Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 61

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

𝑋

50 60

90 100

150

180

𝑌

50

60

100

120

150

𝑘 = 0,5

𝑘 = 2

Рис. 6.3:

Суммарная КПВ с миграцией и без.

Пусть теперь

𝑘 = 2

. Поскольку

2 ⋅ 60 > 60

, луч

𝑌 = 2𝑋

пересечет суммарную КПВ

на левом участке, который описывается уравнением

𝑌 = 120 − 𝑋

. Отсюда получаем,

что сообща страны могут произвести 40 комплектов, что не больше

2 ⋅ 20

. Значит,

взаимовыгодный обмен невозможнен.

На качественном уровне причина возникновения выигрыша от обмена заключа-

ется в том, что если Y нужно относительно немного

(𝑘 = 0,5)

, страны могут сэконо-

мить на строительстве одного завода (построить один завод вместо двух). Высвобо-
дившиеся ресурсы направляются на производство товаров.

Причина возникновение выигрыша от обмена в данном случае, в отличие от стан-

дартной модели, состоит не в наличии сравнительного преимущества. См. примеча-
ние в конце решения.

г)

При

𝑘 = 0,5

взаимовыгодный обмен возможен даже без миграции. Если повто-

рить операции из б) (не перемещая трудовые ресурсы) благосостояние увеличится,
так что ответ — «да».

При

𝑘 = 2

возможность миграции меняет ситуацию по сравнению с пунктом в).

Действительно, луч

𝑌 = 2𝑋

пересечет общую КПВ при возможности миграции вы-

ше, чем общую КПВ в отсутствие миграции. Общая КПВ при возможности миграции

Заключительный этап, 10-11 класс

6

Задача 6.

Две Кругмании

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

описывается уравнением

𝑌 = 150 − 𝑋

, значит сообща страны смогут произвести 50

комплектов, что больше, чем 40 при индивидуальном производстве. Выигрыш в 10
комплектов можно реализовать и распределить между трудовыми единицами так:
(1) все трудовые единицы мигрируют из страны 1 в страну 2; (2) в стране 2 строит-
ся завод и производятся 50 единиц X и 100 единиц Y (трудовых ресурсов хватит). (3)
получившиеся 50 комплектов распределяются.

При возможности миграции возможности даже одного завода перестают быть

ограниченными трудовыми ресурсами одной страны, и поэтому страны могут обой-
тись строительством одного завода – и сэкономить на втором заводе – даже при вы-
соком спросе на Игрек.

Примечание

: Заметим, что в данной модели существует положительный выиг-

рыш от обмена даже в ситуации, когда технологии производства в странах абсо-
лютно одинаковы, то есть когда ни одна из стран не имеет строгого сравнительно-
го преимущества. Как сказано выше, причина этого – наличие постоянных издер-
жек, которые можно сэкономить. Один из первых этот феномен заметил нобелев-
ский лауреат Пол Кругман. Популярное изложение этой и других его идей мож-
но найти в комментарии нобелевского комитета по поводу присуждения премии:
https://www.nobelprize.org/prizes/economic-sciences/2008/popular-information.

Схема проверки

а)

1 балл за правильный график КПВ, 1 балл за правильное нахождение искомых

величин (если одна из них найдена неверно, балл ставится, если обе неверно –– не
ставится).

б)

По 1 баллу за каждую из КПВ.

в)

По 1 баллу за верный ответ с обоснованием для каждого

𝑘

. Явный пример обме-

на не требуется, достаточно показать, что суммарное производство комплектов мож-
но увеличить. 1 балл за объяснение на качественном уровне: зачет по указанию на
экономию на строительстве одного завода.

г)

По 1 баллу за за верный ответ с обоснованием для каждого

𝑘

. Явный пример

обмена не требуется, достаточно показать, что суммарное производство комплектов
можно увеличить.

Заключительный этап, 10-11 класс

7

Задача 6.

Две Кругмании

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

Задача 7.

