Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 78

15 апреля 2018 г.

1-й тур

9-й класс

Задача 3

. Кукурузный король

(6 баллов)

Сельскохозяйственная отрасль страны U выращивала только пшеницу (

W

), пока однажды ко-

роль не увидел, как за океаном выращивают кукурузу (

C

). Правителю так понравилась эта культура,

что он решил, что теперь она будет выращиваться и в стране U.

Оказалось, что урожайность кукурузы, как и пшеницы, зависит от того, в какой части страны ее

выращивать –– на севере страны или на юге. На одном гектаре северных полей можно вырастить
2 центнера пшеницы или 1 центнер кукурузы, а на одном гектаре южных полей –– 1 центнер пше-
ницы или 2 центнера кукурузы. На каждом гектаре альтернативная стоимость центнера пшеницы
в единицах кукурузы постоянна.

Издержки на возделывание

N

гектаров северных полей (независимо от культуры) равны

TC

(

N

)

=

=

N

2

/

2 руб., а издержки возделывания

S

гектаров южных полей равны

TC

(

S

)

=

S

2

+

20

⋅

S

руб. Страна

настолько большая, что

S

и

N

не ограничены и могут быть любыми неотрицательными числами.

Несмотря на энтузиазм правителя, население страны скептически отнеслось к кукурузе, и по-

этому не потребляет ее. Но кукурузу можно продавать на мировом рынке по цене

P

C

=

40 руб.

за центнер. А вот к пшенице население привыкло, поэтому предъявляет на нее спрос

W

=

120

−

P

W

(зато на международном рынке продать ее нельзя). Площадь возделываемых полей и ее распреде-

ление между пшеницей и кукурузой определяется королем, который максимизирет прибыль, по-
лучаемую страной от обеих культур.

а) (1 балл)

Предположим, значения

S

и

N

определены. Как будет в зависимости от них выгля-

деть КПВ страны U в координатах

(

W

,

C

)

? Приведите графический вид (укажите координаты ключе-

вых точек).

б) (5 баллов)

Какую максимальную прибыль может получить король, если оптимальным обра-

зом выберет

S

,

N

,

W

и

C

?

Решение

а)

КПВ будет состоять из двух участков –– южных и северных полей. На

S

га южных полей можно

вырастить

S

центнеров пшеницы или 2

⋅

S

центнеров кукурузы. Аналогично на

N

га северных полей

можно вырастить 2

N

центнеров пшеницы или

N

центнеров кукурузы. Зная это, можно построить

КПВ для поля каждого типа, а затем сложить их обычным образом:

Используя картинку, несложно вывести уравнения аналитически:

C

=

2

⋅

S

+

N

−

W

/

2

C

=

2

⋅

S

+

4

N

−

2

W

C

=

{

2

⋅

S

+

N

−

W

/

2

,

если 0

⩽

W

<

2

N

2

⋅

S

+

4

N

−

2

W

,

если 2

N

⩽

W

⩽

2

N

+

S

Или для простоты записи:

C

=

{

2

⋅

S

+

N

−

W

/

2

,

если

W

<

2

N

2

⋅

S

+

4

N

−

2

W

,

если

W

⩾

2

N

б)

Составим функцию прибыли государства:

π

=

40

C

+

(

120

−

W

)

W

−

S

2

−

20

⋅

S

−

N

2

.

Для любых

S

и

N

оптимально использовать поля полностью, т.е. выбирать точку на КПВ. Напри-

мер, засеивание любого поля кукурузой строго увеличит выручку.

6

15 апреля 2018 г.

1-й тур

9-й класс

W

S

2

N

C

N

2

⋅

S

Север

Юг

КПВ севера и юга

W

2

N

2

N

+

S

C

2

⋅

S

2

⋅

S

+

N

Общая КПВ

Рис. 3.1: Кривые производственных возможностей

Максимум прибыли может быть достигнут на двух участках КПВ, поэтому нужно рассмотреть

два случая:

Первый случай: левая часть КПВ, W

⩽

2

N

C

=

2

⋅

S

+

N

−

W

/

2

Подставляя ограничение, порожденное КПВ, в прибыль, имеем:

π

=

40

(

2

⋅

S

+

N

−

W

/

2

)

+

(

120

−

W

)

W

−

S

2

−

20

⋅

S

−

N

2

/

2

=

(

60

S

−

S

2

)

+

(

40

N

−

N

2

/

2

)

+

(

100

W

−

W

2

)

.

