XII Олимпиада по нанотехнологиям (с решениями) - часть 22

 

 

 

 

Математика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Задача 4. Пористый материал 

 

 

 

Из некоторого вещества с истинной

1

 плотностью ρ = 3 г/см

3

 получили пористый материал M 

с удельной

2

 площадью поверхности пор S

уд

 = 500 м

2

/г. Известно, что все поры материала M 

имеют  форму  цилиндров  радиуса  r,  оси  этих  цилиндров  параллельны  и  расположены  друг 
относительно друга в вершинах квадрата со стороной 2,1r. 
 
Рассчитайте r (в нм), общую удельную

2

 длину пор l

п(уд)

 (в м/г), кажущуюся

3

 (ρ’) плотность (в 

г/см

3

) и величину пористости

4

 γ материала M. 

 
Подсказка: для удобства расчетов можно считать образец материала М кубом со стороной a. 
 

1

 Истинная плотность – это масса единичного объема сплошного материала без пор.  

2

 Удельная величина – это величина, отнесенная к единице массы образца. 

3

 Кажущаяся (средняя) плотность – это масса единичного объема материала с учетом пор. 

4

 Пористость – это величина, равная отношению суммарного объема пор к общему объему 

пористого материала. 
 
Всего – 10 баллов 

170

 

 

 

 

Математика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Решение задачи 4. Пористый материал 

 

По определению, пористость равна 
 







  









































































1

m

m

m

m

m

m

V

V

V

V

V

V

тв

п

тв

п

тв

п

, 

 
где 

тв

V

 – объем твердого вещества, 

2

r

l

V

п

п





 – суммарный объем пор, 

3

a

V

V

п

тв





 – общий 

объем материала (как куб со стороной a). 
 
То есть суммарный объем пор равен 





3

a

m

V

V

V

п

тв

п



















. 

 
Общая длина пор в кубе со стороной  a равна 

a

N

l

п





, где N – общее число пор в кубе со 

стороной a.  

В  то  же  время, 

2

2

2

1

,

2

r

a

N 

  (отношение  площади  грани  куба  к  площади,  приходящейся  на 

одну пору), то есть 

2

2

3

1

,

2

r

a

l

п



. 

 

Значит, 

2

3

2

2

3

2

2

1

,

2

1

,

2

a

r

a

r

r

l

V

п

п













, в то же время, 

3

a

V

п





. 

 

Выражая, получаем 

71

,

0

1

,

2

2









. 

 
Кажущаяся плотность равна 



 



86

,

0

71

,

0

1

3

1



















г/см

3

. 

 

Так  как  общая  длина  пор 

2

2

3

1

,

2

r

a

l

п



,  то  общая  удельная  длина  пор  равна 

 











2

2

2

2

3

1

,

2

1

1

,

2

r

m

r

a

m

l

l

п

уд

п

.  В  то  же  время,  удельная  площадь  поверхности  всех 

цилиндрических пор составляет: 

 

 

r

l

S

уд

п

уд

п



2



. 

 
Тогда  

 

 











2

2

1

,

2

1

2

r

r

S

l

уд

п

уд

п

 и 

 















6

2

2

10

86

,

0

500

1

,

2

2

1

,

2

2







уд

п

S

r

 3,31·10

-9

 м = 3,31 нм. 

 

 

 











9

10

31

,

3

2

500

2





r

S

l

уд

п

уд

п

2,41·10

10

 м/г. 

или  

 























6

2

9

2

2

2

10

86

,

0

10

31

,

3

1

,

2

1

1

,

2

1



r

l

уд

п

 2,42·10

10

 м/г.

 

171

 

 

 

 

Математика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Задача 5. Полые металлические кластеры 

 

 

 

а 

б 

Рис. 1. Пример для (n,m) = (4,4): а) Единичные векторы r

1

 и r

2

,  результирующий вектор 

2

1

4

4

r

r

R











. б) Развертка, задаваемая вектором R: если вырезать по периметру фигуру 

развертки и, сгибая по красным линиям, склеить в замкнутую оболочку, то получится 

ПМК M

N(4,4)

 (при этом, в местах склейки вершин атом металла вместо шести- 

координированного становится пяти- координированным). 

