Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 77

Всероссийская олимпиада школьников

2018

Экономика

Задача 4.

«Географическое разнообразие»

(30 баллов)

В стране А есть столица и очень много маленьких городов. Автобусная компания

«Солнышко» является единственным перевозчиком между столицей и маленькими
городами. Компания сама выбирает цены билетов, а также то, в какие города будут хо-
дить автобусы из столицы (между маленькими городами дорог нет), при этом количе-
ство городов может быть только целым. Спрос на перевозки в каждый город одинаков
и имеет следующий вид:

𝑞

𝑖

= 400/𝑝

2

𝑖

, где

𝑞

𝑖

–– величина спроса на билеты на автобус

в

𝑖

-й город (в штуках),

𝑝

𝑖

–– цена билета в этот город (

𝑖 = 1, 2, … , 𝑁

, где

𝑁

–– общее ко-

личество городов, в которые ходят автобусы компании «Солнышко»).

Издержки перевозки одного пассажира в любой город составляют 2 денежных еди-

ницы, не считая издержек организации маршрута. Создание всё новых маршрутов ––
не такая уж и простая задача, требующая составления расписания, организации логи-
стики, закупок, установки турникетов и т. п. Организация маршрута в первый город
стоит 1 денежную единицу, во второй –– 2 денежные единицы, …, в

𝑁

-й город ––

𝑁

де-

нежных единиц.

Определите максимальную прибыль фирмы «Солнышко».

Решение.

Общую прибыль можно записать так:

𝜋 = (𝑝

1

𝑞

1

− 2𝑞

1

) + (𝑝

2

𝑞

2

− 2𝑞

2

) + ⋯ + (𝑝

𝑁

𝑞

𝑁

− 2𝑞

𝑁

) − (1 + 2 + ⋯ + 𝑁 ).

После подстановки обратных функций спроса

𝑝

𝑖

= 20/

√

𝑞

𝑖

и применения формулы

суммы арифметической прогрессии получаем:

𝜋 = (20

√

𝑞

1

− 2𝑞

1

) + (20

√

𝑞

2

− 2𝑞

2

) + ⋯ + (20

√

𝑞

𝑁

− 2𝑞

𝑁

) −

𝑁

2

+ 𝑁

2

.

Выражение в каждой из скобок –– парабола относительно

√

𝑞

𝑖

(каждое

√

𝑞

𝑖

влияет

на значение только «своей» параболы). Если

√

𝑞

𝑖

= 𝑡

, то выражения в скобках при-

нимают вид

(20𝑡 − 2𝑡

2

)

. Все параболы имеют вершину в точке

𝑡 = 5

, то есть

𝑞

𝑖

= 25

.

Тот же ответ можно получить, взяв производную функции прибыли от перевозок

до отдельного города:

𝜋

𝑖

′ = (20

√

𝑞

𝑖

− 2𝑞

𝑖

) ′ =

10

√

𝑞

𝑖

− 2.

Это убывающая функция, а значит, приравнивание ее к 0 даст максимум выражения
под знаком производной:

𝑞

𝑖

= 25

.

Еще один способ –– посчитать прибыль в регионе

𝑖

как функцию от цены:

𝜋

𝑖

= 𝑝

𝑖

⋅

400

𝑝

2

𝑖

− 2 ⋅

400

𝑝

2

𝑖

.

Это парабола с ветвями вниз относительно

𝑠 = 1/𝑝

𝑖

, максимум достигается при

𝑝

𝑖

= 4

.

Наконец, можно было узнать оптимальную цену, воспользовавшись формулой

взаимосвязи индекса Лернера и эластичности спроса (третий способ):

𝑝

𝑖

− 𝑀𝐶

𝑝

𝑖

=

1

|𝜀|

.

Региональный этап, 10-11 класс

15

Задача 4.

«Географическое разнообразие»

Всероссийская олимпиада школьников

2018

Экономика

При данных функциях спроса

|𝜀| = 2

, а

𝑀𝐶 = 2

по условию. Отсюда получаем

𝑝

𝑖

= 4

.

Этот результат никак не зависит от того, каково значение

𝑁

: сколько бы городов

ни обслуживала компания, в каждый будет продано 25 билетов, цена каждого билета
равна 4.

