Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 39

Всероссийская олимпиада школьников

2020

Экономика

имеет вид

𝑄 = 68𝑏 − 𝑏𝑃

. Максимизируем выручку

𝑇 𝑅 = 𝑏 ⋅ (68 − 𝑃)𝑃

и получаем ответ:

𝑃

⋆

= 34

вне зависимости от параметров.

2.3.

Бескупонная облигация номиналом 50 д. е. имеет срок погашения через 1 год

от текущего момента и в данный момент торгуется по цене 40 д. е. Сколько стоила бы
такая облигация, если бы до срока погашения оставалось 2 года?
1) 25 д. е.;

2) 30 д. е.;

3)

32 д. е.;

4) 36 д. е.

Комментарий

. Заплатив сейчас 40 д. е., держатель облигации получает 50 д. е. че-

рез год. То есть при годовой ставке дисконтирования

𝑟

должно быть выполнено

40 =

50

1 + 𝑟

,

откуда

𝑟 = 0,25

(ставка дисконтирования равна 25 %). Посчитаем цену облигации

со сроком погашения через два года:

𝑃 =

50

(1 + 𝑟)

2

=

50

1,25

2

= 32.

2.4.

Для какой КПВ альтернативные издержки строго возрастают?

1)

𝑦 = 1 − 0,5𝑥

;

2)

𝑦 = 1 − 0,5𝑥

2

;

3)

𝑦 = 1 − 2𝑥

;

4)

𝑦 = 1 − 2

√

𝑥

.

Комментарий

. В вариантах 1) и 3) представлены линейные КПВ, вдоль которых

альтернативные издержки одинаковы в любой точке (не возрастают и не убывают). В
варианте 2 представлена вогнутая (выпуклая вверх) КПВ, вдоль которой при том же
самом увеличении выпуска одного товара приходится отказываться от всё большего
количества другого товара. В варианте 4 представлена выпуклая (вниз) КПВ, вдоль ко-
торой при том же самом увеличении выпуска одного товара приходится отказываться
от всё меньшего количества другого товара.

2.5.

Наряду с коэффициентом Джини экономисты используют и другие меры нера-

венства доходов. Одной из них является

децильный коэффициент

–– отношение дохо-

дов 10 % богатейших к доходам 10 % беднейших. Если кривая Лоренца в стране зада-
ется уравнением

𝑦 = 𝑥

2

, то децильный коэффициент равен:

1) 9;

2) 10;

3)

19;

4) 20.

Комментарий

. По определению кривой Лоренца получаем, что доходы 10 % бед-

нейших составляют

0,1

2

= 0,01

суммарного дохода, а доходы 10 % богатейших ––

1 − 0,9

2

= 0,19

суммарного дохода.

Задание 3

5 вопросов

, в каждом из которых среди четырех вариантов нужно выбрать все вер-

ные. Правильным ответом считается полное совпадение выбранного множества ва-
риантов с ключом. Правильный ответ приносит

5 баллов

.

Региональный этап, 10-11 класс

3

Первый тур. Тест.

Всероссийская олимпиада школьников

2020

Экономика

3.1.

Для каких производственных функций верно следующее утверждение: «если

увеличить количество факторов производства

𝐾

и

𝐿

в

𝑡 > 1

раз, выпуск увеличится

во столько же раз»?
1)

𝑞

1

= 𝐾𝐿

;

2)

𝑞

2

= 𝐾 + 2𝐿

;

3)

𝑞

3

=

√

𝐾𝐿

;

4)

𝑞

4

=

√

𝐾

2

+ 𝐿

2

.

Комментарий

.

𝑞

1

(𝑡𝐾,𝑡𝐿) = 𝑡𝐾 ⋅ 𝑡𝐿 = 𝑡

2

𝐾𝐿 = 𝑡

2

𝑞

1

(𝐾,𝐿) > 𝑡𝑞

1

(𝐾,𝐿);

𝑞

2

(𝑡𝐾,𝑡𝐿) = 𝑡𝐾 + 2𝑡𝐿 = 𝑡(𝐾 + 2𝐿) = 𝑡𝑞

2

(𝐾,𝐿);

𝑞

3

(𝑡𝐾,𝑡𝐿) =

√

𝑡𝐾 ⋅ 𝑡𝐿 = 𝑡

√

𝐾𝐿) = 𝑡𝑞

3

(𝐾,𝐿);

𝑞

4

(𝑡𝐾,𝑡𝐿) =

√

(𝑡𝐾)

2

+ (𝑡𝐿)

2

= 𝑡

√

𝐾

2

+ 𝐿

2

= 𝑡𝑞

4

(𝐾,𝐿).