 
Поверхность  полого  высоко  симметричного  металлического  кластера  (ПМК)  M

N(n,m)

  можно 

представить  в  виде  «выкройки»  из  плотноупакованного  листа  атомов  металла  M.  Такая 
«выкройка»  состоит  из  20  одинаковых  равносторонних  треугольников  (рис. 1).  Чтобы 
однозначно  ее  выбрать,  достаточно  задать  относительное  расположение  центров  двух 
будущих  пяти-  координированных  атомов  M  на  листе,  которое  определяется  вектором 

2

1

r

m

r

n

R











 (суммой единичных векторов с коэффициентами n и m). 

 

1.

 

Сколько  атомов  металла  содержит  кластер  M

N(4,4)

?  Ответ  подтвердите  расчетом. 

(1 балл) 
 

2.

 

Форму и симметрию какого многогранника имеют кластеры M

N(n,m)

? (0,5 балла) 

 

3.

 

Оцените* размер ПМК M

N(4,4)

 из атомов золота радиусом 0,144 нм. (2 балла) 

 

4.

 

Сколько  атомов  металла  N(n,n)  будет  в  ПМК  M

N(n,n)

  при  произвольном  значении  n? 

(1,5 балла) Выведите формулу количества атомов N(n,m) для произвольных значений 
(n,m). (3 балла) Сколько пяти- и шести- координированных атомов (то есть, имеющих 
пять и шесть соседей, соответственно) содержит такой ПМК? (0,5 балла) 

 

5.

 

Каким  образом  надо  расположить  атомы  углерода  относительно  атомов  M  в  ПМК, 

чтобы  они  «сложились»  в  фуллерен**?  (0,5  балла)  Как  относительно  атомов  M  в 
исходном  ПМК  располагаются  вершины,  ребра  и  грани  такого  фуллеренового 
многогранника? (0,5 балла) Найдите все значения (n,m) для ПМК, которым отвечают 
самый маленький фуллерен C

20

 и бакибол C

60

. (2,5 балла) 

 
* Можно воспользоваться справочными формулами. 
**  Фуллерен  -  каркасная  молекула  из  атомов  углерода,  каждый  из  которых  связан  ровно  с 
тремя соседними, а сами эти связи формируют исключительно пяти- и шестиугольные грани. 
 
Всего – 12 баллов 

172

 

 

 

 

Математика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Решение задачи 5. Полые металлические кластеры 

 

1.

 

N(4,4) = 162  

 

1 способ: 20·15 (грани) - 30·5 (ребра) + 12 (вершины). 
2 способ: как отношение общей площади к площади, приходящейся на один атом M. 

 

2.

 

Икосаэдр 

 

3.

 

Радиус  описанной  вокруг  икосаэдра  сферы





ico

ico

a

R

4

5

5

2 



,  где  длина  ребра 

икосаэдра 

Au

ico

r

a

8



,  тогда  радиус  сферы,  описанный  вокруг  золотого  ПМК 





Au

Au

Au

ico

r

r

r

R

R











5

5

2

2

  (так  как  радиус-вектор  соединяет  центры  атомов 

золота).  

 

R = 1,24 нм, размер 2,48 нм.  

 

4.

 

 

1)

 

N(n, n) = 10n

2

 + 2 – как n-я оболочка икосаэдрического кластера. 

 
2)

 

Число  атомов  в  ПМК  с  произвольными  (n,m)  находим  как  число  атомов  M, 
приходящихся  на  площадь  поверхности  соответствующего  икосаэдра,  с  учетом 
поправки для  атомов вершин (в сумму площадей они входят как 20·(1/6)·3 = 10 
вместо 12). 

 





2

10

2

20

2

,

2

2



















m

nm

n

S

S

S

S

m

n

N

M

M

ico

 

Здесь S

ico

 = 20S

Δ

 – площадь икосаэдра, S

Δ

 = 

2

2

3

R



 – площадь треугольной грани 

икосаэдра,  S

M

 = 

2

2

3

r



  –  площадь,  приходящаяся  на  один  шести- 

координированный  атом  металла, 

2

1

r

r

r











  –  длина  единичного  радиус-

вектора. 