Номинальная жесткость

(9 баллов)

Спрос на продукцию монополиста в год

𝑡

имеет вид:

𝑞

𝑡

= 16/𝑥

2

𝑡

. Здесь

𝑥

𝑡

–– реаль-

ная цена единицы продукции монополиста:

𝑥

𝑡

= 𝑎

⋆

𝑡

/𝑃

𝑡

, где

𝑃

𝑡

–– общий уровень цен в

экономике,

𝑎

⋆

𝑡

–– номинальная цена единицы продукции. Реальные издержки фирмы

в расчете на единицу продукции постоянны и равны 2. Выпуск монополиста относи-
тельно мал по сравнению с общим выпуском товаров и услуг в экономике, поэтому
его решения не влияют на общий уровень цен. Уровень инфляции в экономике в годо-
вом выражении всегда равен

𝜋

⩾

0

и известен монополисту. Горизонт планирования

монополиста –– два года (текущий и следующий), он назначает номинальные цены
так, чтобы максимизировать суммарную реальную прибыль за этот период.

а)

(2 балла)

Пусть монополист может назначать разные номинальные цены на те-

кущий и следующий год. Как его оптимальный выпуск будет зависеть от инфляции?

б)

(6 баллов)

Предположим, что в силу технологических ограничений монополист

может менять номинальную цену на свою продукцию только один раз в два года (то
есть должен назначить одинаковую на текущий и следующий год). Для каждого зна-
чения инфляции найдите оптимальный выпуск монополиста в год назначения цены.
В каком случае этот выпуск выше: при нулевой инфляции или при положительной?

в)

(1 балл)

Приведите содержательное экономическое объяснения полученного

различия в ответах пунктов

а)

и

б)

.

Решение

а)

В этом случае прибыль фирмы в период имеет вид:

(16

𝑃

1

𝑎

⋆

1

− 32

𝑃

2

1

(𝑎

⋆

1

)

2

) + (16

𝑃

2

𝑎

⋆

2

− 32

𝑃

2

2

(𝑎

⋆

2

)

2

)

Это выражение можно максимизировать как сумму двух независимых парабол

(так как цена в каждом периоде назначается отдельно). В каждом случае прибыль
максимальна при выпуске, равном 1. В условиях отсутствия номинальной жесткости
оптимальный выпуск не зависит от инфляции.

б)

Реальная прибыль монополиста в году

𝑡

имеет вид

𝑎

⋆

𝑡

𝑃

𝑡

𝑞

𝑡

− 2𝑞

𝑡

= 16

𝑃

𝑡

𝑎

⋆

𝑡

− 32

𝑃

2

𝑡

(𝑎

⋆

𝑡

)

2

Поэтому суммарную реальную прибыль за два года можно записать вот так:

(16

𝑃

1

𝑎

⋆

− 32

𝑃

2

1

(𝑎

⋆

)

2

) + (16

𝑃

2

𝑎

⋆

− 32

𝑃

2

2

(𝑎

⋆

)

2

)

Обратите внимание, что у

𝑎

⋆

нет индекса, так как монополист устанавливает но-

минальную цену один раз для двух периодов сразу.

Упростим это выражение, а также воспользуемся тем, что по условию

𝑃

2

=

(1 + 𝜋) 𝑃

1

:

Заключительный этап, 10-11 класс

8

Задача 7.

Номинальная жесткость

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

16𝑃

1

(

2 + 𝜋

𝑎

⋆

−

2𝑃

1

(1 + (1 + 𝜋)

2

)

(𝑎

⋆

)

2

)

Относительно

1/𝑎

⋆

это выражение является параболой с ветвями, направленными

вниз. Поэтому можем найти её вершину. Это и будет точка, в которой прибыль фирмы
максимальна.

1

𝑎

⋆

=

2 + 𝜋

4𝑃

1

(2 + 2𝜋 + 𝜋

2

)

Отсюда следует, что:

𝑃

1

𝑎

⋆

=

2 + 𝜋

4 (2 + 2𝜋 + 𝜋

2

)

Выпуск первого периода равен:

𝑞

1

= 16 (

𝑃

1

𝑎

⋆

)

2

= 16 (

2 + 𝜋

4 (2 + 2𝜋 + 𝜋

2

)

)

2

= (

2 + 𝜋

2 + 2𝜋 + 𝜋

2

)

2

При нулевом уровне инфляции выпуск равен единице, а при положительном

уровне инфляции он меньше единицы. Инфляция негативно сказывается на теку-
щем выпуске фирмы.

