Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 37

Всероссийская олимпиада школьников

2020

Экономика

го опыта и справедливости. В спорных случаях пишите нам. Если ЦПМК захочет дать
комментарии по проверке отдельных заданий (например, ответить на часто задавае-
мые вопросы), она сделает это на странице

http://ILoveEconomics.ru/olimp/region/2020/grading

. Если ЦПМК посчитает нужным

прояснить какие-либо аспекты авторских решений или схем проверки, она сделает
это в день проведения этапа на той же странице, поэтому членам жюри из всех реги-
онов рекомендуется следить за содержанием этой страницы при проверке работ.

Если вам потребуется неотложная консультация в день проведения регионального

этапа, вы можете написать ЦПМК по экономике напрямую: cpmk@iloveeconomics.ru.

Ваша ЦПМК

Для справки. Критерии выполнения заданий олимпиады.

В таблице приведено ко-

личество баллов, при котором задание считается выполненным. Эти сведения нуж-
ны для подсчета статистики результатов олимпиады; на индивидуальные результаты
участников не влияют.

Номер задания Баллы

1

2

2

6

3

10

4

14

5

12

6

12

7

12

8

12

Региональный этап, 9 класс

4

Всероссийская олимпиада школьников

2020

Экономика

Задание 5.

Условный потолок

(30 баллов)

Фирма M продает некое лекарство в две страны –– A и B. Фирма является монопо-

листом на мировом рынке данного лекарства, так как она обладает патентом на его
производство. В стране A спрос описывается уравнением

𝑄

𝐴

= 30 − 𝑃

𝐴

, а в стране B ––

уравнением

𝑄

𝐵

= 10−𝑃

𝐵

. Издержки производства считайте равными нулю. Фирма мо-

жет назначать разные цены в разных странах, так как покупка лекарств иностранцами
и перепродажи эффективно блокируются.

а)

(10 баллов)

Найдите цены

𝑃

⋆

𝐴

и

𝑃

⋆

𝐵

, которые назначит фирма в отсутствие вме-

шательства государства.

б)

(20 баллов)

Президент страны A, ратуя за доступность лекарств, ввел следующее

правило: фирма М не может назначать цену в стране A выше, чем в стране B. Теперь
фирма М назначает цены так, чтобы прибыль была максимальная с учетом этого пра-
вила. Удастся ли президенту с помощью этой меры добиться снижения цены в своей
стране?

Решение

а)

Составим функцию прибыли:

𝜋 = (30 − 𝑃

𝐴

)𝑃

𝐴

+ (10 − 𝑃

𝐵

)𝑃

𝐵

.

Эта функция –– сумма двух не зависящих друг от друга парабол с ветвями вниз,

значит, ее значение будет максимально, когда максимума достигает каждая из пара-
бол. Это происходит при

𝑃

⋆

𝐴

= 15

и

𝑃

⋆

𝐵

= 5

.

б)

В пункте

а)

цена в стране A оказалась выше, поэтому максимизировать прибыль

так, как раньше, фирма не сможет. Она будет назначать одинаковые цены на двух
рынках, то есть фактически столкнется с общей функцией спроса:

𝑄 = {

30 − 𝑃,

если

10

⩽

𝑃

⩽

30;

40 − 2𝑃,

если

0

⩽

𝑃

⩽

10.

Функция прибыли имеет вид:

𝜋 = {

(30 − 𝑃)𝑃,

если

10

⩽

𝑃

⩽

30;

(40 − 2𝑃)𝑃,

если

0

⩽

𝑃

⩽

10.

На первом участке фирма работает только на рынке страны A. Как и в предыдущем

пункте, оптимальная цена в стране A при этом равна 15, а прибыль равна 225.

На втором участке (

𝑃

⩽

10

) фирма обслуживает рынки в обеих странах. Парабола

(40 − 2𝑃)𝑃

имеет ветви вниз и максимум в точке

𝑃 = 10

, прибыль при этом равна 200,

то есть меньше, чем в предыдущем случае. Можно также заметить, что при такой
цене фирма ничего не продает на рынке страны B, а на рынке страны A не получает
максимальной прибыли.

