Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 73

Всероссийская олимпиада школьников

2018

Экономика

Задача 2.

«Борьба с пробками»

(30 баллов)

Люди численностью 50 человек живут в пригороде и ездят работать в город М.

На работу можно ездить на метро или на автомобиле. Поездка на метро всегда зани-
мает 50 минут, а продолжительность поездки на автомобиле зависит от загруженно-
сти дороги и занимает

11 + 2𝑁

минут, где

𝑁

–– общее количество людей, которые едут

на работу на автомобиле. Решая, как ехать на работу, люди принимают во внимание
только время в пути, в равновесии никто из них не может доехать на работу быстрее,
выбрав другой вид транспорта.

Мэр города М. озабочен проблемой пробок и хочет их уменьшить. Советники

предлагают ему несколько мер, перечисленных ниже. От вас требуется прокоммен-
тировать каждую меру с точки зрения ее последствий для пробок: нужно ответить,
чему в результате ее введения будет равно общее время, которое жители пригорода
проводят в автомобилях в пути на работу (от этого зависят вредные выбросы в ат-
мосферу, необходимость содержать дорожную полицию и т. д.). Каждую меру нужно
комментировать в отдельности: например, если вводится мера из пункта

в)

, то все

остальные не вводятся.

а)

(6 баллов)

В этом пункте найдите равновесие для ситуации, описанной в задаче,

то есть если никакие меры сокращения пробок не применяются. Ответьте на вопросы,
заданные в условии.

б)

(6 баллов)

Если построить новую развязку, время поездки на работу на машине

составит

9 + 2𝑁

минут.

в)

(6 баллов)

Если закупить дополнительные поезда для метро, время поездки

на нем сократится до 40 минут.

г)

(6 баллов)

Ограничение парковки в городе увеличит время в пути каждого ав-

томобилиста на 10 минут –– их нужно будет потратить на поиск парковочного места.

д)

(6 баллов)

Запрет на автомобили с двигателями внутреннего сгорания позволит

ездить в город на машине только 10 владельцам электромобилей (остальные 40 чело-
век будут вынуждены ехать на метро).

Решение.

а)

Чтобы человек, который едет на машине, не захотел сменить вид транспорта,

время в пути на машине не должно быть больше, чем время на метро:

11 + 2𝑁

⩽

50.

С другой стороны, для пассажира метро время в случае перехода на автомобиль (тогда
автомобилистов станет

𝑁 + 1

) также не должно уменьшиться:

⩽

11 + 2(𝑁 + 1).

Первое неравенство верно при

𝑁

⩽

19,5

, второе –– при

𝑁

⩾

18,5

. Значит, на автомо-

билях поедут 19 человек. Время в пути на автомобиле составит

11 + 2 ⋅ 19 = 49

минут.

Всего же люди проведут в автомобилях

49 ⋅ 19 = 931

минуту.

Региональный этап, 9 класс

Задача 2.

«Борьба с пробками»

Всероссийская олимпиада школьников

2018

Экономика

б)

Рассуждая аналогично предыдущему пункту, получим систему неравенств:

{

9 + 2𝑁

⩽

50,

⩽

9 + 2(𝑁 + 1).

{

𝑁

⩽

20,5,

𝑁

⩾

19,5.

Значит, на автомобилях поедет 20 человек, каждый из них потратит на дорогу

9+2⋅20 = 49

минут (столько же, сколько до постройки развязки), а общее время в пути

на автомобилях составит

49 ⋅ 20 = 980

минут –– больше, чем до постройки развязки!

Дело в том, что увеличение пропускной способности дороги стимулировало больше
людей по ней поехать, из-за чего время в пути осталось примерно равно времени
в пути на метро (которое не изменилось).

в)

Рассуждая аналогично предыдущему пункту, получим систему неравенств:

{

11 + 2𝑁

⩽

40,

⩽

11 + 2(𝑁 + 1).

{

𝑁

⩽

14,5,

𝑁

⩾

13,5.

Получается, что количество людей в пробке уменьшилось до 14 человек, путеше-

ствие каждого из них занимает

11 + 2 ⋅ 14 = 39

минут, а общее время в пути на автомо-

билях составит

39 ⋅ 14 = 546

минут. Ускорение метро действительно помогает снизить

пробки.

г)

Рассуждая аналогично предыдущему пункту, получим систему неравенств:

{

11 + 2𝑁 + 10

⩽

50,

⩽

11 + 2(𝑁 + 1) + 10.

