Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 140

Задачи.

4 задачи, время – 140 мин., 60 баллов

№№ задач

Кол-во баллов

Задача 1 (12 баллов).

Фирма «AVC» является совершенным конкурентом как на рынке конечного продукта, так
и на рынке труда. Труд является для данной фирмы единственным переменным фактором
производства. Производственная функция фирмы имеет вид

где

– объем выпускаемой продукции,

– объем нанимаемого труда. На рынке

конечного продукта установилась цена, равная 60.

При каком максимальном значении зарплаты одного работника фирма останется на рынке
в краткосрочном периоде?

Решение 1

(простое, не требует знания производной):

Выведем функцию переменных издержек фирмы.
Выражая из производственной функции, получаем

(2 балла)

Значит,

(2 балла)

Значит, функция средних переменных издержек фирмы имеет вид

(2 балла)

Средние переменные издержки достигают минимума, когда выражение в квадрате равно
нулю. Значит, минимум

равен

(3 балла)

Фирма останется на рынке, если цена не меньше, чем минимум средних переменных
издержек, то есть если

. Отсюда

.(3 балла)

Название фирмы является намеком на этот простой метод решения.

Решение 2

(громоздкое, требует знания производной и одного специального факта):

Есть такой факт: фирма останется на рынке, если зарплата не больше, чем максимум
среднего продукта труда в денежном выражении

(2 балла)

Найдем этот максимум.

(2 балла)

Производная этого выражения равна:

Обладая недюжинной интуицией, можно угадать корень этого выражения:

балла)

Производная в этой точке меняет знак с плюса на минус, значит это действительно точка
максимума.

(2 балл)

Значит, максимальный средний продукт труда в денежном выражении равен

(2 балла)

Ответ:

фирма останется на рынке при

Задача 2 (15 баллов).

Рынок  виджетов  совершенно-конкурентен.  Государство  хотело  бы  ввести  на  данном
рынке потоварный налог, причем так, чтобы сумма налоговых сборов была максимальна.
Проблема  заключается  в  том,  что  оно  не  знает  точно,  какой  вид  имеют  постоянно
меняющиеся функции спроса и предложения виджетов. Оно обладает лишь информацией
о  том,  что  эти  функции  линейны;  кроме  того,  в  каждый  момент  времени  оно  может
наблюдать равновесный объем и равновесную цену виджетов.
Изначально  наблюдаемые  цена  и  количество  равны  100.  Исходя  из  этого  и  прошлых
наблюдений,  статистический  отдел  оценил  функции  спроса  и  предложения  как

200







соответственно.

Эти уравнения были затем использованы для определения ставки потоварного налога

при которой сумма налоговых поступлений (для этих предполагаемых функций)
максимальна.
Когда налог по ставке

был введен, оказалось, что цена, уплачиваемая потребителем,

выросла до 125, а равновесное количество сократилось до 40.
(а) Найдите

и полученную государством сумму налоговых поступлений

(5 баллов).

(б) Определите, какими уравнениями в действительности описываются спрос и
предложение на рынке виджетов (в ответе запишите зависимости количества от цены, а не
наоборот)

(6 баллов).

(в) Является ли полученная государством сумма налоговых поступлений действительно
максимальной? Если нет, то найдите максимально возможную сумму налоговых
поступлений

.(4 балла)

(Решение и ответ можно записать в виде обыкновенных дробей).