Следовательно, цена в обеих странах будет 15. Таким образом, цена в стране A

не изменится, президент своей цели не добьется.

Региональный этап, 9 класс

5

Задание 5.

Условный потолок

Всероссийская олимпиада школьников

2020

Экономика

Примечание.

Многие европейские страны действительно привязывают цены

на лекарства в своих странах к ценам в других странах. Предложения сделать это зву-
чат и в США (о привязке к канадским ценам, которые ниже). В данной задаче обсужда-
ется одна из причин, по которым данная политика может оказаться неэффективной:
фирма может повысить цены в той стране, где изначально они были низки, чтобы
не понижать их там, где они высоки.

Схема проверки

За арифметическую ошибку в любом из пунктов снимается

1 балл

, если она

не привела к существенным искажениям последующих ответов (то есть не повлия-
ла на то, что в пункте

а)

лекарство в стране А стоит дороже, а в пункте

б)

не изменило

решение фирмы работать только в первой стране).

В обоих пунктах прибыль можно максимизировать как функцию от объемов вы-

пуска, но для полного балла за пункт цены должны быть посчитаны. Также в пункте

а)

можно выписывать не одну функцию прибыли, а две (по одной для каждой стра-

ны) и максимизировать каждую, так как фирма фактически максимизирует прибыль
на рынках по отдельности (это происходит потому, что рынки не связывает общая
функция издержек). В свою очередь, на каждом рынке можно приравнять предель-
ный доход (например, в пункте

а)

:

𝑀𝑅

𝐴

= 30 − 2𝑄

𝐴

,

𝑀𝑅

𝐵

= 10 − 2𝑄

𝐵

) к предельным

издержкам (

𝑀𝐶 = 0

).

Поскольку всякий раз монополия максимизирует прибыль при линейном спро-

се и постоянных предельных издержках (то есть все функции, которые нужно мак-
симизировать, –– параболы с ветвями вниз), достаточные условия максимума можно
проверить только один раз (в любом месте решения, для любой параболы). Если до-
статочные условия не проверяются ни разу, снимается 2 балла один раз за всю задачу.

Под проверкой достаточных условий подразумевается любое из действий:

• Указание, что ветви параболы направлены вниз (в том числе в виде схематич-

ного графика).

• Ссылка на то, что возрастание функции в найденных точках сменяется убыва-

нием (то есть

𝑀𝑅 > 𝑀𝐶

слева от оптимума, а также

𝑀𝑅 < 𝑀𝐶

справа).

• Указание, что производная при пересечении нуля из положительной становится

отрицательной (или что вторая производная отрицательна).

• Построена схематичная иллюстрация модели монополии с линейным спросом

и функцией

𝑀𝑅

, а также горизонтальными (необязательно нулевыми) предель-

ными издержками; отмечен оптимум.

а)

Поиск каждой из цен оценивается из

5 баллов

.

Если участник проводит для какой-то из стран рассуждение через

𝑀𝑅

и

𝑀𝐶

, одна-

ко выражает

𝑀𝑅

через цену (например,

𝑀𝑅

𝐴

= 30 − 2𝑃

𝐴

, откуда

30 − 2𝑃

𝐴

= 𝑀𝐶

, то есть

𝑃

𝐴

= 15

) то снимается 4 балла из 5, несмотря на правильный ответ. Такое рассуждение

некорректно, поскольку в левой и в правой части уравнения

𝑀𝑅 = 𝑀𝐶

присутству-

ют приращения прибыли при изменении разных переменных. Следовательно, если
участник таким образом максимизирует прибыль в обеих странах, то он получает

2 балла

за пункт.

Региональный этап, 9 класс

6

Задание 5.

Условный потолок

Всероссийская олимпиада школьников

2020

Экономика

б)

Составление общей функции спроса и прибыли ––

5 баллов

. Эти баллы также

ставятся, если очевидно, что участник, даже не составляя функции в явном виде, по-
нимает необходимость рассмотрения двух вариантов ценообразования –– с продажа-
ми в обеих странах или только в стране A.