Запишем функцию прибыли с учетом выбора оптимальных

𝑞

𝑖

:

𝜋 = (20 ⋅ 5 − 2 ⋅ 25) ⋅ 𝑁 −

𝑁

2

+ 𝑁

2

=

99𝑁 − 𝑁

2

2

.

(4.1)

Это тоже парабола с ветвями вниз –– теперь уже зависящая от переменной

𝑁

. Ее мак-

симум достигается в вершине –– точке

𝑁 = 49,5

, но количество городов должно быть

целым. Поскольку квадратичная парабола симметрична относительно своей верши-
ны, а числа 49 и 50 находятся на одинаковом расстоянии от 49,5, в двух ближайших
целочисленных точках прибыль будет одинаковой и равной

𝜋 =

99 ⋅ 50 − 50

2

2

= 1225.

Альтернативное решение.

С помощью рассуждений из предыдущего пункта

можно рассчитать максимальную прибыль (не считая издержек открытия маршру-
та). Она равна 50, то есть открытие каждого нового маршрута приносит компании
дополнительно 50 денежных единиц. Запускать маршруты нужно до тех пор, пока
издержки на запуск меньше или равны дополнительной выгоде (после этого запуск
нового маршрута будет уменьшать прибыль). Таким образом, оптимально будет от-
крыть 49 или 50 маршрутов, а максимальная прибыль составит

50 ⋅ 49 − (1 + 2 + ⋯ + 49) =

= 50 ⋅ 50 − (1 + 2 + ⋯ + 50) = 1225

.

Схема проверки.

Схема проверки этой задачи написана в форме классификации

некорректностей (недочетов, ошибок, изъянов) в решениях участников. При выстав-
лении оценки нужно руководствоваться соотношением баллов и наборов нарушений,
приведенным в таблице ниже. Если в работах участников встречаются некорректно-
сти, не описанные в авторских схемах проверки, жюри должно самостоятельно опре-
делить их тяжесть (и отнести к одному из типов в классификации).

Недочеты:

Н1.

Участник допустил ошибку в преобразованиях выражений, расчетах или диф-
ференцировании, не упростившую решение и не повлиявшую на ответ суще-
ственным образом.

Н2.

Участник определил, какое

𝑁

максимизирует прибыль (с учетом максимизации

прибыли от каждого города), но не учел целочисленность, то есть оставил ответ
дробным.

Н3.

Участник не проверил достаточные условия максимума (например, нашел вер-
шину параболы, но не проверил, что она имеет ветви вниз) хотя бы один раз.

Н4.

Участник не посчитал численное значение максимальной прибыли, требующе-
еся в вопросе задачи.

Региональный этап, 10-11 класс

16

Задача 4.

«Географическое разнообразие»

Всероссийская олимпиада школьников

2018

Экономика

Ошибки:

О1.

Участник использовал неверную формулу для расчета суммы арифметической
прогрессии.

О2.

Участник допустил ошибку в преобразованиях выражений, расчетах или диф-
ференцировании, приведшую к существенному упрощению дальнейшего ре-
шения, появлению не соответствующих экономической логике результатов (на-
пример, возрастающих функций спроса) или качественному искажению резуль-
тата (например, получилось, что фирма должна закрыться).

Изъяны:

И1.

Участник не стал искать оптимальное

𝑁

, то есть пытался максимизировать сум-

марную прибыль, но посчитал, что ответ можно оставить в виде зависимости от

𝑁

, как в выражении (4.1).

Минимальные продвижения:

П1.

Участник максимизировал прибыль от одного из городов (получил ответ

𝑞

𝑖

=

= 25

).

Баллы Описание

30

Полное верное решение без недочетов

25

Решение верное, но в нем есть недочеты (один или несколько)

20

Решение в целом верное, но в нем есть одна ошибка

15

Решение в целом верное, однако в нем есть одна ошибка и один
или несколько недочетов

10

В решении имеется несколько ошибок или один изъян (наличие
недочетов не имеет значения)

5

Решение участников в целом неверное (то есть в нем есть больше
ошибок и изъянов, чем описано выше), однако в нем есть и мини-
мальные продвижения (одно или несколько)

0

Решение участников неверное, минимальное продвижение отсут-
ствует

Региональный этап, 10-11 класс

17

Задача 4.