Получившаяся функция –– это сумма трех независимых друг от друга парабол, у каждой из ко-

торых ветви вниз. Максимизируя значение каждого выражения в скобках, получаем:

S

⋆

=

30

,

N

⋆

=

40

,

W

⋆

=

50

.

Можно убедиться, что найденная точка на самом деле лежит на рассматриваемом участке КПВ:

50

<

2

⋅

40.

Найдем прибыль:

Pr

⋆

=

(

60

⋅

30

−

30

2

)

+

(

40

⋅

40

−

40

2

/

2

)

+

(

100

⋅

50

−

50

2

)

=

4200

.

Второй случай: правая часть КПВ, W

⩾

2

N

C

=

2

⋅

S

+

4

N

−

2

W

Подставляя ограничение, порожденное КПВ, в прибыль, имеем:

π

=

40

(

2

⋅

S

+

4

N

−

2

W

)

+

(

120

−

W

)

W

−

S

2

−

20

⋅

S

−

N

2

/

2

=

(

60

S

−

S

2

)

+

(

160

N

−

N

2

/

2

)

+

(

40

W

−

W

2

)

.

Получившаяся функция –– это сумма трех независимых друг от друга парабол, у каждой из ко-

торых ветви вниз. Максимизируя значение каждого выражения в скобках, получаем:

S

⋆⋆

=

30

,

N

⋆⋆

=

160

,

W

⋆⋆

=

20

.

7

15 апреля 2018 г.

1-й тур

9-й класс

Эта точка, однако, не лежит на рассматриваемом участке КПВ, то есть неверно, что

W

⩾

2

N

. Са-

мое близкое, что мы можем взять –– точку излома

(

2

N

,

2

⋅

S

)

. Но эта точка входила в первый рассмат-

риваемый участок и оказалась хуже найденной там оптимальной точки. Значит, точка, найденная
на первом участке КПВ, была оптимальной на всей КПВ, а максимальная прибыль равна 4200 руб.

Ответ:

W

=

50,

C

=

75.

Схема оценивания

а) (1 балл)

Полный балл ставится за верно нарисованный график общей КПВ.

б) (5 баллов)

• 1 балл: идея о частичной специализации полей или о рассмотрении двух участков КПВ. Если

участник решает задачу исходя из предпосылки о полной специализации полей и не рассмат-
ривает других случаев, это решение принципиально неверно и оценивается в 0 баллов.

• 2 балла: рассмотрение каждого из случаев (участков КПВ). Если верно рассмотрен один слу-

чай, за него ставится 1 балл.

• 2 балла: сравнение случаев и вывод.

Если в решении допущена арифметическая ошибка, присутствует недостаточность обоснова-

ния максимума и/или ошибка в аналитическом решении, не приводящая к значительным искаже-
ниям результатов, при этом остальное решение верное, пункт оценивается в 4 балла.

8

15 апреля 2018 г.

1-й тур

9-й класс

Задача 4

. Образование и доход

(6 баллов)

Начинающий исследователь Василий однажды читал научную статью, где изучалась связь актив-

ности хомячков (в часах в среднем в течение суток) и их массы. Там приводился следующий график:

3

4

5

6

7

8

15

20

25

30

35

40

М

ас

са х

ом

ячк

а (г

)

Активность хомячка (ч)

Точками здесь обозначены отдельные хомячки, а прямая построена так, что она лежит как можно
ближе к точкам. Прямая имеет уравнение

y

=

40

−

2

,

5

x

, из чего авторы исследования сделали вывод,

что увеличение активности на час в среднем уменьшает массу хомячка на 2,5 грамма.

Василий решил использовать эту технику, чтобы оценить влияние образования людей на на их

доход. Для этого он опросил 1000 человек, спрашивая у каждого, сколько тот зарабатывает (пе-
ременная

Income

) и каков его последний на данный момент уровень образования (переменная

Education

). Переменная

Education

для каждого человека принимает одно из 5 значений:

Education

Уровень образования

1

не окончил школу

2

окончил только школу

3

окончил техникум/колледж

4

окончил университет

5

получил ученую степень

Построив рядом с полученными точками прямую так же, как было сделано в исследовании, кото-

рое он читал, Василий обнаружил, что ее уравнение имеет вид

Income

=

−

10

+

20

⋅

Education

(это урав-

нение прямой, самой близкой к точкам на графике), то есть каждая ступень образования в среднем
увеличивает доход на 20 тысяч рублей в месяц.