 

Выражение для нахождения длины вектора 

2

1

r

m

r

n

R











: 

 

 





2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

1

2

r

m

nm

n

5

,

0

nm

r

2

r

m

r

n

60

cos

r

m

r

n

2

r

m

r

n

R











































 

3)

 

Число  пяти-  координированных  атомов  постоянно  и  равно  12,  число  шести- 
координированных составляет 10(n

2

 – nm + m

2

) – 10. 

 

5.

 

 

1)

 

Надо между тремя касающимися друг друга атомами  M расположить по атому 
углерода, тогда: 
 



 

шести- координированные атомы M будут в центрах шестиугольных граней 
фуллеренового многогранника, пяти- координированные – пятиугольных;  



 

ребра фуллерена будут перпендикулярны  «ребрам» (линии  контакта атом 
металла – атом металла) в ПМК M. 
 

173

 

 

 

2)

 

C

20

: 12 пятиугольных граней => 12 пяти-координированных атомов в ПМК => два 

способа выбрать пару индексов ПМК – (1,1) и (1,0) (n

2

 – nm + m

2

 = 1). 

 
С

60

: 20 шестиугольных и 12 пятиугольных граней => 32 атомов в ПМК => 

10(n

2

 – nm + m

2

) + 2 = 32, n

2

 – nm + m

2

 = 3 => (2,1): 4 – 2 + 1 = 3. 

174

 

 

 

 

Математика для школьников 7 – 11 класса (заочный тур) 
Задача 6. ДНК для хранения информации: от теории к практике 

 
Молекулы  ДНК  обладают  одной  из  самых  больших  плотностей  хранения  информации. 
Недавно  группа  ученых  предложила  способ  кодирования  информации  с  использованием 
адресной  записи  в  короткие  последовательности  нуклеотидов.  Например,  ученые  смогли 
закодировать в ДНК, а затем успешно прочесть разнообразные файлы с данными, включая 3 
изображения  (рис.  1)  и  даже  операционную  систему.  Такой  способ  позволяет  быстро 
находить  и  считывать  только  нужные  фрагменты  данных,  не  требуя  технически  сложно 
реализуемых чтения и записи длинных молекул ДНК. 
 

 

Рис. 1 

 
Рассмотрим пример использования такого способа кодирования информации (рис. 2). Файл, 
состоящий  из  логических  нулей  и  единиц,  кодируется  последовательностью  нуклеотидов, 
записанной  4  буквами  (A,  C  G,  T),  которая  содержит  такое  же  количество  информации.  Эта 
последовательность  затем  разбивается  на  строки,  содержащие  не  более  192  нуклеотидов 
(блок II, рис. 2). Порядковый номер строк (начиная с 0) называется адресом и кодируется в 
последовательности из 8 нуклеотидов (блок I, рис. 2), для этого он записывается в двоичном 
виде и кодируется тем же кодом, что и остальные данные. 
 

 

Рис. 2 

 

1.

 

Найдите,  какой  максимальный  объем  файла  (в  мегабайтах)  можно  закодировать 

таким способом. (2 балла) 

 
Далее  приведены  все  прочтенные  ДНК-цепочки  (расположенные  в  случайном  порядке), 
отвечающие некоторому файлу-изображению. 
 

2.

 

Сколько  строк  и  символов  нуклеотидов  содержит  такая  запись  файла,  (1  балл) 

рассчитайте размер (в байтах) исходного файла изображения. (1 балл) 
 

175

 

 

 

3.

 

Сколько  возможных  вариантов  нуклеотидного  кода  существует  для  такой  записи 

файла? (1 балл) Установите, каким вариантом кода было закодировано изображение. 
(3,5 балла) 

 

4.