в)

В первом случае в результате полной гибкости цен монополист независимо на-

значает выпуск для каждого периода. Поэтому инфляция не влияет на реальные по-
казатели (влияет только на номинальные). Нейтральность денег.

Во втором случае из-за номинальной жесткости монополист в условиях инфля-

ции не может поддерживать одинаковую реальную цену в двух периодах. Чем силь-
нее инфляция, тем сильнее отличаются реальные цены в двух периодах, и тем силь-
нее отличаются объемы выпуска в двух периодах. В результате, инфляция влияет на
реальные показатели.

Схема проверки

а)

Полное решение — 2 балла. Нет полного решения, но есть верная идея (коррект-

но записана целевая функция) — 1 балл.

б)

Полное решение — 6 баллов:

• 2 балла за верную целевую функцию (номинальная цена должна быть одинако-

вой для двух периодов.

• 3 балла за вычисления (снимаем 1 балл за вычислительную ошибку в конце или

2 балла за вычислительную ошибку в самом начале)

• 1 балл за сравнение выпуска при нулевой и положительной инфляции.

в)

Если в пунктах

а)

и

б)

участник олимпиады получил верный вывод о характере

влияния инфляции на выпуск и сопроводил их в пункте

в)

любым содержательным

комментарием, то за этот пункт выставляется 1 балл.

Заключительный этап, 10-11 класс

9

Задача 7.

Номинальная жесткость

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

Задача 8.

Пирамида потребностей

(9 баллов)

Из школьного курса обществознания вам может быть знакома теория потребно-

стей человека, известная как

пирамида Маслоу

. Ее основополагающий принцип в том,

что пока не удовлетворены потребности низкого уровня, индивид не стремится удо-
влетворять потребности более высокого уровня. В большинстве экономических моде-
лей этот принцип игнорируется, но не в этой задаче.

Харитон потребляет два блага –– Хлеб (

𝑋

) и Зрелища (

𝑌

). Если он потребляет мень-

ше 10 единиц какого-то из этих благ, то его потребность в этом благе считается неудо-
влетворенной. Пока потребление Хлеба меньше 10, каждая дополнительная единица
Хлеба приносит Харитону 2 единицы полезности, а после достижения этого уровня,
то есть после того, как потребность удовлетворена, –– только 1 единицу полезности.

В пирамиде потребностей Харитона потребность в Хлебе занимает первую сту-

пень, а в потребность в Зрелищах –– вторую: если потребность в Хлебе не удовлетво-
рена, полезность от потребления Зрелищ равна 0. Если же потребление Хлеба не мень-
ше 10 единиц, полезность от потребления Зрелищ устроена так же, как и полезность
Хлеба: до достижения количества 10 каждая единица Зрелищ приносит 2 единицы
полезности, а после –– только 1 единицу полезности.

Доход Харитона равен 300, он максимизирует суммарную полезность.

а)

(2 балла)

Допустим, цена единицы Хлеба (

𝑝

𝑥

) равна 10, а цена единицы Зрелищ

(

𝑝

𝑦

) равна 15. Найдите оптимальные для Харитона объемы потребления Хлеба и Зре-

лищ,

𝑥

⋆

и

𝑦

⋆

.

б)

(3 балла)

При каких (неотрицательных) ценах

𝑝

𝑥

,

𝑝

𝑦

потребность Харитона в Зре-

лищах будет в оптимуме удовлетворяться, то есть

𝑦

⋆

⩾

10

? Изобразите на плоскости

множество таких пар цен.

в)

(4 балла)

Добавим на вершину пирамиды третье благо — Книги (

𝑍

). Полезность

от чтения Книг равна нулю, если потребность в Хлебе или Зрелищах не удовлетво-
рена. Если же обе эти потребности удовлетворены, каждая единица Книг приносит
Харитону 2 единицы полезности независимо от количества Книг. Цена Книг

𝑝

𝑧

равна

4. Ответьте на вопросы пункта

б)

.