«Географическое разнообразие»

Всероссийская олимпиада школьников по экономике

Заключительный этап

Москва, 14—19 апреля 2018 года

9-й класс

Первый тур

Дата написания

15 апреля 2018 г.

Количество заданий

4

Сумма баллов

24

Время написания

180 минут

Решения

Составители написали приведенные ниже решения более подробно, чем если бы им са-
мим пришлось участвовать в олимпиаде. Данный документ содержит пояснения, при-
мечания, альтернативные способы решений, которые предназначены исключительно
для информирования жюри, а также всех, кто будет разбирать эти задачи в дальнейшем
при изучении экономики или подготовке к олимпиадам. От участников не требуется
слишком подробного решения; в любом случае самое важное при оценке –– понимает
ли участник, как решается задача.

15 апреля 2018 г.

1-й тур

9-й класс

Задача 1

. Две субсидии

(6 баллов)

На некотором рынке функция предложения линейна и имеет положительный наклон. Функция

спроса строго убывает, но не известно, линейна она или нет.

Стремясь поддержать производителя и одновременно добиться снижения цен для потребите-

лей, государство собирается ввести на данном рынке субсидию. Рассматриваются два варианта:

(1) Ввести потоварную субсидию в размере

x

ден. ед. за каждую купленную единицу, где

x

со-

ставляет 20 % первоначальной равновесной цены.

(2) Ввести процентную субсидию в размере 20 % цены производителя. Иными если в равнове-

сии цена, которую производитель получает за единицу товара с учетом субсидии, будет равна

P

s

,

то потребитель будет платить только

P

d

=

0

,

8

P

s

.

Считайте, что во всех случаях цена потребителя после введения субсидии положительна.

а) (4 балла)

Пусть

α

— процентное снижение цены, уплачиваемой потребителем, в случае вве-

дения субсидии по схеме (1);

β

— в случае введения субсидии по схеме (2). Сравните между собой

три числа:

α

,

β

и 20 %.

б) (2 балла)

При введении какой из двух мер расходы государства на субсидию будут больше?

Решение

Графический анализ позволяет установить, что

α

<

β

<

20

%

, и что расходы на второй тип суб-

сидии будут больше.

Рис. 1.1: Субсидии на графике

Убедиться в ответе можно и аналитически. Пусть

P

0

–– первоначальная равновесная цена. Тогда

P

s

1

−

P

d

1

=

0

,

2

P

0

;

P

s

2

−

P

d

2

=

0

,

2

P

s

2

.

2

15 апреля 2018 г.

1-й тур

9-й класс

Поскольку цена производителя при субсидии растет, верно

P

s

2

>

P

0

, откуда

P

s

2

−

P

d

2

>

P

s

1

−

P

d

1

.

Но

P

s

(

Q

)

−

P

d

(

Q

)

–– возрастающая функция (разность возрастающей и убывающей), значит,

Q

2

>

Q

1

.

Остается заключить из убывания функции спроса, что

P

d

2

<

P

d

1

, то есть цена потребителя сильнее

снижается при втором варианте субсидии (

β

>

α

).

Схема оценивания

а) (4 балла)

•

1 балл

, если обосновано, что

α

<

20

%

•

1 балл

, если обосновано, что

β

<

20

%

•

2 балла

, если обосновано, что

α

<

β

б) (2 балла)

•

1 балл

, если верно записана формула или верно представлена графическая интерпретация

расходов государства для каждого из вариантов субсидирования. Если это сделано неверно
хотя бы для одного случая, балл за эту часть решения не выставляется.

•

1 балл

, если приведено верное обоснованное сравнение расходов. Если верный ответ полу-

чен неверными рассуждениями, балл за эту часть решения не выставляется.

3

15 апреля 2018 г.

1-й тур

9-й класс

Задача 2

. Сколько выиграл Билл?

