Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 112

4 апреля 2016 г.

2-й тур. Задачи

Задача 10. Осторожный Кузьма –– 2

(25 баллов)

Кузьма, знакомый вам по задаче регионального этапа, влюбился и решил подарить девушке

красивый букет.

В магазине продаются три вида цветов ––

A

,

B

и

C

. Кузьма знает, что девушка ценит эти цветы

по-разному: каждый цветок наиболее предпочтительного с ее точки зрения вида принесет ей
3 единицы радости, каждый цветок наименее предпочтительного вида принесет 1 единицу, а
каждый цветок среднего по предпочтительности вида принесет 2 единицы. Проблема в том, что
Кузьма забыл, какой именно вид цветов является самым предпочтительным, какой –– средним,
а какой –– наименее предпочтительным, и спрашивать ее об этом ему неловко.

Радость девушки от букета равна сумме ее радости от каждого из цветков в букете (даже если

в букете есть цветы разных видов). Девушка поцелует Кузьму, если ее радость от букета будет
не меньше 30 единиц. Для простоты считайте, что количество цветов не обязательно нечетное
и даже не обязательно целое (но обязательно неотрицательное).

а) (10 баллов)

Допустим, цветок каждого из трех видов стоит 1 ден. ед. Какую минимальную

сумму Кузьма должен потратить на цветы, чтобы девушка

гарантированно

его поцеловала?

б) (5 баллов)

Как изменится ваш ответ на пункт

а)

, если цветок вида

A

стоит 1 ден. ед., цветок

вида

B

–– 2 ден. ед., цветок вида

C

–– 3 ден. ед.?

в) (10 баллов)

Допустим, радость девушки зависит не только от количества цветов разных

видов, но и от их сочетания. А именно, если в букете есть цветы больше чем одного вида, их
сочетание может не понравиться девушке: если сочетание цветов неудачное, радость девушки
равна сумме ее радости от каждого цветка, как выше, минус

Z

единиц. Параметр

Z

известен Кузь-

ме. Ответьте на вопрос пункта

a)

(при ценах цветов, данных в

a)

) для

Z

=

24;

Z

=

36.

Алексей Суздальцев

Решение

а)

Обозначим количества цветов трех видов в букете за

a

,

b

и

c

. Девушка гарантированно

поцелует Кузьму, если будут выполнены 6 неравенств:

⎧⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎩

a

+

2

b

+

3

c

⩾

30

;

a

+

3

b

+

2

c

⩾

30

;

2

a

+

b

+

3

c

⩾

30

;

2

a

+

3

b

+

c

⩾

30

;

3

a

+

b

+

2

c

⩾

30

;

3

a

+

2

b

+

c

⩾

30

.

Нам нужно найти минимальное значение выражения

a

+

b

+

c

, при условии, что

a

,

b

и

c

удо-

влетворяют неравенствам выше.

Сложив данные 6 неравенств, получаем, что 12

(

a

+

b

+

c

)

⩾

6

⋅

30, откуда

a

+

b

+

c

⩾

15. При этом

нижняя граница в последнем неравенстве достигается: если

a

=

b

=

c

=

5, то все 6 неравенств

выполнены, и при этом

a

+

b

+

c

=

15. Значит, минимальная сумма равна 15 (и для ее достижения

Кузьме следует купить букет, состоящий из 5 цветков каждого вида.)

Примечание: как видим, покупка «cбалансированного» букета позволяет в данном случае

добиться существенной экономии по сравнению с «наивной» стратегией покупки 30 цветков

8

4 апреля 2016 г.

2-й тур. Задачи

какого-либо одного вида. Как и в задаче регионального этапа, в условиях неопределенности
Кузьме выгодно осуществлять

диверсификацию

«портфеля».

б)

В данном случае нам надо минимизировать значение выражения

a

+

2

b

+

3

c

, при условии,

что

a

,

b

и

c

удовлетворяют неравенствам выше.

Из первого неравенства мы знаем, что

a

+

2

b

+

3

c

⩾

30. Нижняя граница в этом неравенстве

достигается, если взять, например,

a

=

30,

b

=

c

=

0. (в этом случае все 6 неравенств выполнены,

и

a

+

2

b

+

3

c

=

30). Таким образом, минимальная сумма в этом случае равна 30 ден. ед.

(Для ее достижения Кузьма может, например, купить букет, состоящий только из 30 цветов

типа

A

, однако подойдет не только он, а любой букет, в котором

a

⩾

b

⩾

c

и

a

+

2

b

+

3

c

=

30.)

Примечание: как видим, при новых ценах цветов диверсификация перестает быть выгодной,

так как она начинает требовать покупки дорогих цветов, что влечет за собой рост расходов.