Решение

а)

Индивиду хватит денег, чтобы удовлетворить потребность в Хлебе (

10 ⋅ 10 =

100 < 300

), а значит, он ее удовлетворит. Оставшиеся 200 д.е. можно продолжать тра-

тить на Хлеб, а можно начать покупать Зрелища. Если удовлетворить потребность в
Зрелищах, то оставшиеся деньги (

200−10⋅15 = 50

) нужно будет точно тратить на Хлеб,

так как предельные полезности Хлеба и Зрелищ будут одинаковы (равны 1), а Хлеб
дешевле. Эти 50 д.е. будут тратиться на Хлеб также и в случае, если индивид выбе-
рет вообще не покупать Зрелища. Таким образом, весь вопрос в том, куда потратить

300 − 100 − 50 = 150

ден. ед. — на Хлеб или на 10 единиц Зрелищ. Если потратить их

на Хлеб, можно получить

150/10 ⋅ 1 = 15

единиц полезности, а если на Зрелища, то

(150/15 ⋅ 2 = 20

единиц полезности (это то же самое, что и сравнить величины

𝑀𝑈 /𝑃

для Хлеба и Зрелищ). Таким образом, тратить нужно на Зрелища. Всего индивид ку-
пит

𝑥

⋆

= 10 + 50/10 = 15

единиц Хлеба и

𝑦

⋆

= 10

единиц Зрелищ.

(𝑥

⋆

,𝑦

⋆

) = (15, 10)

.

Заключительный этап, 10-11 класс

10

Задача 8.

Пирамида потребностей

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

б)

Во-первых, для того чтобы чтобы купить хотя бы 10 единиц Зрелищ было опти-

мально, индивиду должно хватить денег как на удовлетворение потребности в Зре-
лищах, так и на удовлетворение потребности в Хлебе (ведь без того Зрелища не при-
носят полезности):

10𝑝

𝑥

+ 10𝑝

𝑦

⩽

300

.

Если это условие выполнено, то индивид будет тратить деньги на Зрелища тогда

и только тогда, когда

10 ⋅ 2

⩾

1 ⋅ 10𝑝

𝑦

/𝑝

𝑥

, иначе те же деньги лучше потратить на Хлеб.

Таким образом, должно выполняться

𝑝

𝑦

⩽

2𝑝

𝑥

. Получаем, что искомое множество

задается системой условий

{

𝑝

𝑥

+ 𝑝

𝑦

⩽

30;

𝑝

𝑦

⩽

2𝑝

𝑥

.

(При этом, если

𝑝

𝑦

< 𝑝

𝑥

, индивид будет не только удовлетворять потребность в

Зрелищах, но и тратить на них все деньги, оставшиеся после удовлетворения потреб-
ности в Хлебе; но вопрос данного пункта не об этом.)

Множество изображено на рисунке:

𝑝

𝑥

10

30

𝑝

𝑦

20

в)

Как и в предыдущем пункте, должно выполняться условие

10𝑝

𝑥

+ 10𝑝

𝑦

⩽

300

,

иначе у индивида не хватит денег на удовлетворение потребности в

𝑌

. Обозначим за

𝐼

1

≥ 0

сумму денег, которая останется у индивида после удовлетворения потребности

в Хлебе и Зрелищах.

Кроме того, если

𝑝

𝑦

⩽

𝑝

𝑥

, то потребность в Зрелищах, очевидно, будет удовлетво-

ряться так как в этом случае предельная полезность Зрелищ больше, чем у Хлеба, и
они еще и дешевле. Поэтому ниже мы будем рассматривать только случай

𝑝

𝑦

> 𝑝

𝑥

.

Допустим, индивид удовлетворил потребность в Хлебе. Если он потратит все

оставшиеся деньги на Хлеб, он получит дополнительную полезность в размере

𝑈

𝑎𝑑𝑑

0

= (300 − 10𝑝

𝑥

)/𝑝

𝑥

= 300/𝑝

𝑥

− 10

. Если он решит удовлетворить потребность в

Заключительный этап, 10-11 класс

11

Задача 8.

