XII Олимпиада по нанотехнологиям (с решениями) - часть 23

 

 

 

 

Математика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Решение задачи 6. ДНК для хранения информации: от теории к 
практике 

 

 

Рис. 1 

 

1.

 

Поскольку  существуют  4  буквы  нуклеотида,  то  один  нуклеотид  будет  кодировать  2 

бита информации, 192 нуклеотида кодируют 192·2  = 384 бит информации. 
 
Сколько описанных в условии строк можно закодировать таким способом?  - Столько 
же,  сколько  чисел  можно  закодировать  8·2  =  16  битами,  т.е.  суммарно  2

16

  =  65536 

строк  (или  по-другому:  максимальный  номер  строки  будет  1111111111111111

2

  = 

65535;  всего  строк,  с  учетом  нулевой,  будет  65536).  Следовательно,  объем 
информации (в МБ) составит 384·65536/8/1024/1024 = 3 Мегабайта. 

 

2.

 

Файл содержит 19 строк, из которых 18 полных (содержат, как указано в условии, 200 

символов  нуклеотидов,  визуально  их  длина  одинакова)  и  одна  неполная  из  76 
нуклеотидов,  следовательно,  запись  файла  состоит  из  200·18  +  56  =  3656  символов 
нуклеотидов,  из  которых  информацию  кодируют  3656  –  19·8  =  3504.  Поскольку 
каждый  символ  кодирует  2  бита  информации,  то  исходный  файл  имеет  размер 
3504·2/8 = 876 байт. 

 

3.

 

Столько  же,  сколько  вариантов  сопоставить  значения  1  бита  (00  01  10  11) 

нуклеотидам (A C G T), т.е. 4! =  24. 

 

Расшифруем  код,  зная,  что  в  адресах  строк  закодированы  цифры  от  нуля  до  18  (19 
строк). Самая короткая последовательность – это, очевидно, самая последняя строка. 
Поскольку всего 19 строк, то ее номер 18,  следовательно: 
 

18 = 10010

2

 => 00 00 00 00 00 01 00 10 

2

   G G G G G C G T 

 

Следовательно, C = 01, G = 00 и T = 10 (A = 11 методом исключения). 

 

4.

 

Алгоритм. Читаем последовательно строки из файла image.txt, раскодируем согласно 

найденной в предыдущем пункте таблице соответствия, разделяем строку на номер и 
данные.  Записываем  данные  в  ячейку  массива  с  номером  строки.  После  прочтения 
всех  строк  перебираем  последовательно  строки  массива,  записывая  данные  в 
двоичном  виде  в  файл  image.png,  который  можно  открыть  в  любой  программе, 
умеющей  читать  распространенные  графические  файлы.  Это  –  упрощенный  логотип 
12-й олимпиады (см. заглавный рисунок). 

 

178

 

 

 

Исходный код программы (PascalABC.NET 

http://pascalabc.net/

): 

 

var  
  

{ для упрощения программы считаем, что строк не более 256 }

 

  

P : array[

0..255

] of 

string

; 

  txt : text; 
  png : file; 
  s : 

string

; 

  

{переменная с двоичным кодом, соответствующим последовательности нуклеотидов}

 

  

b : 

byte

;    

 
procedure decode(nuc: 

char

); 

begin 

{ 

(b  shl  2)  к  двоичной  записи

  b

,  добавляет

 

справа  2  нуля,  затем

 

мы  по  сути

 

«добавляем»

 

(справа)

 

двоичный код нуклеотида

  nuc. 

Важно

 

отметить, что поскольку 

переменная 

b 

имеет  тип  byte,  то  в  ней  не  может  "храниться"  более  1  байта  = 

8 

бит, т.е. 4 нуклеотидов

; 

последующее «добавление»

 

нуклеотидов по сути "затирает" 

двоичный  код  крайнего  нуклеотида  слева  и  добавляет  двоичный  код  нового

 

нуклеотида

 

справа:  выполнение 

decode

 

для  4

-

х  нуклеотидов  полностью  «вытесняет» 

из нее информацию о предыдущих 4

-

х нуклеотидах, чем мы далее

 

воспользуемся чтобы 

не  обнулять  каждый

 

раз  переменную

  b  (

поскольку  информация  о  номерах  строк  и 

данные  состоят  из  целого  количества  байт,  следовательно  закодированные  номера 
строк и информация в строках записаны кратным 4 числом нуклеотидов

). } 

 

case nuc of 

  

'A'

: b := (b shl 

2

) + 

3

; 

{A<=>11 

т

.

е

 3} 

  

'C'

: b := (b shl 

2

) + 

1

; 

{

С

<=>01 

т

.