 

Напишите  программу*,  с  помощью  которой  можно  будет  раскодировать  эту  ДНК-

запись  изображения,  и  опишите  вкратце  алгоритм  ее  работы.  Что  изображено  на 
закодированной картинке? (8,5 баллов) 

 

GGGGGGTGCTGTGAGCGCGCGGACCGGCCGAGTATCCCCTATTCTAAATAAGAACTCTTTTGTCACCATTATACTAACT

GAATATTCCCGCGAGGGCGTTTCGTACCCTTCGAAGGATCACTCATTCATCCGGATTTAAGCAAGACGTGAACAGTTCTG
TCAGACGTCTCTCGACCTGTCAGTCTCTTCTTGGCGGTGGA 

GGGGGGATCGGCGGCTTCACTACTCTACAACCAACAACGGACGGCTACCAAGGGTGTAGAGCGATAGAGGCAACAACCC

CTAGACCTAGCCACGCAACAACCTGACCTTGACAGGCCCGCGCGGTAGAAGGCTTTATAATTCGAGCTTGCCTAGTAGAC
TGGTAGATTAGCGCAGTACGGGGCCGCAATAAGTTCCGGTA 

GGGGGCGTGGGGGGGGGGGGGGGGCGTCCGCCCGATCGCGTTATCGGTCTGGTGGT 

GGGGGGAGAATCGTAAAGACGGTGCCTCATCACAAACTTCCCAGAAGAGTCGCCGAGCTCGGCTTCAGTCGGAGTTTAG

GTGCGGGTGTTTCACAGGCTGGCCCCCGTGCTCGAGTGTTTCGTAGCTTCCTCACGTTGTGGGTGTTTCGTGTCGGTTTT
TAGTGGACGTTCGACCTCACCCTACGACCCAAGCTACTAGA 

GGGGGGGAGGTTTTTCGGAGCATCACACAGTCTCGTCGCTTCATCAATCGCCGACTAACCAACGCGTATCCAATCAAAG

AACTCGAACAATCCACCTAACGGCTGACCCGGCGCACCCAATGCATGTGGAATCATGCGTATACGGGGCTAATACGCCAG
CGGGAATCTCGGCCGAGTTTATGGCTGATAATGTAAGAGTA 

GGGGGGCGTCCTTTTCTTATGACCGGTGCCTGGTTCCCTGCTCGCCGCACCTTACAATGGCACAATGCGGTTAACAATC

TCTTGCAATTCGGCAATTGTGAAAGGCGCGTGACACCGGGAATCCGACATCACAATATTTCTGGATGGGTTTGTCTCTAT
GCTAGAGACTGTGCGGATAGCCGATCATTACCTGCCTCGTC 

GGGGGGCTTAGGATCGTGGTATCACCGATTCTAAGACTGTCCCCGCTCATGGCATTGAGTCGCCAACTTGGAGGTGCCC

TCCCCCCCCCCCCACCCATTCCACGGCTTGCTTCACGCGTATTCTAGATCCCAGGATCGTATCTTAACGGGCAAGATAAT
CCTCATGGCCCGCTAAGAGATGGGGCGGTGAGCCGGAGCAT 

GGGGGGCAAAAGGGCATTGCAAGAGCTTGTCGGTAGGAACTTAGTTTCCTAACTTCCAAGAAGAGGCGGATGCCCCGCG

GGTCAGACTAATTGTTTCACTTTAGTCAAACGCGAGACTTAGTGTTTAAAGCGAATCGCCCTCAGCGCGGATCTCCAACA
ATATGCCGGTCACCTCAGAGTTCATGTGCCCAATAGAAGCG 

GGGGGGAACAGCTCGGGGGACATTGCACACGGATCTGGATGCCTTCTAGTGGATCTGTTTGACCCCCTACTGTATCTGC

AGGTGGAACTATGGCTCCTATTGGTGTGTTCGCGCCGGAAGCTTCGGCCGCGGATATGGATGGCCCCGTAGCGTATAGCG
TTGAGGACCCCAAAATCGGCCGCCCGTTGATGCTTAGTAGC 

GGGGGCGCTTGTGTGACGGCACCATCGGTCGACTGGTCGTCCGCTGTTTGGCAAATCACTTAGAACGATTAGACTACAA

AGGCTATACCGCCTCCTTCGGAGTAATCCGGGTTACTGTTCAATTCGGCTCGCGCACGTCCCCTCTTCATGTTCTAGCGG
CCAATGGGCCCATTTGACTATAGTGCCGGCATGATTCTGGA 