{

𝑁

⩽

14,5,

𝑁

⩾

13,5.

Количество автомобилистов совпадает с предыдущим пунктом и равно 14 –– по

этому показателю усложнение парковки эквивалентно ускорению метро.

Путешествие каждого автомобилиста занимает

11 + 2 ⋅ 14 + 10 = 49

минут, а общее

время в пути на автомобилях составит

49 ⋅ 14 = 686

минут. Затруднение парковки по-

могает снизить пробки –– несмотря на то, что автомобилисты вынуждены проводить
дополнительное время в машинах, ища парковочные места.

д)

Даже если все 10 владельцев электромобилей поедут на них на работу, их вре-

мя в пути составит

11 + 2 ⋅ 10 = 31

минуту –– меньше, чем на метро. Значит, все они

выберут этот вариант, а остальные 40 человек поедут на метро (у них нет возмож-
ности ехать на машине). Общее время в пути на автомобилях составит

31 ⋅ 10 = 310

минут. Запрет многим жителям пригорода передвигаться на автомобилях, конечно,
сокращает пробки.

Альтернативное решение.

Ответы пунктов

а)

—

г)

можно было получить другим

способом.

В при условии, что каждым видом транспорта хотя бы кто-то пользуется, время

в пути обоими способами должно быть примерно одинаковым. Если оно будет суще-
ственно отличаться, люди перейдут на более быстрый вид. (В пункте

д)

эта логика

не работает, так как выбор между видами транспорта есть не у всех.) Посмотрим, что
будет, если приравнять время в пути в каждом из пунктов.

Региональный этап, 9 класс

Задача 2.

«Борьба с пробками»

Всероссийская олимпиада школьников

2018

Экономика

а)

11 + 2𝑁 = 50

𝑁 = 19,5

б)

9 + 2𝑁 = 50

𝑁 = 20,5

в)

11 + 2𝑁 = 40

𝑁 = 14,5

г)

11 + 2𝑁 + 10 = 50

𝑁 = 14,5

Ответы получились дробными. Что будет, если мы округлим их в бо́льшую сторону,
то есть отправим «колеблющегося» человека на автомобиле? Тогда в каждом из случа-
ев время в пути на автомобиле увеличится, а время в пути на метро останется преж-
ним, то есть типичному автомобилисту станет выгодно пересесть на метро. С дру-
гой стороны, если мы округлим

𝑁

вниз (то есть отправим «колеблющегося» человека

на метро), то время на автомобиле станет чуть больше времени на метро, но пере-
ключение невыгодно, поскольку развернет неравенство. Это в каждом случае и будет
равновесием.

Схема проверки.

Решение каждого пункта оценивается в 6 баллов, из которых 1 балл

нужно снять в случае арифметической ошибки, не сильно исказившей результат.

Если участник проводит решение вторым способом, но неправильно решает во-

прос с округлением (оставляет ответ дробным, округляет в неправильную сторону
или в правильную, но не объясняет, почему), то пункт оценивается в 3 балла. Если
участник при решении этим способом допустил арифметическую ошибку, в резуль-
тате которой ответ сразу получился целым и решение вопроса с округлением не по-
требовалось, то за пункт ставится 2 балла.

Региональный этап, 9 класс

Задача 2.

«Борьба с пробками»

Всероссийская олимпиада школьников

2018

Экономика

Задача 3.

«Прибыль –– это не всё»

(30 баллов)

Часто считается, что фирмы должны не просто максимизировать прибыль, а учи-

тывать интересы общества: ограничивать негативное влияние на окружающую среду,
не нарушать этических стандартов при ведении бизнеса, предоставлять рабочие ме-
ста представителям социально незащищенных слоев населения.

Рассмотрим фирму ABC, которая максимизирует не прибыль, а сумму прибыли и

величины, зависящей от уровня безработицы в стране:

𝐵 = 𝜋 + 16(100 − 𝑢),

где

𝜋

–– прибыль, а

𝑢

–– уровень безработицы в процентах.

Всего в стране проживают 100 человек, 70 из которых стабильно заняты на других

производствах и не собираются устраиваться на фирму ABC. 30 человек являются без-
работными, и фирма ABC наймет сотрудников именно из их числа. (Больше никакие
работодатели не предлагают им работу.)