в)

Ясно, что в этом случае Кузьме нужно отдельно рассмотреть две стратегии: покупка бу-

кета, состоящего из только одного вида цветов (в этом случае ситуация неудачного сочетания
цветов исключена) и покупка букета, состоящего из более чем одного вида цветов.

Если Кузьма покупает однородный букет, ему нужно купить минимум 30 цветков, и мини-

мальные расходы равны 30; неоднородный же букет гарантирует поцелуй, если выполнены но-
вые 6 неравенств:

⎧⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎩

a

+

2

b

+

3

c

−

Z

⩾

30

;

a

+

3

b

+

2

c

−

Z

⩾

30

;

2

a

+

b

+

3

c

−

Z

⩾

30

;

2

a

+

3

b

+

c

−

Z

⩾

30

;

3

a

+

b

+

2

c

−

Z

⩾

30

;

3

a

+

2

b

+

c

−

Z

⩾

30

.

Кузьме нужно вновь минизировать значение

a

+

b

+

c

при этих условиях.

Действуя аналогично пункту

а)

, получаем, что

a

+

b

+

c

⩾

(

30

+

Z

)/

2. При этом нижняя граница

достигается (можно взять

a

=

b

=

c

=

(

30

+

Z

)/

6). Поэтому минимальные расходы равны

(

30

+

Z

)/

2.

Если

Z

=

24, эти расходы равны

(

30

+

24

)/

2

=

27

<

30, и значит Кузьме нужно покупать неод-

нородный букет, состоящий из 9 цветков каждого вида.

Если

Z

=

36, расходы равны

(

30

+

36

)/

2

=

33

>

30, и значит, лучше не рисковать, а купить

однородный букет (из 30 цветков какого-либо вида).

Ответ: при

Z

=

24 минимальные расходы равны 27; при

Z

=

36 минимальные расходы равны

30.

Примечание: в данном пункте диверсификация по условию сопряжена с определенными из-

держками сама по себе. Если эти издержки относительно небольшие (

Z

=

27), то диверсифи-

кацию выгодно осуществлять, несмотря на них; если же они достаточно большие (

Z

=

36), то

диверсификация становится невыгодной.

Схема оценивания

а)

Правильный ответ с указанием набора, позволяющего гарантированно «купить» поцелуй

(без доказательства):

5 баллов

Правильный ответ с доказательством, использующим априори равное количество цветов в

наборах:

6 баллов

Правильный ответ с аккуратным доказательством:

10 баллов

Штрафы:

9

4 апреля 2016 г.

2-й тур. Задачи

•

Доказательство на множестве дискретных случаев:

−1 балл

•

Доказательство необходимости равенства количества цветов в наборах по три цветка без
аккуратного обобщения на целый букет (то есть нахождение локального максимума, а не
глобального):

−1 балл

б)

Правильный ответ с указанием набора, гарантирующего поцелуй за 30 ден. ед.:

1 балл

Правильный ответ с аккуратным доказательством:

5 баллов

Штрафы:

•

Исключение цветка С из рассмотрения:

−2 балла

•

Правильное доказательство на множестве дискретных случаев:

−3 балла

•

Неверное доказательство на множестве дискретных случаев:

−4 балла

•

Рассмотрение только конечных вариантов наборов:

−4 балла

в)

Правильный ответ с аккуратными выводами и доказательствами:

10 баллов

Штрафы:

•

Не рассматриваются наборы, состоящие из цветов двух типов, без доказательства, что та-
кой набор не оптимальный:

−2 балла

•

Рассматривается случай равенства цветов в наборе без доказательств или ссылок на дока-
зательства в пункте

a)

:

−1 балл

•

Отсутствие сравнений с затратами на моно-букет:

−7 баллов

Примечание:

если в каком-либо пункте для расчётов и доказательств использовались веро-

ятности, то за этот пункт ставилось

0 баллов

10

4 апреля 2016 г.

2-й тур. Задачи

Задача 11. Рациональные пингвины –– 2

(25 баллов)

У императорских пингвинов яйца высиживают самцы. С началом антарктической зимы они

получают яйца от самок и держат их между лап около двух месяцев, пока самки находятся в море.
Эти два месяца самцы проводят в очень тяжелых условиях: температура может достигать

−

50

°

C,

а скорость ветра –– 200 км/ч.

Чтобы согреться, пингвины собираются в большие толпы (иногда их там больше тысячи). На-

ходясь на расстоянии всего 2 см друг от друга, они минимизируют напрасный расход тепла. В ре-
зультате воздух в середине этой кучи пингвинов может прогреваться до 37

°

C, что слишком жар-

ко по сравнению с комфортной температурой. Пингвины, которые находятся с краю толпы, на-
оборот, мерзнут, стоя под сильным ветром. В результате движения, однако, положение пингви-
нов в толпе постоянно меняется, скопления разбиваются на более мелкие или наоборот слива-
ются. Это позволяет каждому пингвину поочередно находиться в середине толпы, где слишком
жарко, в более комфортной ее части или с самого краю, где слишком холодно.