Решение:

(а) При приведенных функциях спроса и предложения и установлении ставки

равновесный объем будет равен

( )

100 0,5

Q t





, а сумма налоговых поступлений

( )

( ) 100

0,5

T t

t Q t

 





(2 балла)

Сумма налоговых поступлений максимальна в

вершине этой параболы, откуда получаем, что

100



— эту ставку ввело государство

балл)

. Однако сумма налоговых поступлений, полученная государством, вовсе не равна

(100)

, так как гос-во «не угадало» функции спроса и предложения. Так как в

действительности новый равновесный объем составил 40, сумма налоговых поступлений
равна

(2 балла)

100 40

4000





(б) Мы знаем, что спрос линеен, и что графику спроса принадлежат две точки — (100;
100) и (125; 100). Значит,

340 2, 4





(3 балла)

Цена производителя в равновесии с налогом равна

125 100





. Значит, функция

предложения проходит через точки (25; 40), (100; 100). Отсюда получаем, что

20 0,8





(3 балла)

(в)  Теперь  просто  найдем  максимальную  сумму  налоговых  поступлений  для  настоящих
функций  спроса  и  предложения.  Применяя  стандартную  технику,  легко  найти,  что  для
получения  максимума  налоговых  поступлений  нужно  было  ввести  налог  по  ставке

балла)

250



. Максимальная сумма налоговых поступлений при этом равна

12500

4000



(2 балла)

Ответ:

(а)

100



, (б)

340 2, 4





20 0,8





. (в)

max

12500



Задача 3 (15 баллов).

Компания «Чудесный вкус» производит различные ароматические добавки для кулинарии
и  косметики.  Среди  ее  продукции  есть  уникальная  концентрированная  добавка
«Орхидея»,  единственным  производителем  которой    является  «Чудесный  вкус».
Производственный  процесс  «Орхидеи»  и  ее  потребительские  качества  вынуждают
компанию  осуществлять  выработку  этого  продукта  и  доставку  его  оптовому  закупщику
ежедневно,  причем  доставка  должна  осуществляться  при  специальном  температурном
режиме. Изучение спроса на «Орхидею» позволило определить, что ежедневная функция

спроса имеет вид

 





, где

- объем потребления в кг, а

- цена в тыс. рублей.

«Чудесный  вкус»  может  осуществлять  доставку  этого  товара  закупщику  самостоятельно
или  пользуясь  услугами  транспортной  компании.  При  самостоятельной  доставке
ежедневные  расходы  компании    составляют









тыс. рублей, где



—

показатель уровня загруженности дорог (





). Использование услуг транспортной

компании влечет ежедневные расходы (

1000) тыс. рублей. Поскольку «Орхидея»

является  побочным  продуктом  одного  из  технологических  процессов  компании,  можно
считать,  что  предельные  издержки  его  производства  равны  нулю.  При  каких  значениях
уровня  загруженности  дорог  «Чудесный  вкус»  будет  осуществлять  доставку  «Орхидеи»
самостоятельно?  (Считайте,  что  «Чудесный  вкус»  не  может  часть  продукции  доставлять
самостоятельно, а часть — с помощью транспортной компании).

Решение:

Компании выгоднее будет осуществлять доставку самостоятельно, если прибыль ее в этом
случае будет выше, чем при использовании услуг транспортной компании.
1)

Найдем прибыль компании при использовании услуг транспортной компании.

Задача монополиста «Чудесный вкус» при обратной функции спроса

 

120





имеет

вид:





max

1000

120









(2 балла)

откуда максимальное значение прибыли

достигается при

(3 балла)



, тогда



200





Найдем теперь прибыль компании, если доставку груза она осуществляет

самостоятельно. Задача монополиста имеет вид:





max

120











(2 балла)

откуда максимальное значение прибыли

достигается при

(3 балла)

120







, тогда

240











120









Компания «Чудесный вкус» будет доставлять продукцию самостоятельно, если







Если







, то ей будет безразлично, доставлять продукцию самостоятельно

или пользоваться услугами транспортной компании

(1 балл)

. Найдем, при каких

значениях

 

;





будет иметь место







, или





120

200







Функция, стоящая в правой части, монотонно убывает по

при





Поэтому если окажется, что неравенство верно при

10, оно будет верно и при всех

 

;





. Однако при

10 оно верно, в чем можно

убедиться с помощью непосредственной подстановки.