Пирамида потребностей

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

Зрелищах, то его дополнительная полезность будет равна

𝑈

𝑎𝑑𝑑

1

= 2 ⋅ 10 +

max

{1 ⋅

𝐼

1

𝑝

𝑥

, 2 ⋅

𝐼

1

𝑝

𝑧

}

После удовлетворения потребности в

𝑌

индивиду нужно будет выбрать, потратить ли

оставшиеся деньги на

𝑋

или на

𝑍

– отсюда два аргумента у оператора «максимум».

(На

𝑌

деньги после удовлетворения потребности в нем точно не тратим, так как он

дорогой,

𝑝

𝑦

> 𝑝

𝑥

.)

Удовлетворять потребность в

𝑌

выгодно, когда

𝑈

𝑎𝑑𝑑

1

⩾

𝑈

𝑎𝑑𝑑

0

. Подставляя в это нера-

венство выражение для

𝐼

1

, значение

𝑝

𝑧

= 4

, и раскрывая оператор «максимум», полу-

чаем, что покупка 10 единиц Зрелищ оптимальна, когда

𝑝

𝑦

⩽

{

2𝑝

𝑥

,

𝑝

𝑥

< 2;

36 − 𝑝

𝑥

−

60
𝑝

𝑥

, 2

⩽

𝑝

𝑥

.

Дополняя это условие условием, что

10𝑝

𝑥

+ 10𝑝

𝑦

⩽

300

, то есть

𝑝

𝑦

⩽

30 − 𝑝

𝑥

, оконча-

тельно получаем, что верхняя граница искомого множества описывается уравнением

𝑝

𝑦

=

⎧

⎪
⎨

⎪

⎩

2𝑝

𝑥

,

𝑝

𝑥

< 2;

36 − 𝑝

𝑥

−

60
𝑝

𝑥

, 6

⩽

𝑝

𝑥

< 10;

30 − 𝑝

𝑥

,

10

⩽

𝑝

𝑥

⩽

30.

(Чтобы получить точку

𝑝

𝑥

= 10

, нужно решить уравнение

36 − 𝑝

𝑥

−

60
𝑝

𝑥

= 30 − 𝑝

𝑥

.)

Множество изображено на рисунке:

𝑝

𝑥

10

30

𝑝

𝑦

20

Заметим, что множество расширилось по сравнению с пунктом

б)

. Это произо-

шло из-за того, что при наличии товара

𝑍

, стоящего выше в пирамиде потребностей,

Заключительный этап, 10-11 класс

12

Задача 8.

Пирамида потребностей

Всероссийская олимпиада школьников

2019

Экономика

удовлетворение потребности в

𝑌

не только приносит полезность само по себе, но и

по сути дела представляет собой «покупку опциона» на получение полезности от по-
требления

𝑍

. Удовлетворение потребности в

𝑌

стало выгоднее, и множество цен, при

котором оно оптимально, расширилось.

Схема проверки

Везде, где требовалось найти неравенство, засчитывалось как строгое, так и нестро-

гое неравенство.

а)

Верный ответ с неполным объяснением:

1 балл

. За полное объяснение ставился

ещё

1 балл

.

б) 1 балл

за неравенство

𝑝

𝑥

+ 𝑝

𝑦

⩽

30

,

1 балл

за неравенство

𝑝

𝑦

⩽

2𝑝

𝑥

,

1 балл

за

правильный рисунок.

в) 1 балл

за неравенство, в котором сравнивается полезность покупки только Хле-

ба и полезность покупки 10 единиц Хлеба, 10 единиц Зрелищ и какого-то колчество
книг, с обоснованием, почему это неравенство нужно рассмотреть. Полезности долж-
ны быть выражены через

𝑝

𝑥

и

𝑝

𝑦

.

1 балл

за неравенство

𝑝

𝑦

⩽

36 − 𝑝

𝑥

−

60
𝑝

𝑥

или в аналогичном упрощённом виде.

1 балл

за полное описание множества подходящих значений

(𝑝

𝑥

, 𝑝

𝑦

)

. Например,

оно могло быть выписано в виде подграфика кусочно-заданной функции, или в виде
системы/совокупности неравенств.

1 балл

за верный рисунок.

Заключительный этап, 10-11 класс

13

Задача 8.

Пирамида потребностей