3.2.

Аяз решил открыть в небольшом городе сеть киосков с кофе навынос. Перво-

начальные инвестиции составят

𝐼

млн руб., первые два года сеть будет приносить

по 3,2 млн руб. прибыли в конце каждого года, а затем, в связи с появлением конку-
рентов, по 1 млн руб. в год. Бизнес теоретически может существовать бесконечно. Аяз
также может положить деньги на депозит в банк, на котором каждый год начисля-
ются проценты по ставке 10 % годовых (сложные проценты). При каких значениях

𝐼

вкладывать деньги в бизнес выгоднее, чем в банк?

1)

11;

2)

12;

3)

13;

4) 14.

Комментарий

. Приведенная стоимость проекта равна (без учета первоначальных

инвестиций):

1 + 2,2

1,1

+

1 + 2,2

1,1

2

+

1

1,1

3

+

1

1,1

4

+ … =

1

0,1

+

2,2
1,1

+

2,2

1,1

2

.

Легко установить, что это число принадлежит интервалу

(13; 14)

, откуда и следует от-

вет.

3.3.

Спрос на продукцию монополиста описывается уравнением

𝑃

𝑑

= 10−𝑄

5

, а общие

издержки –– уравнением

𝑇 𝐶(𝑄) = 𝑄

2

+ 𝑄 + 1

. Пусть

𝑄

⋆

–– оптимальный выпуск данной

фирмы. Выберите утверждения, которые верны при

𝑄 = 𝑄

⋆

.

1)

Эластичность спроса по цене по модулю больше единицы.

2)

Эластичность выручки по цене отрицательна.

3)

Эластичность средних переменных издержек по выпуску меньше единицы.

4)

Эластичность постоянных издержек по выпуску не больше, чем эластичность пе-

ременных издержек по выпуску.

Комментарий

. (1) Верно, так как монополист при положительных предельных из-

держках всегда выбирает точку на эластичном участке спроса. (2) эквивалентно (1),
а значит, тоже верно. (Можно вывести (2) и напрямую: если бы выручка возрастает
по цене в окрестности точки

𝑃

0

, то прибыль фирмы увеличилась бы при росте цены,

Региональный этап, 10-11 класс

4

Первый тур. Тест.

Всероссийская олимпиада школьников

2020

Экономика

а значит

𝑃

0

не может быть оптимумом). (3) верно, так как данная эластичность рав-

на

𝑄/(𝑄 + 1)

. (4) верно, так как эластичность постоянных издержек по выпуску равна

нулю, а переменные издержки при неотрицательных

𝑄

возрастают.

3.4.

Мир состоит из двух стран, в которых производятся два товара ––

𝑋

и

𝑌

. В первой

стране КПВ описывается уравнением

𝑋 +𝑌 = 1

, а во второй стране ––

𝑋 +2𝑌 = 1

. Товары

потребляются только в некой фиксированной пропорции (возможно, разной в разных
странах). Изначально страны не торгуют друг с другом. После открытия торговли каж-
дая из стран станет ценополучателем на мировом рынке, где можно будет обменять
одну единицу Икса на

𝑝 > 0

единиц Игрека. Страна

не проигрывает

от торговли, если

потребление в ней товаров не уменьшается, и

выигрывает

, если потребление в ней

товаров увеличивается. Тогда:

1)

При

𝑝 ≠ 1

первая страна выигрывает от торговли;

2) При

𝑝 ≠ 2

вторая страна выигрывает от торговли;

3)

При каждом

𝑝 > 0

каждая из стран не проигрывает от торговли;

4)

При каждом

𝑝 > 0

хотя бы одна из стран выигрывает от торговли.