е

 1} 

  

'G'

: b := (b shl 

2

) + 

0

; 

{G<=>00 

т

.

е

 0} 

  

'T'

: b := (b shl 

2

) + 

2

; 

{T<=>10 

т

.

е

 2} 

 

end; 

end; 
 
begin 

    

{  построчно  читаем  файл  image.txt  и  создаем  массив 

P

,  в  котором  номер 

элемента

 

равен 

номеру 

строки, 

а 

его 

значение 

- 

кодирующая 

данные 

последовательность }

 

assign(txt, 

'image.txt'

); 

reset(txt); 
while not eof(txt) do 
 begin 
  readln(txt, s);         

{ 

читаем

 

построчно

 'image.txt' } 

  

for var n := 

5 

to 

8 

do decode(s[n]); 

{ 

декодируем

 4 

нуклеотида

 

номера

 } 

  

P[b] := copy(s, 

9

, 

200

); 

{ заносим в массив 

P 

строку под декодированным №

b } 

 

end; 

assign(png, 

'image.png'

); 

rewrite(png); 

       

{ перебираем массив 

P 

пока в нем есть непустые строки }

 

foreach s in P do 
  for var n:= 

1 

to length(s) do  

{ 

перебираем

 

символы

 

нуклеотидов

 

строки

 }

 

    begin 
     decode(s[n]); 
     

{"заполненную" новой четверкой нуклеотидов переменную 

b 

пишем в файл}

 

     

if n mod 

4 

= 

0 

then write(png, b); 

    end; 
end.

 

 
 
 

179

 

 

 

 

Математика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Задача 7. Золотые октаэдры 

 
 

 O

 

 TO

 

а 

б 

 
Атомы золота могут образовывать кластеры в форме: 
а) октаэдра O с ребром n атомов и общим числом атомов 

 





3

2

3

n

n

n

O





; 

б) правильного  усеченного  октаэдра  TO  с  ребром  m  атомов  и  общим  числом  атомов 

 

6

24

33

16

2

3









m

m

m

m

TO

. На рисунке приведены примеры для n = 7  и m = 4. 

 

1.

 

Сколько  атомов  золота  приходится  на  каждую  грань  октаэдрического  кластера  с 

ребром  в  n  атомов?  (0,5  балла)  Выведите  общую  формулу  для  числа  атомов  в 
поверхностном слое золотого октаэдра S

O

(n). (1,5 балла) 

 

2.

 

Форму каких многоугольников имеют грани усеченного октаэдра? (0,5 балла) Сколько 

атомов золота приходится на каждый из них для кластера  TO с ребром в m атомов? 
(1,5 балла)  Выведите  общую  формулу  для  числа  атомов  в  поверхностном  слое 
золотого октаэдра S

TO

(m). (2 балла) 

 

3.

 

Как  правило,  при  близком  общем  числе  атомов  золота  более  предпочтительной 

является  форма  кластера,  имеющая  меньшую  площадь  поверхности.  Рассчитайте 
доли поверхностных атомов* для усеченного октаэдра с ребром m = 5 и для октаэдра, 
усечением  которого  он  получен,  и  сделайте  вывод,  какая  форма  кластера  золота 
будет более предпочтительной. (3 балла) 

 
* Доля  поверхностных  атомов  –  отношение  числа  поверхностных  атомов  к  общему  числу 
атомов. 
 
Всего – 9 баллов 

180

 

 

 

 

Математика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Решение задачи 7. Золотые октаэдры 

 

1.

 

Грань  октаэдрического  кластера  –  правильный  треугольник,  значит,  число  атомов 

золота, приходящееся на нее, равно треугольному числу: 

  



2

1





n

n

n

A

. 

Общее число атомов в поверхностном слое кластера O: 
 

 

 

6

12

8







n

n

A

n

S

o

  (атомы  на  8  треугольных  гранях  с  ребром  n  минус  повтор 

атомов  на  12  ребрах  плюс  атомы  в  6  вершинах,  которые  мы  сначала  четырежды 
прибавили  с  атомами  на  гранях,  а  затем  четырежды  вычли  вместе  с  атомами  на 
ребрах) 
 
или 

 









3

8

2

12

6











n

A

n

n

S

o

 (атомы в 6 вершинах плюс атомы на 12 ребрах без 

учета вершин плюс атомы на 8 гранях без учета вершин и ребер, посчитанных ранее). 
 
Упрощая, получаем: 

 

6

8

4

2







n

n

n

S

o

. 

 

2.