Исследование, проведенное Василием, не свободно от недостатков. Вам нужно высказать со-

держательную критику по следующим пунктам:

а) (3 балла)

Кодируя уровень образования цифрами от 1 до 5, Василий неявно предполагает

очень специфическую форму зависимости дохода от образования. Объясните, какую форму зави-
симости предполагает Василий, почему так лучше не делать и как ему стоило бы правильно учесть
образование в своей модели?

б) (3 балла)

Во-вторых, Василий не учел все факторы, которые могут влиять на доход. Какие?

Предложите, как надо было организовать исследование, чтобы корректно измерить влияние об-
разования на доход.

9

15 апреля 2018 г.

1-й тур

9-й класс

Решение

а)

Василий предполагает линейную форму зависимости.

Такой подход неудачен, поскольку нет оснований предполагать, что рост образования на одну

ступень всегда

одинаково

(линейно) увеличивает доход.

Чтобы избавиться от этого недостатка, нужно либо рассматривать не уровни, а количество лет,

которое человек отучился, либо вычислять уровни по данным.

б)

На доход влияют, например, такие факторы: личные характеристики, пол, возраст, специаль-

ность, место жительства и т. д.

Учесть их можно одним из двух способов:

Способ 1.

Взять выборку из людей с одинаковыми «прочими» характеристиками (схожего воз-

раста, профессии и так далее) и сравнивать для них влияние образования на доход.

Способ 2.

Построить модель, в которую одновременно будут входить все интересующие нас

факторы.

Схема оценивания

а) (3 балла) 1 балл

ставится за указание на форму зависимости (линейная). Если участник пи-

шет только о положительной зависимости, то эта идея не засчитывается, так как это не главная
особенность и проблема подхода.

1 балл

ставится за ответ на вопрос «почему так лучше не делать» и объяснение (при отсутствии

объяснения балл не ставится –– например), если участник просто пишет, что квадратичная функ-
ция подошла бы лучше. Также здесь не учитываются замечания о пропущенных переменных, по-
скольку они относятся к вопросу пункта

б)

, а не к форме зависимости, которая обсуждается в пунк-

те

а)

.

1 балл

ставится за корректное предложение об учете образования в модели. Без обоснования

не засчитываются: рассуждения о том, какая должна быть зависимость; предложения перейти к
другой шкале и т. п.

б) (3 балла) 1 балл

ставится за перечисление релевантных фактовов, влияющих на доход.

2 балла

ставится за корректные предложения по организации исследования (любой из двух

способов). Не засчитываются: рассуждения о том, что нужно взять людей с одинаковым образова-
нием и работать с ними (мы не сможем измерить влияние образования); рассуждения о том, что
нужно усреднять доходы людей с одинаковым образованием (мы не избавимся от влияния прочих
факторов).

10

Всероссийская олимпиада школьников по экономике

Заключительный этап

Москва, 14—19 апреля 2018 года

9-й класс

Второй тур

Дата написания

16 апреля 2018 г.

Количество заданий

4

Сумма баллов

24

Время написания

180 минут

Решения

Составители написали приведенные ниже решения более подробно, чем если бы им са-
мим пришлось участвовать в олимпиаде. Данный документ содержит пояснения, при-
мечания, альтернативные способы решений, которые предназначены исключительно
для информирования жюри, а также всех, кто будет разбирать эти задачи в дальнейшем
при изучении экономики или подготовке к олимпиадам. От участников не требуется
слишком подробного решения; в любом случае самое важное при оценке –– понимает
ли участник, как решается задача.

16 апреля 2018 г.

2-й тур

9-й класс

Задача 5

. Сосисочная олигополия

(6 баллов)

Рынок сосисок в стране N далек от совершенной конкуренции: на нем действуют лишь две фир-

мы (A и B). Будем считать для простоты, что никаких издержек они не несут. Потребители сосисок де-
лятся на две группы, спрос которых (в тоннах) описывается функциями

D

1

(

p

)

=

16

−

p

и

D

2

(

p

)

=

12

−

3

p

,

где

p

–– цена за тонну сосисок. Взаимодействие между фирмами устроено следующим образом: сна-

чала фирма A решает, сколько тонн сосисок она собирается произвести, после этого фирма B узнает
о решении фирмы A и выбирает объем выпуска. После того, как обе фирмы выбрали свои объе-
мы выпуска, на рынке устанавливается такая (общая для всех потребителей) цена, чтобы величина
спроса была равна сумме объемов производства двух фирм.

а) (3 балла)

Во главе фирмы A стоит некомпетентный директор, который не имеет понятия, как

нужно выбирать выпуск, чтобы получить максимальную прибыль, и просто выбирает произволь-
ный объем выпуска

q

A

. Какой объем выпуска

q

B

выберет фирма B в ответ, если она прекрасно умеет

максимизировать прибыль?