Максимизация функции прибыли при продажах в обеих странах (которая в случае

корректного расчета ведет к ответу

𝑃 = 10

) ––

5 баллов

.

Максимизация функции прибыли при продажах только в стране А (которая в слу-

чае корректного расчета ведет к ответу

𝑃 = 15

) ––

3 балла

. В этом месте достаточно

ссылки на результат пункта

а)

.

Сравнение прибылей, указание, что продавать в стране B невыгодно и вывод

о цене, равной 15 ––

7 баллов

.

Если участник проводит для какого-то участка спроса рассуждение через

𝑀𝑅

и

𝑀𝐶

, однако выражает

𝑀𝑅

через цену (например,

𝑀𝑅 = 40 − 4𝑃

для случая

𝑃

⩽

10

,

откуда

40 − 4𝑃 = 𝑀𝐶

, то есть

𝑃 = 10

) то за максимизацию на этом участке ставится

1 балл

(из 5 или из 3).

Отметим, что цена в стране B может быть и выше 15 — это не нарушает правила

𝑃

𝐴

⩽

𝑃

𝐵

, но и не имеет значения, потому что спроса и выручки в этой стране всё равно

не будет. Это рассуждение не оценивается баллами, а его отсутствие не приводит к их
снижению.

Региональный этап, 9 класс

7

Задание 5.

Условный потолок

Всероссийская олимпиада школьников

2020

Экономика

Задание 6.

Налог Греты

(30 баллов)

Спрос на рынке авиаперевозок описывается уравнением

𝑄

𝑑

= 20 − 𝑃

, а предложе-

ние –– уравнением

𝑄

𝑠

= 𝑃/3

. Выбросы двигателей самолетов загрязняют воздух и вно-

сят вклад в парниковый эффект. Вред от этого зависит от объема перевозок и составля-
ет

𝑎𝑄

2

д. е., где

𝑎 > 0

. Школьница Грета Т. считает, что данный внешний эффект нужно

скорректировать с помощью потоварного налога на авиаперевозки, такого, при кото-
ром цена для потребителей вырастет на 20 %. Расчеты экономистов, однако, показали,
что при введении такого налога величина общественного благосостояния не только
не увеличится, но и уменьшится на 20 %.

а)

(10 баллов)

Определите значение ставки потоварного налога

𝑡

, при котором цена

для потребителей вырастет так, как хочет Грета.

б)

(10 баллов)

Определите значение параметра

𝑎

, при котором верны расчеты эко-

номистов.

в)

(10 баллов)

Определите значение ставки потоварного налога

𝑡

⋆

, при котором

общественное благосостояние будет максимально.

Для справки.

Величина общественного благосостояния при объеме

𝑄

здесь равна

сумме излишка потребителей (равного

𝐶𝑆 = 0,5𝑄

2

д. е.), излишка производителей

после уплаты потоварного налога (равного

𝑃𝑆 = 1,5𝑄

2

д. е.) и величины налоговых

сборов за вычетом вреда от выбросов.

Решение

а)

Без налога равновесная цена определяется из уравнения

20 − 𝑃 = 𝑃/3

, откуда

𝑃 = 15

. Пусть введен потоварный налог по ставке

𝑡

. Тогда новая цена потребителей

удовлетворяет уравнению

20 − 𝑃

𝑑

= (𝑃

𝑑

− 𝑡)/3

. Новая цена потребителей должна рав-

няться

15 ⋅ 1,2 = 18

, значит

20 − 18 = (18 − 𝑡)/3

,

𝑡 = 12

.

Ответ:

𝑡 = 12

.

б)

Рассчитаем величину общественного благосостояния до и после введения на-

лога. Налоговые поступления равны

𝑇 = 𝑡𝑄

. Графическая иллюстрация представлена

на рис. 6.1.

До введения налога объем равен

𝑄

0

= 20 − 15 = 5

, и величина общественного

благосостояния равна

0,5𝑄

2

0

+ 1,5𝑄

2

0

+ 0 − 𝑎𝑄

2

0

= 50 − 25𝑎

.