Получаем, что при любом допустимом уровне загруженности дорог компания «Чудесный
вкус» будет осуществлять доставку продукции самостоятельно.

(4 балла)

Ответ:

см. в решении.

Задача 4 (18 баллов).

На некотором рынке есть три равные по численности группы потребителей, функции
спроса которых одинаковы и задаются уравнением



где

— совокупный доход группы,

— рыночная цена. Доходы трех групп равны 10, 20

и  40  и  внутри  групп  они  распределены  равномерно.  Кроме  того,  на  рынке  есть  две
совершенно-конкурентные  фирмы,  функция  предложения  каждой  из  которых  линейна  и
выходит  из  начала  координат.  Фирмы  не  несут  постоянных  издержек.  Фирма,  имеющая
меньшую долю рынка, в равновесии производит 1 единицу продукции.
Один  исследователь  заметил  интересный  факт:  в  равновесии  коэффициент  Джини,
который характеризует неравенство прибылей двух фирм, в точности равен коэффициенту
Джини, который характеризует неравенство доходов потребителей.
Найдите равновесную цену.

Решение:

Найдем коэффициент Джини, характеризующий неравенство доходов потребителей.

Прямые подсчеты показывают, что он равен

(5 баллов)

По условию, функции предложения двух фирм задаются уравнениями



(1 балл)

Не нарушая общности, будем считать, что

a b



Из геометрических соображений видно, что максимальная прибыль каждой фирмы равна

половине выручки, и значит, при цене

она равна

P aP





P bP





для двух

фирм соответственно

(3 балла)

. (Прибыль можно посчитать и с помощью восстановления

TC из MC). Таким образом, доля прибыли фирмы, получающей меньшую прибыль, в

суммарной отраслевой прибыли, равна

0,5

a b



 





(1 балл)

что не

зависит от цены и потому существенно упростит наши расчеты.
Таким образом, коэффициент Джини, показывающий неравенство прибылей фирм, равен

a b



 



 



(2 балла)

По условию, он равен «потребительскому»

коэффициенту Джини, а значит,

a b







, откуда

a b





(1 балл)

С другой стороны отношение выпуска первой фирмы к рыночному выпуску также равно

aP bP

a b





(1 балл)

Мы знаем, что выпуск первой фирмы (меньший из двух)

равен 1, и значит, рыночный выпуск в равновесии равен

(1 балл)

Наконец, в равновесии цена должна быть такой, чтобы величина рыночного спроса в
точности равнялась этому рыночному выпуску:

10 20 40





(2 балла)

откуда



(1 балл)

Ответ:



Задания

для регионального этапа

XVIII всероссийской олимпиады школьников по экономике

в 2012/2013 учебном году

2 февраля 2013 г.

РЕШЕБНИК

Тесты

Тест 1.

Тест включает 5 вопросов типа «Верно/Неверно». «Цена» каждого вопроса –

1 балл

Итого по тесту 1 - 5 баллов

Тест 2.

Тест включает 10 вопросов типа «5:1». Из нескольких вариантов ответов нужно выбрать
единственно верный ответ.

Вопросы с 6 по 15

включительно оцениваются в

2 балла.

Итого по тесту 2 - 20 баллов.

Тест 3.

Тест включает 5 вопросов типа «5:N». Из нескольких вариантов ответов нужно выбрать
все верные ответы.

Вопросы с 16 по 20

включительно оцениваются в

3 балла.

Итого по тесту 3 - 15 баллов.
Всего по тестам можно набрать 40 баллов

Время – 60 минут.

Тест №1. Выберите единственный верный ответ

(Всего 5 баллов: 1 балл за верный ответ и 0 баллов при неверном ответе)

1. Если 1 доллар США стоит 0,8 евро, то 1 евро стоит 1,2 долл. США.

1) Верно 2)

Неверно

2. Чтобы достичь максимального темпа экономического роста, государство всегда
должно стремиться минимизировать уровень безработицы.