б) (3 балла)

Предположим, фирму A возглавил более компетентный менеджер, который умеет

выбирать выпуск так, чтобы в результате его фирма получила максимальную прибыль. Какой объем
выпуска он выберет?

Решение

а)

Во-первых, зададим рыночный спрос:

q

d

(

p

)

=

{

16

−

p

,

4

⩽

p

⩽

16

28

−

4

p

,

0

⩽

p

⩽

4

p

d

(

q

)

=

{

16

−

q

,

0

⩽

q

⩽

12

7

−

0

,

25

q

,

12

⩽

q

⩽

28

Как всегда, решаем задачу с конца:

π

B

(

q

B

)

=

{

(

16

−

q

A

−

q

B

)

q

B

,

0

⩽

q

A

+

q

B

⩽

12

(

7

−

0

,

25

q

A

−

0

,

25

q

B

)

q

B

,

12

⩽

q

A

+

q

B

⩽

28

На обоих участках графиком функции прибыли являются параболы с ветвями вниз, значит,

q

B

(

q

A

)

=

{

8

−

0

,

5

q

A

,

0

⩽

q

A

+

q

B

⩽

12

14

−

0

,

5

q

A

,

12

⩽

q

A

+

q

B

⩽

28

Посмотрим на области определения:

0

⩽

q

A

+

q

B

=

q

A

+

8

−

0

,

5

q

A

=

8

+

0

,

5

q

A

⩽

120

⩽

q

A

⩽

8

12

⩽

q

A

+

q

B

=

q

A

+

14

−

0

,

5

q

A

=

14

+

0

,

5

q

A

⩽

280

⩽

q

A

⩽

28

Видим, что в случае, если фирма A выбирает 0

⩽

q

A

⩽

8, у второй компании есть два доступных

варианта –– она может выбрать свой выпуск так, что равновесие будет на любом из участков спроса.
Сравним прибыли: частная компания будет работать на первом участке, когда

(

8

−

0

,

5

q

A

)

2

⩾

0

,

25

(

14

−

0

,

5

q

A

)

2

8

−

0

,

5

q

A

⩾

0

,

5

(

14

−

0

,

5

q

A

)

8

−

0

,

5

q

A

⩾

7

−

0

,

25

q

A

1

⩾

0

,

25

q

A

0

⩽

q

A

⩽

4

Итак, в ответ на решение компании A фирма B будет выбирать

q

B

(

q

A

)

=

{

8

−

0

,

5

q

A

,

0

⩽

q

A

⩽

4

14

−

0

,

5

q

A

,

4

⩽

q

A

⩽

28

2

16 апреля 2018 г.

2-й тур

9-й класс

При этом точку

q

A

=

4 можно включить в любой промежуток: прибыль компании B будет одина-

кова в обоих случаях. Заметим, что данная функция не является монотонно убывающей на проме-
жутке

q

A

⩾

0. Например, если лидер увеличивает свой выпуск, скажем, с 3 до 5 единиц продукции,

то последователь также увеличит свой выпуск с 6,5 до 11,5 единиц продукции.

б)

Запишем функцию прибыли компании A:

π

A

(

q

A

)

=

{

(

16

−

q

A

−

q

B

)

q

A

(

7

−

0

,

25

q

A

−

0

,

25

q

B

)

q

A

=

{

(

8

−

0

,

5

q

A

)

q

A

,

0

⩽

q

A

⩽

4

(

3

,

5

−

0

,

125

q

A

)

q

A

,

4

⩽

q

A

⩽

28

На обоих участках графиком функции прибыли являются параболы с ветвями вниз; вершина

первой параболы находится в точке 8 и не попадает в область определения; вершина второй пара-
болы находится в точке 14 и попадает в область определения. Стало быть, фирма A выберет выпуск

q

A

=

14 тонн сосисок, тогда фирма B выберет выпуск

q

B

=

7 тонн сосисок; на рынке установится цена

p

=

1

,

75 рублей. Фирмы получат прибыли

π

A

=

24

,

5 и

π

B

=

12

,

25.

Схема оценивания

а) (3 балла) 1 балл

ставится за поиск суммарнго спроса.

1 балл

ставится максимизацию прибыли фирмы B на разных участках спроса.

1 балл

ставится за построение итоговой кривой реакции фирмы B.

б) (3 балла)

Полный балл ставится в случае корректной максимизации прибыли. За арифмети-

ческую ошибку снимается 1 балл.

3