После введения налога объем равен

𝑄

1

= 20 − 18 = 2

, общественное благосостояние

составляет

0,5𝑄

2

1

+ 1,5𝑄

2

1

+ 𝑡𝑄

1

− 𝑎𝑄

2

1

= 8 + 24 − 4𝑎 = 32 − 4𝑎

.

Поскольку благосостояние падает на 20 %, имеем уравнение

32 − 4𝑎 = 0,8(50 − 25𝑎)

,

откуда

𝑎 = 0,5

.

Ответ:

𝑎 = 1/2

.

в)

Чтобы получить равновесный объем

𝑄

, нужно ввести налог по ставке

𝑡(𝑄) =

= 𝑃

𝑑

(𝑄) − 𝑃

𝑠

(𝑄) = 20 − 𝑄 − 3𝑄 = 20 − 4𝑄

. Сборы при этом составят

𝑄(20 − 4𝑄)

. Значит,

величина общественного благосостояния при объеме

𝑄

составляет

𝑊 (𝑄) = 0,5𝑄

2

+ 1,5𝑄

2

+ 𝑄(20 − 4𝑄) − 𝑎𝑄

2

= 20𝑄 − 2,5𝑄

2

.

Промаксимизируем эту величину по

𝑄

, а затем найдем ставку налога

𝑡(𝑄)

, реализу-

ющую этот объем.

𝑊 (𝑄)

задает квадратичную параболу с ветвями вниз, максимум

Региональный этап, 9 класс

8

Задание 6.

Налог Греты

Всероссийская олимпиада школьников

2020

Экономика

𝑄

𝑃

𝐷

𝑆

𝑃𝑆

𝐶𝑆

𝑇

𝑡

𝑃

𝑠

𝑃

𝑑

𝑄

Рис. 6.1:

Излишки.

достигается в вершине параболы

𝑄

⋆

= 20/5 = 4

. Этот объем реализует ставка налога

𝑡(4) = 4

.

Ответ:

𝑡

⋆

= 4

.

Примечание.

Стандартный график темы «внешние эффекты» для ситуации, опи-

санной в данной задаче, приведен на рис. 6.2.

𝑄

2

4

5

𝑃

𝑀𝑆𝐵

𝑀𝑃𝐶

𝑀𝑆𝐶

𝑆

1

𝑆

2

Рис. 6.2:

Графическая иллюстрация к задаче.

Региональный этап, 9 класс

9

Задание 6.

Налог Греты

Всероссийская олимпиада школьников

2020

Экономика

Предельные общественные издержки больше частных,

𝑀𝑆𝐶 > 𝑀𝑃𝐶

(

4𝑄 > 3𝑄

),

и потому корректирующий налог способен максимизировать благосостояние. При
оптимальном налоге, снижающем выпуск с 5 до 4, выигрыш в благосостоянии
по сравнению с невмешательством равен площади

𝑆

1

. Налог, предлагаемый Гретой,

однако, слишком высок: он сокращает выпуск до 2, в результате чего благосостояние
снижается даже по сравнению с первоначальной ситуацией. Графически это выража-
ется в том, что площадь

𝑆

2

больше площади

𝑆

1

.

Схема проверки

В каждом из пунктов за одну арифметическую ошибку снимается 1 балл. Если

в пункте б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, то пункт

в)

про-

веряется при (неверном) значении параметра

𝑎

, найденном участником. Иными сло-

вами, в этом случае, если решение и ответ пункта

в)

верны для значения параметра

𝑎

, найденного участником, баллы в

в)

не снимаются.

а)

Нахождение первоначального равновесия ––

3 балла.

Нахождение новой требу-

емой цены (

𝑃 = 18

) ––

2 балла.

Составление уравнения нового равновесия ––

4 балла.

Правильное решение этого уравнения ––

1 балл.

б)

Нахождение старого и нового общественного благосостояния в зависимости от

параметра

𝑎

–– по

4 балла.

Составление уравнения на

𝑎

––

1 балл.

, его решение ––

1 балл.

в)

В данном пункте участник может максимизировать функцию общественного

благосостояния по

𝑄

(как в решении выше), а может по

𝑡

, cперва найдя функцию

𝑄(𝑡) = (20 − 𝑡)/4

. Оба решения равноценны. За нахождение функции

𝑄(𝑡)

или

𝑡(𝑄)

––

3 балла.