1) Верно

2) Неверно

3.  На  рынке  монополии  присутствует  фирма  А.  Фирма  Б  объявила  о  выходе  на
данный  рынок  в  ближайшем  будущем.  Решение  фирмы  Б  об  объеме  производимой
продукции  будет  зависеть  от  своих  предельных  издержек,  но  не  будет  зависеть  от
предельных издержек фирмы А.

1) Верно

2) Неверно

4. В некотором городе рынок колбасы совершенно-конкурентный. Перед выборами
мэра один из кандидатов пообещал в случае своей победы установить потолок цены
на колбасу ниже равновесной цены. В результате ведения такой меры
благосостояние потребителей колбасы обязательно улучшится.

1) Верно

2) Неверно

Комментарий:

цена на колбасу снизится (что хорошо), однако возникнет ее дефицит (что

плохо).  Поэтому  однозначно  судить  о  том,  с  какую  сторону  изменится  благосостояние
потребителей,  нельзя.  Например,  если  потолок  цены  будет  меньше  минимума  средних
переменных  издержек  фирм,  никто  не  захочет  производить  колбасу,  и  благосостояние
потребителей упадет «до нуля».

5. Если у предпринимателя есть собственное помещение для офиса, то ему всегда
выгоднее использовать его, а не брать в аренду другое, потому что использование
своего помещения не влечет издержек.

1) Верно 2)

Неверно

Тест №2. Выберите единственный верный ответ

(Всего 20 баллов: 2 балла за верный ответ и 0 баллов при неверном ответе)

6.  Какая  пара  событий  на  рынке  велосипедов,  характеризующемся  условиями
совершенной  конкуренции,  может  привести  к  уменьшению  цены  при  неизменном
объеме  продаж?  Рыночная  функция  предложения  строго  возрастает  по  цене,  а
функция спроса строго убывает по цене.

1) Введение уголовной ответственности за езду на велосипеде в нетрезвом состоянии при
одновременном росте цены на велосипедные подшипники.
2) Введение специальной выделенной полосы для велосипедистов на трассах города при
одновременном увеличение налога на прибыль.

3) Лишение велосипедистов прав на вождение автомобилем при езде в нетрезвом
состоянии на велосипеде при одновременном сокращении налога на добавленную
стоимость.

4) Увеличение таможенного тарифа на велосипеды, поставляемые из Китая, при
одновременном росте популярности использования велосипедов из-за их экологичности.
5) Падение цены на велобалансиры для детей при увеличении использования
производственных мощностей производителей велосипедов.

7. На рынке товара Гамма спрос описывается уравнением

2012



, а функция

предложения является линейной. Укажите, какое из событий может привести к
увеличению равновесной выручки продавцов товара Гамма.

1) Введение потоварного налога, взимаемого с производителя товара Гамма;
2) введение потоварной субсидии, выплачиваемой производителям товара Гамма;
3) увеличение числа производителей на рынке товара Гамма;
4) установление государством минимальной цены (цены пола), по которой может
продаваться товар Гамма;

5) ни одно из перечисленных выше событий.

8. Потребитель платит 60 тыс. руб. за подсоединение к электросетям, а затем вносит
плату за потребляемое количество кВТ электричества. Если потребитель тратит
свыше 50 кВТ в месяц, то дополнительные кВТ он оплачивает по более высокой
ставке тарифа. Какой из графиков иллюстрирует общие расходы потребителей при
данной системе оплаты?

1) График а).

2) График б).

3) График в).

4) График г).
5) График д).

9. Вася продал Пете одновременно две ценные бумаги:
а) с обязательством Васи выплатить предъявителю 1000 рублей, если 30 июня 2013
года будет дождь;
б) с обязательством Васи выплатить предъявителю 500 рублей, если 30 июня 2013
года не будет дождя.
За первую бумагу Вася выручил x рублей, за вторую - y. Тогда:

1) если x+y<1500, то после 30 июня Петя может оказаться в убытке;
2) если x<1000 и y<500, то Петя не может быть уверен, что после 30 июня он останется с
положительной прибылью;

3) если x+y>1000, то после 30 июня Вася останется с положительной прибылью;

4) если x<1000 и y<500, то после 30 июня Вася не может остаться с положительной
прибылью;
5) все перечисленные выше утверждения неверны.