Спрос на продукцию фирмы ABC задается уравнением

𝑄 = 120−𝑃

. Фирма произво-

дит товар, используя только труд, при этом

𝑄 = 2𝐿

. Если фирма наймет

𝐿

работников,

нужно будет платить каждому из них зарплату

𝑤 = 4𝐿

На сколько процентных пунктов в этой ситуации уровень безработицы будет

меньше по сравнению с тем, который был бы при максимизации фирмой ABC при-
были?

Решение.

Запишем целевую функцию фирмы с учетом того, что

𝜋 = 𝑇 𝑅 − 𝑇 𝐶

𝑇 𝑅 =

𝑃𝑄

𝑇 𝐶 = 𝑤𝐿

𝑃 = 120 − 𝑄

𝑤 = 4𝐿

𝑄 = 2𝐿

𝑢 = (30 − 𝐿)/100 ⋅ 100 %

𝐵 = (120 − 2𝐿) ⋅ 2𝐿 − 4𝐿 ⋅ 𝐿 + 16(100 − (30 − 𝐿)).

После упрощения получаем

𝐵 = −8𝐿

+256𝐿+1120

. Это квадратичная парабола с ветвя-

ми вниз, вершина которой находится в точке

𝐿

⋆

= 16

. Тот же ответ можно получить,

взяв производную функции (

𝐵′ = −16𝐿 + 256

) и приравняв ее к 0. В этом случае можно

заметить, что производная в критической точке меняет знак с + на − (варианты: пер-
вая производная убывает, вторая производная равна

−16

, то есть отрицательна), так

что это точка максимума.

Примечание.

В этой задаче не будут работать стандартные формулы для ценообра-

зования монополии (

𝑀𝑅 = 𝑀𝐶

𝑀𝑅𝑃

𝐿

= 𝑀𝐶

𝐿

, связь индекса Лернера и эластичности

спроса и т. п.), так как целевая функция фирмы –– не прибыль.

Уровень безработицы составит

𝑢

⋆

= (100 − 70 − 16)/100 ⋅ 100 % = 14 %.

Прибыль фирмы равна

𝜋 = (120−2𝐿)⋅2𝐿−4𝐿⋅𝐿

. Это квадратичная парабола с ветвями

вниз, вершина которой находится в точке

𝐿

⋆

= 15

. Тот же ответ можно получить, взяв

производную функции (

𝜋′ = −16𝐿 + 240

) и приравняв ее к 0. В этом случае можно

заметить, что производная в критической точке меняет знак с + на − (варианты: первая

Региональный этап, 9 класс

Задача 3.

«Прибыль –– это не всё»

Всероссийская олимпиада школьников

2018

Экономика

производная убывает, вторая производная равна

−16

, то есть отрицательна), так что

это точка максимума.

Уровень безработицы в этом случае составил бы

𝑢

⋆⋆

= (100 − 70 − 15)/100 ⋅ 100 % = 15 %,

то есть на 1 процентный пункт больше.

Альтернативное решение.

Выше представлена максимизация по переменной

𝐿

поскольку ее непосредственно просят найти в задаче. С не меньшим успехом можно
было бы выразить функцию прибыли через

𝑤

𝑄

или

𝑃

(во всех случаях она оказалась

бы квадратичной параболой с ветвями вниз), максимизировать, а затем перейти к

𝐿

В случае корректного решения должно получаться:

Выражение для

𝐵

Выражение для

𝜋

max

𝐵

max

𝜋

−𝑤

/2 + 64𝑤 + 1120

−𝑤

/2 + 60𝑤

𝑤

⋆

= 64 𝑤

⋆⋆

= 60

−2𝑄

+ 128𝑄 + 1120

120𝑄 − 2𝑄

𝑄

⋆

= 32 𝑄

⋆⋆

= 30

−2𝑃

+ 352𝑃 − 12320 −2𝑃

+ 360𝑃 − 14400 𝑃

⋆

= 88 𝑃

⋆⋆

= 90

Схема проверки.

Схема проверки этой задачи написана в форме классификации

некорректностей (недочетов, ошибок, изъянов) в решениях участников. При выстав-
лении оценки нужно руководствоваться соотношением баллов и наборов нарушений,
приведенным в таблице ниже. Если в работах участников встречаются некорректно-
сти (или продвижения), не описанные в авторских схемах проверки, жюри должно
самостоятельно определить их тяжесть (или ценность) и отнести к одному из типов
в классификации.

Недочеты:

Н1.