а) (13 баллов)

Приведите экономический аргумент, который может объяснить, почему пинг-

вины встают так близко друг к другу, несмотря на то, что в центре кучи от этого слишком жарко.

б) (6 баллов)

Каждый отдельный пингвин приходит в толпу за тем, чтобы согреться, но в ито-

ге (ненамеренно) тратит часть своего тепла, чтобы согреть окружающих –– это похоже на поло-
жительный внешний эффект. Стандартная экономическая теория содержит результат, что про-
изводство положительных внешних эффектов обычно ниже общественно оптимального уровня,
однако в случае императорских пингвинов это, вероятно, не так: сложно представить себе более
эффективную структуру, которая бы включала больше обмена теплом. Объясните, почему стан-
дартный аргумент о недопроизводстве положительного внешнего эффекта может не работать
в такой ситуации.

в) (6 баллов)

Приведите аналогичные (в смысле идеи пункта

б)

, но не связанные с обменом

теплом) примеры, характерные для благ, производством и потреблением которых занимаются
люди.

Данил Фёдоровых

Решение

а)

Пингвины в куче делятся на три группы: 1) те, кому слишком холодно; 2) те, кому слишком

жарко; 3) те, кому в самый раз. Экономический аргумент, объясняющий описанную ситуацию,
состоит из трех частей: стимулы пингвинов в каждой из групп, которым некомфортно, и возни-
кающей в результате реакции на этим стимулы равновесной ситуации.

У групп 1) и 2) есть стимулы к тому, чтобы менять сложившуюся ситуацию: пингвины снаружи

кучи хотят двигаться внутрь, а пингвины в центре –– выбраться наружу. Если бы пингвины в цен-
тре кучи находились на более комфортном расстоянии, то у них не было бы стимулов двигаться
и менять свое положение. Но тогда те пингвины, которые стоят с краю, всегда там бы и остава-
лись и замерзали бы насмерть. В конце концов, те пингвины, которые сейчас в центре, рано или
поздно оказались бы с краю и замерзли тоже. Движение всей кучи –– в интересах даже тех пинг-
винов, кто сейчас не мерзнет, они готовы рано или поздно выполнить свой долг и постоять с
краю.

б)

Стандартная теория подразумевает, что производство блага, связанного с внешним эф-

фектом, затратно. Например, если кто-то делает прививку от гриппа, то он снижает не только
свою вероятность заразиться, но и вероятность заразиться для окружающих, создавая тем са-

11

4 апреля 2016 г.

2-й тур. Задачи

мым положительный внешний эффект. Для кого-то стоимость вакцины может превысить его
собственную выгоду, но быть меньше суммарной выгоды его и окружающих (которые он не учи-
тывает при принятии решения) –– поэтому прививок в равновесии делается меньше, чем опти-
мальное число. В случае пингвинов, однако, создание положительного эффекта для окружаю-
щих бесплатно (каждый тратит на обогрев других только то тепло, которым иначе обогревал бы
воздух), поэтому частные выгоды превышают частные издержки для каждой особи. Кроме то-
го, что важно, существует максимальное значение производства данного «блага»: каждый пинг-
вин принимает решение, вступить в кучу или нет. Можно представить себе равновесную ситуа-
цию, в которой все пингвины приняли решение участвовать в процессе, но недопроизводства
по сравнению с оптимумом нет, потому что достигнут верхний предел. Таким образом, ключевы-
ми свойствами ситуациями, обеспечивающими вероятную эффективность, является конечность

(дискретность) блага и низкие издержки его «производства».

в)

Нужно найти примеры положительного внешнего эффекта с бесплатным или очень де-

шевым производством отдельной единицы, а также с просто ограниченным сверху возможным
объемом производства. В частности, это могут быть

сетевые блага

: телефоны и социальные се-

ти. Частные издержки подключения к такой сети низки, поэтому внешний эффект, создаваемый
подключением, не влияет или не сильно влияет на эффективность.

Схема оценивания

а)

Определение стимулов каждой из групп ––

по 4 балла

, описание равновесия ––

5 баллов

.

б)

За конечность/дискретность ––

2 балла

, за низкие частные издержки –– 4 балла.

в)

Корректный пример с объяснением оценивается в 6 баллов. Если участник приводит при-

мер без объяснения (то есть без построения аналогии с предыдущим пунктом), то определить,
понимает ли он аналогию, невозможно, поэтому за любой пример положительной экстерналии
ставится

1 балл

.

12