10. Функция спроса на товар Х линейна. При росте цены на 20% расходы
потребителей снизились на 4%. Эластичность спроса по цене в

новой

точке равна:

1) -0,2; 2) -0,25

;

3) -1

; 4) -1,5;

5) -0,8.

Комментарий:

можно честно посчитать (для этого данных достаточно), а можно заметить,

что спрос в новой точке должен быть эластичным (ведь расходы потребителей, а значит, и
выручка производителей, при росте цены снизились). Этому свойству удовлетворяет
только один вариант ответа.

11. Функция предельных издержек совершенно-конкурентной фирмы имеет вид

( )

)

MC Q

 



. При какой цене для фирмы, максимизирующей прибыль,

оптимальным является производство объема



1) 1; 2) 2

;

3) 3

;

4) 4;

5) Ни при какой.

руб
.

а)

б)

в)

г)

д)

руб
.

кВТ

руб
.

Комментарий:

Данный объем выпуска может являться точкой экстремума функции прибыли только при

(2)

2 . Однако предельные издержки в этой точке убывают (действительно,

график предельных издержек является параболой с вершиной в точке

; точка

находится на убывающей ветви параболы). Поэтому при

данная точка

является точкой минимума прибыли, а не точкой максимума.

12. Производственная функция фирмы имеет вид



, где

— параметр

производительности труда. Фирма нанимает труд на совершенно-конкурентном
рынке; зарплата равна

. Рынок конечного продукта также конкурентен, цена

конечного продукта равна 1. После начала использования новой технологии
параметр

увеличился на 20%. На сколько процентов увеличился спрос фирмы на

труд?

1) на 20%;

2) на 25%; 3) на 50%; 4) на 0%;

5) Спрос фирмы на труд не увеличился, а уменьшился, так как теперь для производства
того же количества продукции нужно меньше работников.

Комментарий:

Да, конечно, для производства

того

же количество продукции теперь нужно меньше

работников, но ни откуда не следует, что фирме будет выгодно производить

тот же

самый

объем продукции. На самом деле, после совершенствования технологии данной

фирме будет выгодно расширить производство, и ее спрос на труд возрастет.
Численный ответ можно получить так.
Фирма максимизирует прибыль:

max

Приравнивая производную к нулю и выражая

, получаем выражение для спроса на труд:

. Значит, при росте параметра

на 20%, спрос на труд вырастет также на 20%.

Спрос на труд можно найти и без использования производной (подумайте, как).

13. В открытой экономике функция потребления имеет вид

0, 25

 



Инвестиции равны 5, госзакупки — 3, а чистый экспорт — (-1). Чему равен
равновесный ВВП?

1) 4;

2) 9;

3) 16;

4) 25;

5) 36.

Комментарий:

Согласно основному макроэкономическому тождеству,

( )

C Y

  



. Подставляя

имеющиеся данные, получаем уравнение

0, 75





. Далее уравнение можно не

решать, а найти ответ быстрой подстановкой вариантов ответа.

14. В некоторой стране производятся два товара — крестики и нолики. В стране есть
10 областей, и КПВ каждой из них в производстве крестиков и ноликов линейна.
Известно, что во всех областях наклон КПВ различный. В настоящий момент
производство крестиков и ноликов осуществляется в стране эффективно. Тогда

1) в каждой из областей производятся либо только крестики, либо только нолики;
2) в каждой из областей производятся и крестики, и нолики;

3) найдется максимум одна область такая, что в ней производятся и крестики, и
нолики;

содержание .. 138 139 140 141 ..