Комментарий

. Из стандартного графического анализа следует, что страна выиг-

рывает, если

𝑝

отличается от альтернативных издержек производства единицы Ик-

са, и не проигрывает в любом случае. (3) верно. Поскольку альтернативные издержки
в странах отличаются, (4) также верно. (1) верно, потому что альтернативные издерж-
ки в первой стране равны 1. (2) неверно, так как альтернативные издержки во второй
стране равны

1/2

.

3.5.

У фирмы есть два завода с функциями издержек

𝑇 𝐶

1

(𝑞

1

) = 1 −

1

𝑞

1

+ 1

,

𝑇 𝐶

2

(𝑞

2

) = 1 −

1

𝑞

2

+ 2

.

Фирма распределяет общий выпуск

𝑄 > 0

между заводами так, чтобы суммарные

издержки были минимальны. Заметьте, что

𝑇 𝐶

2

(0) > 0

; фирма не может избавиться

от этих издержек. Что из перечисленного верно?

1)

Общие издержки на каждом из заводов возрастают.

2)

Предельные издержки на каждом из заводов убывают.

3)

Ни при каком

𝑄 > 0

фирма не будет производить сразу на двух заводах.

4) При каждом

𝑄 > 0

фирма будет производить весь выпуск на первом заводе.

Комментарий

. Возрастание

𝑇 𝐶

𝑖

следует из вида функций. Поскольку каждая

из функций задает возрастающую гиперболу, график которой стремится к горизон-
тальной асимптоте,

𝑇 𝐶

𝑖

возрастают убывающим темпом, а значит предельные из-

держки убывают. Значит (2) тоже верно. (3) следует из убывания

𝑀𝐶

𝑖

. Действительно,

рассмотрим любое распределение

(𝑞

1

, 𝑞

2

)

,

𝑞

𝑖

> 0

,

𝑞

1

+ 𝑞

2

= 𝑄

, такое, что предельные

издержки не равны. По стандартному аргументу, нужно перенести выпуск с того за-
вода, на котором предельные издержки больше, на тот, где они меньше, и суммарные

Региональный этап, 10-11 класс

5

Первый тур. Тест.

Всероссийская олимпиада школьников

2020

Экономика

издержки уменьшатся. Но поскольку предельные издержки убывают, разрыв между
предельными издержками только увеличится, а значит, перераспределение выпус-
ка нужно продолжить. В итоге мы придем к использованию только одного завода, а
суммарные издержки будут меньше, чем в (любой) начальной точке. (4) же неверно:
возьмем, например

𝑄 = 1

. Если произвести все на первом заводе, суммарные издерж-

ки составят

𝑇 𝐶

1

(1) + 𝑇 𝐶

2

(0) = 1

. Если произвести все на втором заводе, суммарные

издержки составят

𝑇 𝐶

1

(0) + 𝑇 𝐶

2

(1) = 2/3 < 1

. Заметим, что простое сравнение

𝑇 𝐶

1

(𝑄)

и

𝑇 𝐶

2

(𝑄)

приведет к неверному ответу.

Задание 4

5 вопросов

с открытым ответом. Правильный ответ приносит

7 баллов

.

Комментарий

. В этой части следует засчитывать все правильные по смыслу от-

веты, в том числе ответы с соответствующими предлогами и единицами измерения.
Например, в вопросе 4.1 нужно наряду с ответом «30» засчитывать ответы «на 30»,
«30 %», «на 30 %», а в вопросе 4.3 –– ответ «не изменится».

4.1.

Спрос на некий товар в континентальной Европе равен

𝑄

𝑑

= 100−𝑃

, предложение

равно

𝑄

𝑠

= 𝑃

. Изначально Британия может экспортировать в континентальную Евро-

пу любое количество товара по цене 30. После выхода Британии из Евросоюза на бри-
танские товары в континентальной Европе начнет действовать импортная пошлина
в размере 20 %. На сколько процентов в результате уменьшится выручка британских
производителей от экспорта (за вычетом пошлины)?

Ответ:

30.

Комментарий

. Изначально импорт равен

𝑄

𝑑

(30) − 𝑄

𝑠

(30) = 40

. После введения по-

шлины фактическая цена в Европе повысится до

30 ⋅ 1,2 = 36

, а значит, импорт умень-

шится до

𝑄

𝑑

(36) − 𝑄

𝑠

(36) = 28

, то есть сократится на 30 %. Поскольку финальная цена

для импортеров не изменится, на столько же процентов уменьшится и их выручка.

