (до 1 балла) 
 
А7. Краткая аннотация проекта (до 3 баллов) 
Объем – до 1000 знаков. 
 
А8. Научно-популярное описание проекта (до 8 баллов) 
Примерная  структура  блока:  введение,  состояние  дел  в  предметной  области 
проекта, актуальность, новизна, цель, задачи, рисунки, список источников. Объем – 
до 5 000 знаков. 
 
А9. Целевая аудитория школьников (не оценивается) 
Указывается,  для  школьников  каких  классов  предназначен  проект.  По  умолчанию 
предполагается, что проект будет реализован группой из 5 – 6 школьников. 

 

193