Участник допустил ошибку в преобразованиях выражений, расчетах или диф-
ференцировании, не упростившую решение и не повлиявшую на ответ суще-
ственным образом: в частности, в ответе получилось

𝐿

⋆

> 𝐿

⋆⋆

, как и должно

быть.

Н2.

Участник не проверил достаточные условия максимума (например, нашел вер-
шину параболы, но не проверил, что она имеет ветви вниз) хотя бы один раз.

Ошибки:

О1.

Участник использовал неверную формулу для расчета уровня безработицы.

О2.

Участник не провел расчетов

𝐿

⋆⋆

, то есть не выяснил, сколько работников наняла

бы фирма, если бы она максимизировала прибыль.

О3.

Участник допустил ошибку в преобразованиях выражений, расчетах или диф-
ференцировании, приведшую к существенному упрощению дальнейшего ре-
шения, появлению не соответствующих экономической логике результатов или
качественному искажению результата (например, получилось, что фирма долж-
на закрыться).

Региональный этап, 9 класс

Задача 3.

«Прибыль –– это не всё»

Всероссийская олимпиада школьников

2018

Экономика

Изъяны:

И1.

Участник не провел расчетов

𝐿

⋆

, то есть не выяснил, сколько работников наймет

фирма с заданной целевой функцией.

Минимальные продвижения:

П1.

Участник выписал целевую функцию

𝐵

, преобразовав ее так, чтобы она зависела

от одной переменной.

Баллы Описание

Полное верное решение без недочетов

Решение верное, но в нем есть недочеты (один или несколько)

Решение в целом верное, но в нем есть одна ошибка

Решение в целом верное, однако в нем есть одна ошибка и один
или несколько недочетов

В решении имеется несколько ошибок или один изъян (наличие
недочетов не имеет значения)

Решение участников в целом неверное (то есть в нем есть больше
ошибок и изъянов, чем описано выше), однако в нем есть и мини-
мальные продвижения (одно или несколько)

Решение участников неверное, минимальное продвижение отсут-
ствует

Региональный этап, 9 класс

Задача 3.

«Прибыль –– это не всё»

Всероссийская олимпиада школьников

2018

Экономика

Задача 4.

«Географическое разнообразие»

(30 баллов)

В стране А есть столица и очень много маленьких городов. Автобусная компания

«Солнышко» является единственным перевозчиком между столицей и маленькими
городами. Компания сама выбирает цены билетов, а также то, в какие города будут хо-
дить автобусы из столицы (между маленькими городами дорог нет), при этом количе-
ство городов может быть только целым. Спрос на перевозки в каждый город одинаков
и имеет следующий вид:

𝑞

𝑖

= 400/𝑝

𝑖

, где

𝑞

𝑖

–– величина спроса на билеты на автобус

𝑖

-й город (в штуках),

𝑝

𝑖

–– цена билета в этот город (

𝑖 = 1, 2, … , 𝑁

, где

𝑁

–– общее ко-

личество городов, в которые ходят автобусы компании «Солнышко»).

Издержки перевозки одного пассажира в любой город составляют 2 денежных еди-

ницы, не считая издержек организации маршрута. Создание всё новых маршрутов ––
не такая уж и простая задача, требующая составления расписания, организации логи-
стики, закупок, установки турникетов и т. п. Организация маршрута в первый город
стоит 1 денежную единицу, во второй –– 2 денежные единицы, …, в

𝑁

-й город ––

𝑁

де-

нежных единиц.

Определите максимальную прибыль фирмы «Солнышко».

Решение.

Общую прибыль можно записать так:

𝜋 = (𝑝

𝑞

− 2𝑞

) + (𝑝

𝑞

− 2𝑞

) + ⋯ + (𝑝

𝑁

𝑞

𝑁

− 2𝑞

𝑁

) − (1 + 2 + ⋯ + 𝑁 ).