4.2.

Фирма-монополист работает на рынке с функцией спроса

𝑃 = 20 − 𝑄

и сама до-

ставляет товар потребителям. Изначально предельные издержки, включая издержки
на доставку, постоянны и равны 10. Фирма рассматривает возможность приобретения
парка беспилотников (дронов); поскольку доставка беспилотниками быстрее и удоб-
нее для потребителей, спрос вырастет до

𝑃 = 25 − 𝑄

, при этом предельные издержки

сократятся до 7 за счет снижения затрат на доставку. Какую максимальную сумму го-
това фирма заплатить за парк беспилотников?

Ответ:

56.

Комментарий

. Изначально прибыль фирмы равна максимуму функции

(20−𝑄)𝑄−

10𝑄

, то есть 25. При доставке беспилотниками прибыль фирмы равна максимуму

функции

(25 − 𝑄)𝑄 − 7𝑄

, то есть 81. Значит, фирма готова заплатить за беспилотники

не более

81 − 25 = 56

.

Региональный этап, 10-11 класс

6

Первый тур. Тест.

Всероссийская олимпиада школьников

2020

Экономика

4.3.

Функция издержек фирмы на рынке совершенной конкуренции в краткосроч-

ном периоде имеет вид

𝑇 𝐶(𝑞) = {

2019,

𝑞 = 0;

𝑞

2

+ 𝑞 + 2020, 𝑞 > 0.

На сколько единиц изменится оптимальный объем выпуска при росте цены с 1 до 2?

Ответ:

0.

Комментарий

. Найдем минимум средних переменных издержек фирмы. Посто-

янные издержки равны 2019, и потому переменные издержки равны 0 при

𝑞 = 0

и рав-

ны

𝑞

2

+ 𝑞 + 1

при

𝑞 > 0

. Средние переменные издержки равны

𝑞 + 1/𝑞 + 1

при

𝑞 > 0

.

Минимум этой функции достигается при

𝑞 = 1

и равен 3. Значит, при

𝑃 < 3

фирма

ничего не будет производить. Подобная функция издержек характеризует фирму, ко-
торая несет большие издержки, даже если ничего не выпускает, и должна потратить
единицу на запуск завода, если захочет что-нибудь произвести.

4.4.

В стране Z кривая Лоренца определяется как

𝑦 = 𝑥

3

. Какое значение примет коэф-

фициент Джини, если суммарный доход беднейшей половины населения равномер-
но распределить между ними, а суммарный доход богатейшей половины населения
равномерно распределить между ними?

Ответ:

0,375.

Комментарий

. Беднейшая половина населения располагает доходом

𝑦(0,5) =

0,125

; новая кривая Лоренца будет ломаной линией, проходящей через точки

(0; 0)

,

(0,5; 0,125)

и

(1; 1)

. Для такой кривой Лоренца индекс Джини составит

𝐺 = 0,5 − 0,125 =

0,375

(37,5 %).

4.5.

Вы проводите сравнительный анализ производительности фирм, для чего пе-

ред вами стоит задача оценки производственных функций. Про некую фирму вам
известно, что она закупает единственный фактор производства –– труд –– на рынке со-
вершенной конкуренции и продает свой товар на рынке совершенной конкуренции
по цене 2. Вы знаете также, что производственная функция фирмы

𝑄(𝐿)

описывается

возрастающим участком квадратичной параболы с ветвями вниз (при

𝐿 > 𝐿

вершины

выпуск такой же, какой и в вершине этой параболы) и что

𝑄(0) = 0

. Наконец, вы

наблюдаете спрос фирмы на труд:

𝐿

𝑑

(𝑤) = 100 − 𝑤

. Определите среднюю производи-

тельность труда при

𝐿 = 60

.

Ответ:

35.