 

Грани, появившиеся на месте отсечения пирамидок, имеют форму квадратов с числом 

атомов  золота 

 

2

m

m

B



.  В  свою  очередь,  грани,  получившиеся  усечением 

треугольников  исходного  октаэдра,  имеют  вид  правильных  шестиугольников.  Число 
атомов,  приходящееся  на  них,  будет  равно  разности  числа  атомов  в  «исходном» 
треугольнике  и суммарного числа атомов в «отсеченных» треугольниках: 
 

 







 



 



1

3

3

2

1

3

2

1

3

2

3

1

3

2

3

2

























m

m

m

m

m

m

m

A

m

A

m

C

. 

 

Общее число атомов в поверхностном слое кластера TO: 

 

 

 

 

24

36

8

6









m

m

C

m

B

m

S

to

  (атомы  на  6  квадратных  (бывшие  вершины 

октаэдра) и 8 шестиугольных (бывшие грани октаэдра) гранях минус повтор атомов на 
36 ребрах (12 ребер октаэдра + 6·4 = 24 ребра, образовавшиеся при усечении вершин 
октаэдра)  плюс  атомы  в  24  вершинах  TO  (на  месте  каждой  из  6  вершин  октаэдра 
образовалось  4),  которые  мы  сначала  трижды  прибавили  с  атомами  на  гранях,  а 
затем трижды вычли вместе с атомами на ребрах) 

 

или

 

 









1

8

2

12

6











m

C

m

m

B

m

S

to

  (атомы  на  6  квадратных  (бывшие  вершины 

октаэдра)  плюс  атомы на  12  бывших  ребрах  октаэдра  без  учета  вершин  плюс  атомы 
на 8 шестиугольных гранях (бывших гранях октаэдра) без учета атомов, посчитанных в 
двух первых слагаемых) 

 

или 

 













1

8

2

6

2

36

24















m

C

m

B

m

m

S

to

  (атомы  в  24  вершинах  TO  (на  месте 

каждой из 6 вершин октаэдра образовалось 4 вершины TO) плюс атомы на 36 ребрах 
(12 ребер октаэдра + 6·4 = 24 ребра, образовавшиеся при усечении вершин октаэдра) 
плюс  атомы  на  6  квадратных  и  8  шестиугольных    гранях  без  учета  вершин  и  ребер, 
посчитанных ранее). 
 
Упрощая, получаем:

 

32

60

30

2







m

m

m

S

to

 

181

 

 

 

3.

 

 

1)

 

 

 

n

n

n

n

n

O

n

S

o









3

2

2

6

8

4

3

, 

13

2

15

2

m

3

n











 

 

 

39

,

0

1469

578

4407

578

3

13

13

2

6

13

8

13

4

3

13

13

3

2





















O

S

o

 

 

2)

 

 

 

6

24

33

16

32

60

30

2

3

2













m

m

m

m

m

m

TO

m

S

to

  

 

 

37

,

0

1289

482

6

5

24

5

33

5

16

32

5

60

5

30

5

5

2

3

2



























TO

S

to

 

 

3)

 

 

 

 

 

13

13

5

5

O

S

TO

S

o

to



  

 

Следовательно,  усеченный  октаэдр  –  более  предпочтительная  форма  кластера.  То 
есть, несмотря на то, что мы уменьшаем число атомов в кластере (что для однотипных 
кластеров  приводит  к  росту  доли  поверхностных  атомов,  см. 

   

n

O

n

S

o

),  при 

переходе  от  октаэдра  к  его  усеченной  форме  мы  наблюдаем  снижение  этого 
показателя,  что  свидетельствует  о  большей  стабильности  TO.  И,  действительно, 
начиная  с  некоторого  размера,  для  кластеров  золота  форма  усеченного  октаэдра 
становится более предпочтительной. 

 

182

 

 

 

 

Математика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Задача 8. Наноторы из нанотрубок: от больших к самому маленькому 

 

 

(1) 

 

 

(2) 

 
Если  вырезанную  из  листа  графена  фигуру  (рис.  1)  свернуть  и  затем  склеить  по 
горизонтальному «шву»  как показано на рис.  1 (а), то мы получим углеродную  нанотрубку. 
Сгибая  эту  трубку  и  склеивая  ее  торцы  (рис.  1  (б)),  мы  получаем  углеродный  нанотор, 
состоящий исключительно из шестиугольных граней. 
 
Для  любых  торов  величина  χ  =  V  –  E  +  F  (где  V,  F,  E  –  количество  вершин,  граней  и  ребер, 
соответственно), называемая Эйлеровой характеристикой, является постоянной. 
 

1.

 

Допустим, нанотор (1) содержит m шестиугольников. Рассчитайте, сколько вершин n и 

ребер E он имеет. (1 балл) Найдите χ для тора. (1 балл) 
 

2.