После подстановки обратных функций спроса

𝑝

𝑖

= 20/

√

𝑞

𝑖

и применения формулы

суммы арифметической прогрессии получаем:

𝜋 = (20

√

𝑞

− 2𝑞

) + (20

√

𝑞

− 2𝑞

) + ⋯ + (20

√

𝑞

𝑁

− 2𝑞

𝑁

) −

𝑁

+ 𝑁

Выражение в каждой из скобок –– парабола относительно

√

𝑞

𝑖

(каждое

√

𝑞

𝑖

влияет

на значение только «своей» параболы). Если

√

𝑞

𝑖

= 𝑡

, то выражения в скобках при-

нимают вид

(20𝑡 − 2𝑡

)

. Все параболы имеют вершину в точке

𝑡 = 5

, то есть

𝑞

𝑖

= 25

Тот же ответ можно получить, взяв производную функции прибыли от перевозок

до отдельного города:

𝜋

𝑖

′ = (20

√

𝑞

𝑖

− 2𝑞

𝑖

) ′ =

√

𝑞

𝑖

− 2.

Это убывающая функция, а значит, приравнивание ее к 0 даст максимум выражения
под знаком производной:

𝑞

𝑖

= 25

Еще один способ –– посчитать прибыль в регионе

𝑖

как функцию от цены:

𝜋

𝑖

= 𝑝

𝑖

⋅

400

𝑝

𝑖

− 2 ⋅

400

𝑝

𝑖

Это парабола с ветвями вниз относительно

𝑠 = 1/𝑝

𝑖

, максимум достигается при

𝑝

𝑖

= 4

Наконец, можно было узнать оптимальную цену, воспользовавшись формулой

взаимосвязи индекса Лернера и эластичности спроса (третий способ):

𝑝

𝑖

− 𝑀𝐶

𝑝

𝑖

|𝜀|

Региональный этап, 9 класс

Задача 4.

«Географическое разнообразие»

Всероссийская олимпиада школьников

2018

Экономика

При данных функциях спроса

|𝜀| = 2

, а

𝑀𝐶 = 2

по условию. Отсюда получаем

𝑝

𝑖

= 4

Этот результат никак не зависит от того, каково значение

𝑁

: сколько бы городов

ни обслуживала компания, в каждый будет продано 25 билетов, цена каждого билета
равна 4.

Запишем функцию прибыли с учетом выбора оптимальных

𝑞

𝑖

𝜋 = (20 ⋅ 5 − 2 ⋅ 25) ⋅ 𝑁 −

𝑁

+ 𝑁

99𝑁 − 𝑁

(4.1)

Это тоже парабола с ветвями вниз –– теперь уже зависящая от переменной

𝑁

. Ее мак-

симум достигается в вершине –– точке

𝑁 = 49,5

, но количество городов должно быть

целым. Поскольку квадратичная парабола симметрична относительно своей верши-
ны, а числа 49 и 50 находятся на одинаковом расстоянии от 49,5, в двух ближайших
целочисленных точках прибыль будет одинаковой и равной

𝜋 =

99 ⋅ 50 − 50

= 1225.

Альтернативное решение.

С помощью рассуждений из предыдущего пункта

можно рассчитать максимальную прибыль (не считая издержек открытия маршрута).
Она равна 50, то есть открытие каждого нового маршрута приносит компании допол-
нительно 50 денежных единиц. Так как каждый маршрут стоит дороже предыдущего,
запускать маршруты нужно до тех пор, пока издержки на запуск меньше или равны
дополнительной выгоде (после этого запуск нового маршрута будет уменьшать при-
быль). Таким образом, оптимально будет открыть 49 или 50 маршрутов, а максималь-
ная прибыль составит

50 ⋅ 49 − (1 + 2 + ⋯ + 49) = 50 ⋅ 50 − (1 + 2 + ⋯ + 50) = 1225

Схема проверки.

Схема проверки этой задачи написана в форме классификации

некорректностей (недочетов, ошибок, изъянов) в решениях участников. При выстав-
лении оценки нужно руководствоваться соотношением баллов и наборов нарушений,
приведенным в таблице ниже. Если в работах участников встречаются некорректно-
сти, не описанные в авторских схемах проверки, жюри должно самостоятельно опре-
делить их тяжесть (и отнести к одному из типов в классификации).

Недочеты:

Н1.

Участник допустил ошибку в преобразованиях выражений, расчетах или диф-
ференцировании, не упростившую решение и не повлиявшую на ответ суще-
ственным образом.

Н2.

Участник определил, какое

𝑁

максимизирует прибыль (с учетом максимизации

прибыли от каждого города), но не учел целочисленность, то есть оставил ответ
дробным.

Н3.

Н4.

Участник не посчитал численное значение максимальной прибыли, требующе-
еся в вопросе задачи.

Региональный этап, 9 класс

Задача 4.

«Географическое разнообразие»

содержание .. 71 72 73 74 ..