Комментарий

. Производственная функция описывается уравнением

𝑄 = 𝑎𝐿 − 𝑏𝐿

2

,

а прибыль фирмы –

𝜋(𝐿) = 2(𝑎𝐿−𝑏𝐿

2

)−𝑤𝐿

. Максимизируя ее, фирма будет предъявлять

спрос на труд

𝐿

𝑑

(𝑤) = 𝑎/(2𝑏) − 𝑤/(4𝑏)

. Поскольку

𝑎/(2𝑏) = 100

,

1/(4𝑏) = 1

, получаем

𝑏 = 1/4

,

𝑎 = 50

.

𝐴𝑃

𝐿

(60) = 𝑎 − 60𝑏 = 50 − 60/4 = 35

.

Региональный этап, 10-11 класс

7

Первый тур. Тест.

Региональный этап

15 февраля 2020 года

Конкурс:

10-11 класс

Второй тур. Задачи.

Решения.

Продолжительность работы ––

140 минут

.

Максимальное количество баллов за задачи ––

120

.

Каждая задача оценивается из

30 баллов

.

Уважаемые коллеги!
В этом документе вы найдете решения задач регионального этапа всероссийской

олимпиады школьников по экономике 2020 года. Мы надеемся, что сами задания,
а также процесс их проверки доставят вам удовольствие.

При проверке задач нужно придерживаться схем, разработанных Центральной

предметно-методической комиссией (ЦПМК) по экономике и приведенных в данном
документе, а также «Требований к проведению регионального этапа по экономике
в 2019/2020 учебном году» (раздел 4). Общие принципы проверки приведены в «Тре-
бованиях...» и в списке ниже:

1. Для проверки задач члены жюри делятся на рабочие группы, каждая группа

проверяет конкретную задачу, один из членов рабочей группы назначается ее
руководителем. Такое разделение труда (при котором отдельные члены жюри
проверяют конкретные задачи, а не работы целиком) способствует одинаковому
уровню требований к решениям, облегчает разрешение спорных случаев. Со-
став рабочих групп утверждается председателем жюри или его заместителем.
В случае если некоторые рабочие группы завершают проверку своих задач рань-
ше других, их участники могут присоединиться к другим рабочим группам.

2. При наличии возможности желательно организовать проверку каждой задачи

в каждой работе не менее чем двумя членами жюри.

3. Жюри проверяет работы в соответствии со схемами проверки, разработанны-

ми ЦПМК. В случае наличия в работе участника фрагмента решения, который
не может быть оценен в соответствии со схемой проверки, жюри принимает ре-
шение исходя из своих представлений о справедливом оценивании, при воз-
можности консультируясь с составителями заданий. Выполнение данного тре-
бования имеет исключительную важность, поскольку по итогам регионального

1

Всероссийская олимпиада школьников

2020

Экономика

этапа составляется единый рейтинг школьников по России, на основании кото-
рого определяется состав участников заключительного этапа.

4. Жюри оценивает только то, что написано в работе участника: не могут быть оце-

нены комментарии и дополнения, которые участник может сделать после окон-
чания тура (например, в апелляционном заявлении).

5. Фрагменты решения участника, зачеркнутые им в работе, не проверяются жюри.

Если участник хочет отменить зачеркивание, он должен явно написать в работе,
что желает, чтобы зачеркнутая часть была проверена. Если невозможно одно-
значно определить, хотел ли участник, чтобы фрагмент решения был проверен,
этот фрагмент не проверяется.

6. Участник должен излагать свое решение понятным языком, текст должен быть

написан разборчивым почерком. При этом жюри не снижает оценку за помар-
ки, исправления, орфографические, пунктуационные и стилистические ошиб-
ки, недостатки в оформлении работы, если решение участника можно понять.

7. Все утверждения, содержащиеся в решении участника, должны быть либо об-

щеизвестными (стандартными), либо логически следовать из условия задачи
или из предыдущих рассуждений участника. Участник может не доказывать
общеизвестные утверждения. Вопрос определения общеизвестности находит-
ся в компетенции жюри, но в любом случае общеизвестными считаются факты,
изучаемые в рамках школьной программы. Также, как правило, общеизвестны-
ми можно считать те факты, которые многократно использовались в олимпи-
адах прошлых лет и приводились без доказательств в официальных решени-
ях. Все необщеизвестные факты, не следующие тривиально из условия, должны
быть доказаны. Решение, которое явно или скрыто опирается на не доказанные
участником необщеизвестные факты, оценивается неполным баллом.