 

Выведите  формулу,  описывающую  в  общем  виде  зависимость  n  для  произвольного 

нанотора, содержащего пяти-, шести- и семиугольные грани, от числа граней каждого 
типа.  Основываясь  на  полученном  значении  χ,  определите,  существуют  ли  для 
наноторов  (как  в  случае  фуллеренов)  ограничения  на  количество  нешестиугольных 
граней? (2 балла) 

 

Хотя  при  получении  нанотора  (1)  склейка  (а)  листа  графена  в  нанотрубку  не  меняет  длины 
ребер  в  шестиугольниках,  склейка  (б)  невозможна  без  их  искажения.  Однако,  если  из 
нанотрубки удалить 6 сегментов, как показано на рис. 2, то можно получить тор (нанотор (2)) 
без  искажений  длин  ребер.  При  этом  в  местах  удаления  сегментов  образуются  пяти-  и 
семиугольники, число которых будет постоянно для всех наноторов такого типа (см. задачу, 

 

3.

 

Установите  формулы  (число  атомов  углерода)  самых  маленьких  торов  первого  и 

второго  типов.  (2  балла)  Постройте  их  развертки  на  плоскости  (как  показано  на 
рис. 1). (4 балла) 

 
Всего – 10 баллов 

183

 

 

 

 

Математика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Решение задачи 8. Наноторы из нанотрубок: от больших к самому 
маленькому 

 

 

 

(1) 

(2) 

 

1.

 

 

1)

 

Каждая  шестиугольная  грань  имеет  6  вершин,  но  каждая  вершина  принадлежит 
одновременно трем граням: V = n = 6/3m = 2m. 
 

2)

 

Каждая  шестиугольная  грань  имеет  6  ребер,  но  каждое  ребро  принадлежит 
одновременно двум граням: E = 6/2m = 3m. 

 

3)

 

Подставляя полученные ранее величины, получаем χ = V – E + F = 2m – 3m + m = 0. 
(Сравните с χ = 2 для выпуклых многогранников, в частности, для фуллеренов). 

 

2.

 

Запишем общее число граней F = F

5

 + F

6

 + F

7

.  

 
Тогда, аналогично п.1: E = 5F

5

/2 + 6F

6

/2 + 7F

7

/2 и n = V = 5F

5

/3 + 6F

6

/3 + 7F

7

/3. 

 

Запишем выражение, описывающее Эйлерову характеристику для тора: 
 

5F

5

/3 + 6F

6

/3 + 7F

7

/3 – (5F

5

/2 + 6F

6

/2 +7F

7

/2) + F

5

 + F

6

 + F

7

 = 0 

5F

5

/3 + 2F

6

 + 7F

7

/3 – 2,5F

5

 – 3F

6

 – 3,5F

7

 + F

5

 + F

6

 + F

7

 = 0 

5F

5

/3 + 7F

7

/3 – 2,5F

5

 – 3,5F

7

 + F

5

 + F

7

 = 0 

10F

5

 + 14F

7

 – 15F

5

 – 21F

7

 + 6F

5

 + 6F

7

 = 0 

F

5

 – F

7

 = 0. 

 
Таким  образом,  число  шестиугольных  граней  может  быть  произвольным, 
ограничений  на  него  не  накладывается,  число  пятиугольников  равно  числу 
семиугольников. 

 

3.

 

 

1)

 

Тип  (1).  Чтобы  склейка  была  ровной,  число  шестиугольников  в  «выкройке»  по 
каждому  из  направлений  должно  быть  четным.  Таким  образом,  минимальное 
число  шестиугольников  –  4,  тогда  число  вершин  V  =  2F

6

  =  8.  Отметим,  что  в 

реальности  такой  тор  не  может  существовать  из-за  огромных  искажений  C-C 
связей. Развертку см. рисунок в начале. 
 

184

 

 

 

2)

 

Тип (2). Шесть «удаляемых» сегментов дают нам F

5

 = F

7

 = 6·2 = 12 граней каждого 

типа.  Тогда  V  =  5·12/3  +  6F

6

/3  +  7·12/3  =  48  +  2F

6

.  Наименьшее  число 

шестиугольных  граней  равно  нулю,  тогда  число  атомов  углерода  составит  n  = 
5·12/3 + 7·12/3 = 48. Таким образом, минимальный нанотор без искажений связей 
имеет  формулу  С

48

  и  состоит  целиком  из  12  пятиугольных  и  12  семиугольных 

граней.  Очевидно,  что  семиугольные  грани  находятся  «внутри»  бублика,  а 
пятиугольные  –  «снаружи»,  следовательно,  комбинируя  их  можно  построить 
развертку (см. рисунок в начале). 

 
 

185