(6 баллов)

Лотерейный билет, который Билл купил в киоске, принес ему существенный выигрыш –– 1 мил-

лион рублей. Организатор лотереи, однако, сообщил Биллу, что весь выигрыш сразу получить он
не сможет. Вместо этого на его банковский вклад будет перечисляться 100 тысяч рублей каждый
год на протяжении 10 лет, и первый платеж произойдет через год. Билл возмутился, сказав, что
если выигрыш нельзя получить сейчас, то неправильно говорить, что он равен миллиону рублей,
на самом деле он меньше.

а) (2 балла)

В экономической теории есть несколько объяснений того, что люди предпочитают

получать деньги раньше, а не позже (если речь идет о равных суммах). Приведите два из них.

б) (1 балл)

Организатор лотереи, не желая спорить с Биллом, предложил ему другой вариант ––

выплатить 500 тысяч рублей прямо сейчас и еще 500 тысяч –– через 5 лет от сегодняшнего дня. Билл
не собирается тратить выигранные в лотерею деньги в течение 10 лет, а собирается держать их
на застрахованном пополняемом банковском вкладе со ставкой 5 % годовых. Его цель –– сделать
так, чтобы сумма на этом вкладе через 10 лет была как можно большей. Согласится ли Билл на пред-
ложенный альтернативный вариант вместо изначального?

в) (3 балла)

Биллу предлагают еще и третий вариант –– он получает 750 тысяч рублей прямо

сейчас, а других платежей нет. Какой из трех вариантов он выберет?

Решение

а)

Можно положить в банк и заработать проценты, нетерпеливость, инфляция.

б)

Этот вариант более привлекателен, чем изначальный: общая сумма, которую получит Билл,

такая же, но процентов он получит больше, так как они будут копиться раньше с бо�льших сумм. 500
тысяч пролежат в банке 10 лет, еще 500 тысяч –– 5 лет. Всего в банке через 10 лет окажется сумма
500

⋅

(

1

+

0

,

05

)

10

+

500

⋅

(

1

+

0

,

05

)

5

≈

1452

,

588 тыс. руб.

в)

Рассмотрим изначальный вариант. Первый платеж, который Билл получит через год, успеет

пролежать в банке 9 лет и превратиться в 100

⋅

(

1

+

0

,

05

)

9

тыс. рублей к концу срока вклада. Второй

платеж превратится в 100

⋅

(

1

+

0

,

05

)

8

тыс. рублей, успев пролежать 8 лет, третий –– в 100

⋅

(

1

+

0

,

05

)

7

тыс.

рублей и так далее. Последний платеж 100 тыс. рублей будет получен одновременно с окончанием
срока вклада. Общая сумма, которая окажется на счете Билла через 10 лет, таким образом, равна:

9

∑

t

=

0

(

100

⋅

1

,

05

t

)

≈

1257

,

789 тыс. руб.

Если Билл положит в банк 750 тысяч прямо сейчас, то через 10 лет на счете окажется

750

⋅

1

,

05

10

≈

1221

,

671 тыс. руб.

Значит, второй вариант (из пункта

б)

) самый привлекательный для Билла.

Схема оценивания

а) (2 балла)

По 1 баллу за каждое из 2-х корректных объяснений того, почему с точки зрения

экономической теории люди предпочитают деньги раньше, а не позже.

б) (1 балл)

Любое корректное обоснование того, что вариант с двумя выплатами по 500 тыс. р.

предпочтительнее, чем 10 выплат по 100 тыс. р.

в) (3 балла)

Любое корректное обоснование того, что вариант с двумя выплатами по 500 тыс.

р. предпочительнее варианта с однократной выплатой 750 тыс. р.

Примечание.

В ряде случаев пункты

б)

и

в)

оцениваются в совокупности (из 4 баллов):

4

15 апреля 2018 г.

1-й тур

9-й класс

• Если в решении используется гипотеза о произвольной ставке процента в вариантах 1 и 3, в

решении формируется параметрическое условие выбора варианта выплат, а решения о пред-
почтительности вариантов нет, то решение оценивался в 2 балла.

• Если в решении задачи используется простой процент, решение оценивается 2 балла.
• Если при верных выражениях будущей приведенной стоимости для вариантов выплат реше-

ние содержит критические ошибки в преобразованиях, которые принципиально меняют от-
веты, решение оценивается в 1 балл.

5