8. Участник может решать задачи любым корректным способом, жюри не повы-

шает баллы за красоту и лаконичность решения, а равно не снижает их за ис-
пользование нерационального способа. Корректным может быть решение, ко-
торое нестандартно и отличается по способу от авторского (приведенного в ма-
териалах составителей). При этом недопустимо выставление баллов «за объем»:
если участник написал большой текст, не содержащий продвижений в решении
задачи, такой текст должен быть оценен в 0 баллов.

9. Работа участника не должна оставлять сомнений в том, каким способом про-

водится решение задачи. Если участник излагает несколько решений задачи,
которые являются разными по сути (и, возможно, приводят к разным ответам),
и некоторые из решений являются некорректными, то жюри не обязано выби-
рать и проверять корректное решение.

10. Если в решении участника содержатся противоречащие друг другу суждения,

то они, как правило, не оцениваются, даже если одно из них верное. Нарушение
логических последовательностей (причинно-следственных связей), как прави-
ло, приводит к существенному снижению оценки.

11. В работе участника должно содержаться доказательство полноты и правильно-

сти его ответа, при этом способ получения ответа, если это не требуется для до-

Региональный этап, 10-11 класс

2

Всероссийская олимпиада школьников

2020

Экономика

казательства его полноты и правильности, излагать необязательно.

12. Штрафы, которые жюри присваивает за вычислительные ошибки, зависят от се-

рьезности последствий этих ошибок. Вычислительная ошибка, которая не при-
вела к существенному изменению дальнейшего решения задачи и качественно
не изменила получаемых выводов, штрафуется меньшим числом баллов, чем
вычислительная ошибка, существенно повлиявшая на дальнейшее решение.

13. Если задача состоит из нескольких пунктов, то участник должен четко обозна-

чить, где начинается решение каждого пункта. Каждый фрагмент решения про-
веряется в соответствии с критериями проверки, разработанными для указанно-
го участником пункта. Если в решении участника одного из пунктов задачи со-
держится фрагмент решения, который в соответствии со схемой оценивания мо-
жет принести баллы за другой пункт задачи, жюри может не ставить эти баллы,
если из решения неочевидно, что участник понимает применимость результа-
тов к другому пункту. При решении пунктов задачи участник может ссылаться
на собственные решения (ответы) к другим пунктам или на общую часть реше-
ния, выписанную в начале.

14. Если ошибка была допущена в первых пунктах задачи и это изменило отве-

ты участника в последующих пунктах, то в общем случае баллы за следующие
пункты не снижаются, то есть они проверяются так, как если бы собственные
результаты, которыми пользуется участник, были правильными. Исключением
являются случаи, когда ошибки в первых пунктах упростили или качественно
исказили логику дальнейшего решения и/или ответы — в этих случаях баллы
за последующие пункты могут быть существенно снижены.

15. Если участник в своем решении опирается на метод перебора вариантов, то для

получения полного балла должны быть разобраны все возможные случаи. Упу-
щение некоторых случаев может привести к существенному снижению оценки
(непропорциональному доле неразобранных случаев в общем их числе).

16. Если для решения участнику необходимы дополнительные предпосылки, то он

должен их сформулировать. Дополнительные предпосылки при этом не долж-
ны менять смысл задачи и существенно сужать круг обсуждаемых в решении
ситуаций по сравнению с тем, который задан в условии.

Составители написали приведенные ниже решения более подробно, чем если бы

им самим пришлось участвовать в олимпиаде. Данный документ содержит поясне-
ния, примечания, альтернативные способы решений, которые предназначены исклю-
чительно для информирования жюри, а также всех, кто будет разбирать эти задачи
в дальнейшем при изучении экономики и подготовке к олимпиадам. От участников
не нужно требовать слишком подробного решения — в любом случае руководствуй-
тесь здравым смыслом и старайтесь определить, действительно ли участник понима-
ет, как решается задача.

При этом помните, что приведенные ниже схемы проверки и обозначенные вы-

ше принципы будут применяться во всех регионах; для сопоставимости результа-
тов необходимо следовать им максимально четко. В случае если решение участника
не укладывается в предложенную схему проверки, примите решение исходя из свое-

Региональный этап, 10-11 класс

3