За составление функции общественного благосостояния от

𝑄

или от

𝑡

––

5 баллов.

За ее нахождение точки ее максимума ––

1 балл

. За проверку достаточных

условий (ветви параболы направлены вниз или вторая производная меньше нуля) ––

1 балл

.

Кроме того, некоторые участники могут решить данный пункт через приравнива-

ние спроса к предельным общественным издержкам (cм. рис. выше). Такое решение
также корректно. В этом случае баллы «за составление функции общественного бла-
госостояния» ставятся за корректное нахождение функции предельных обществен-
ных издержек

(𝑀𝑆𝐶 = 4𝑄)

и составление верного уравнения. Проверкой достаточного

условия максимума является указание на то, что предельные общественные издерж-
ки возрастают.

Региональный этап, 9 класс

10

Задание 6.

Налог Греты

Всероссийская олимпиада школьников

2020

Экономика

Задание 7.

Пикеттия

(30 баллов)

В стране Пикеттии есть три группы населения (бедные, средний класс и богатые),

внутри каждой из которых доходы распределены равномерно. Бедные составляют
40 % населения и располагают 10 % суммарного дохода страны, средний же класс со-
ставляет 20 % населения и располагает 20 % суммарного дохода.

а)

(8 баллов)

Найдите коэффициент Джини, отражающий неравенство в распреде-

лении доходов между бедными и средним классом (не считая богатых).

б)

(8 баллов)

Найдите коэффициент Джини, отражающий неравенство в распреде-

лении доходов между средним классом и богатыми (не считая бедных).

в)

(14 баллов)

Правительство страны рассматривает два варианта перераспредели-

тельной политики, направленной на снижение неравенства. При первом доходы бо-
гатых не изменятся, но распределение доходов между бедными и средним классом
станет равномерным. При втором варианте доходы бедных не изменятся, зато распре-
деление доходов между средним классом и богатыми станет равномерным. При ка-
ком из двух вариантов коэффициент Джини в стране уменьшится сильнее?

Решение

Во всех пунктах мы будем использовать известную формулу для коэффициента

Джини, если в стране есть две группы населения:

𝐺 = 𝛼 − 𝛽

, где

𝛼

–– доля более бедной

группы в населении,

𝛽

–– ее доля в суммарном доходе. Выводить и доказывать эту

формулу в рамках решения задачи не требуется.

а)

Бедные составляют

0,4

0,4+0,2

=

2
3

от населения «страны», состоящей из бедных

и среднего класса и располагают

0,1

0,1+0,2

=

1
3

ее дохода. Значит, искомый коэффици-

ент Джини составляет

𝐺 =

2
3

−

1
3

=

1
3

.

б)

Богатые составляют 40 % населения и имеют 70 % дохода всей страны. Анало-

гично пункту

а)

, получаем, что искомый коэффициент Джини равен

𝐺 =

0,2

0,4 + 0,2

−

0,2

0,7 + 0,2

=

1
3

−

2
9

=

1
9

.

(Более бедной группой является в данном случае средний класс.)

в)

Для ответа на поставленный вопрос достаточно рассчитать коэффициенты

Джини после вмешательства. При первом варианте новый коэффициент Джини бу-
дет равен

(0,4+0,2)−(0,1+0,2) = 0,3

, так как в стране будет единая более бедная группа,

составляющая 60 % населения и обладающая 30 % дохода. При втором варианте новый
коэффициент Джини будет равен

0,4 − 0,1 = 0,3

. Значит, варианты равнозначны.

Графически ситуация сводится к рис. 7.1. Построение кривых Лоренца для кор-

ректного решения необязательно, однако решение «напрямую» через расчет площа-
дей (без использования формулы

𝐺 = 𝛼 − 𝛽

), конечно, возможно.

Примечание:

Можно подумать, что раз коэффициент Джини между бедным

и средним классом больше, чем между средним классом и богатыми (

1/3 > 1/9

),

Региональный этап, 9 класс

11

Задание 7.

Пикеттия