GGGGGGTCACAGTACCACAACTTAGGATGTTCAAGAAACGGAGTTAGATTCAGATCGAGATCCCGAATGCAAAGCGATA

CACGAAGATTAGGGCAGAGTTAGTGCTTGCACGTTTTTTCGCCGAAGATATACACCCACTACCGTTAAGACGTGCTCTTC
CCAGGTCCTAGTGCTTAAGGCGGGAACGAAACGAGCATATT 

GGGGGGTTTTATATTATATTTTATTATAACACCTATCGGACTGAACCGTAATCCACGTGTTTGAACTCTACATCTCGCC

TACTGAATATTCCATGAGCCCTACAAAAGTGACTCTAACACTGTCTCTATAACACTCTTTAATATATGGCCGCACATTCC
CCTTAGAGCCGGAGCATGAGGTTTGACGTGAATAAACCCGC 

176

 

 

 

GGGGGGTATGAGTGATACACTACCTGAATTCTTATCATGGGGCGAAACTTTGGCTAATTCTCACCGAAAGCGATTGCAC

GCGCCTATGCCTGTCAGTGAGCCGCAGTTCATCGCCAGGGACCAAACCACTTAAACGCGATCTAGGATTTTGAACGATCC
CGACGAATCGACCGTGCCGGATCGCCCAAGCGAGAGTGCCG 

GGGGGGGCGAGGGGAGCCCCGGAGGGAAGCTCCAGATGGGGCAGTTGACGTACGCTGGCAGCACCATATGACAATGGCG

TCGCCGGGCGGGACGCCATAACCGGAATGGTAGCGCCGAAGATCTGTGTGAACCGGGAGCTCGAGCACCGGCAGGGATGG
TGTTTCCGCGCCGGTACAGTCGAAATCCTCGCGGCGGAGTG 

GGGGGGACGAGCTGTGCATACTTGTACCTTACCTAACTGTGTCAAGGCGTGCAGAGTTATCGGGAATACGACATGACAA

CATCTGCGCCGCAGAGCGGCAGAGTTCCCAGGCGCATGTTGACCTCCTTGTGATATTTAATTATGGACAGTGTAAGGCCG
TGAGATACCTTATATTATACTCTACCGGCTGAGAACGACCC 

GGGGGCGGGACTCCGAGATCGGTATACCTCCTCGTAAATGGTGCGTCCTAGCAGGGTTTACTGGTCGTTATCGCAGAAT

GCGATTCTTACTCTGAAGCCATCGTGTGGGTCTCTGGTTCCTAGCGCAGGTTCTGGACGTCTGGGCGCGCCGGTAGGCCT
GATGCTGTCATGTAAGAGCTCCGGCCTCGTTGTGTCAGGTA 

GGGGGGGGTGTCCCGGCGATCGCAGGACGGTTGCTTGGTTGGGGGGGGGGGGGGACCGTCCGTGCGCGCCGTGGGGGGG

GGGGGTCAGGGGGGGGGGGGGGAGGGGTGGGGTGGGGGGGGGGGGCTTAGGCGTGCGTGAAGGGGGGGGGGGAGAGACGT
CCGCGCGGCCCCGCATGACTTATACCCTAGATACTATAGGA 

GGGGGGGTGACTGTACTCGCATAATCGCTCCGGTCCGTCATATATAATATAATCCCGGTGGTAAGTTCGGCGGGGTGTG

CCCCCCTCGGGGACCGTATTTACCTTAACGATCGGTTGCAGTATGGCAGTCTTCTAAAAGACAGGGTCCTGTGCCTCCCC
TCGTCTTCTCAGTGCGGGACATACTTGCGCCCGTGCTTAAG 

GGGGGGCCTTGGTAATTATAATTTCGCACATGGCACCCTAAATCCCGATGTTCAAATTTCCATGAGTCAAGAAATCGCA

GTGCAAGCCATTAACTATCTACCGTCTTTTAAAACAAGAAAGCATGGAATTCCACCGAGCAAATAGATAATCCTTATCGG
AAAGACTACGCGCCATCCTAATGATGTATACTCTCTTGTCG 

 

Всего – 17 баллов 

 

177