Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 21

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Задача 6.

Две группы потребителей и потолок цены

(12 баллов)

𝑥

𝑃

⋆

(𝑥)

7

14 21

На некотором рынке есть две группы потребителей, функ-

ции спроса которых линейны. Монополист назначает единую
цену для двух групп, так как ценовая дискриминация запре-
щена. Переменные издержки фирмы равны нулю. На рынке
существует потолок цены, причем в разное время на разном
уровне. Обозначим потолок цены за

𝑥

, а цену, которую фак-

тически устанавливала фирма при этом потолке, за

𝑃

⋆

(𝑥)

. На-

блюдая за реакцией фирмы на разные значения потолка цены,
государство определило вид зависимости

𝑃

⋆

(𝑥)

. (См. график.)

а)

(9 баллов)

Определите цены, которые фирма назначит для двух групп, если це-

новая дискриминация будет разрешена, а потолок цены отменен.

б)

(3 балла)

Допустим, потолок цены отсутствует. Пострадает ли кто-то из участни-

ков рынка (монополист, потребители первой группы или потребители второй груп-
пы), если ценовая дискриминация будет разрешена?

Решение

а)

Рассмотрим функцию выручки фирмы

𝑇 𝑅(𝑃)

. Поскольку функция рыночного

спроса кусочно-линейна с одним изломом,

𝑇 𝑅(𝑃)

будет иметь вид

𝑇 𝑅(𝑃) = {

𝑓

1

(𝑃), 𝑃 < 𝑃

изл

;

𝑓

2

(𝑃), 𝑃

⩾

𝑃

изл

,

где

𝑓

1

(𝑃)

,

𝑓

2

(𝑃)

— две квадратичные параболы с ветвями вниз,

𝑃

изл

— точка излома

рыночного спроса.

При вводе потолка цены на уровне

𝑥

, фирма будет максимизировать

𝑇 𝑅(𝑃)

(по-

скольку переменные издержки отсутствуют), выбирая

𝑃 ∈ [0; 𝑥]

.

В зависимости от взаимного расположения двух парабол,

𝑇 𝑅(𝑃)

может иметь три

качественно разных вида: 1)

𝑇 𝑅(𝑃)

сначала возрастает, потом убывает; 2)

𝑇 𝑅(𝑃)

имеет

два локальных максимума, и значение выручки в левом не меньше, чем в правом; 3)

𝑇 𝑅(𝑃)

имеет два локальных максимума, и значение в левом меньше, чем в правом.

Заметим, что в случаях 1) и 2)

𝑃

∗

(𝑥) = {

𝑥,

𝑥 < 𝑃

∗∗

;

𝑃

∗∗

, 𝑥

⩾

𝑃

∗∗

,

где

𝑃

∗∗

— точка глобального

максимума выручки. График такой функции существенно проще, чем приведенный
в условии. Значит, нам подходит только случай 3).

И действительно, решая в случае 3) задачу максимизации

𝑇 𝑅(𝑃)

на отрезке

[0; 𝑥]

при разных

𝑥

, получаем график, подобный приведенному в условии.

Отсюда получаем, что 7 — вершина параболы

𝑓

1

(𝑃)

, а 21 — вершина параболы

𝑓

2

(𝑃)

.

При этом фирма безразлична между обслуживанием обеих групп по цене 7 и только
«высокой» группы по цене 14:

𝑓

2

(14) = 𝑓

1

(7).

Пусть уравнения спроса двух групп имеют вид

𝑄 = 𝑎 − 𝑏𝑃

,

𝑄 = 𝑐 − 𝑑𝑃

, причем

𝑎/𝑏 > 𝑐/𝑑

(группа c параметрами

𝑎,𝑏

имеет более высокую максимальную цену спроса).

Заключительный этап, 10 класс

18

Задача 6

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Тогда рыночный спрос описывается уравнением

𝑄

рын

(𝑃) = {

𝑎 + 𝑐 − (𝑏 + 𝑑)𝑃, 𝑃

⩽

𝑐/𝑑

𝑎 − 𝑏𝑃,

𝑐/𝑑 < 𝑃

⩽

𝑎/𝑏.

𝑓

1

(𝑃) = (𝑎 + 𝑐 − (𝑏 + 𝑑)𝑃)𝑃

, ее вершина

𝑃

в

1

=

𝑎+𝑐

2(𝑏+𝑑)

= 7

.

𝑓

2

(𝑃) = (𝑎 − 𝑏𝑃)𝑃

, ее вершина

𝑃

в

2

=

𝑎

2𝑏

= 21

.

Условие

𝑓

2

(14) = 𝑓

1

(7)

запишется как

(𝑎 − 14𝑏) ⋅ 14 = (𝑎 + 𝑐 − (𝑏 + 𝑑)7) ⋅ 7

.

При возможности дискриминации фирма максимизирует прибыль по двум ценам

𝑃

1

и

𝑃

2

. Прибыль фирмы, с точностью до постоянных издержек, равна

𝜋(𝑃

1

,𝑃

2

) = (𝑎 − 𝑏𝑃

1

)𝑃

1

+ (𝑐 − 𝑑𝑃

2

)𝑃

2

→

max

Слагаемые независимы, их можно максимизировать по отдельности. Отсюда

𝑃

⋆

1

=

𝑎

2𝑏

,

𝑃

⋆

2

=

𝑐

2𝑑

.

Поскольку мы уже знаем, что

𝑎/2𝑏 = 21

,

𝑃

⋆

1

= 21

.

Осталось найти

𝑃

⋆

2

= 𝑐/2𝑑

. Для этого поработаем с системой

⎧

⎪
⎨

⎪

⎩

𝑎

2𝑏

= 21;

𝑎+𝑐

2(𝑏+𝑑)

= 7;

(𝑎 − 14𝑏) ⋅ 14 = (𝑎 + 𝑐 − (𝑏 + 𝑑)7) ⋅ 7.

Из второго уравнения,

(𝑏 + 𝑑)7 = (𝑎 + 𝑐)/2

, подставляя это в правую часть третьего и

деля на 7, получаем

(𝑎 − 14𝑏) ⋅ 2 = (𝑎 + 𝑐)/2.

Из первого уравнения

𝑎 = 42𝑏

, подставляя это в уравнение выше получаем

28𝑏 ⋅ 4 =

42𝑏 + 𝑐

, откуда

𝑐 = 70𝑏

.

Наконец, из второго уравнения системы

42𝑏+70𝑏

2(𝑏+𝑑)

= 7

, откуда

𝑑 = 7𝑏

.

В итоге,

𝑃

⋆

2

=

𝑐

2𝑑

=

70𝑏

2⋅7𝑏

= 5

.

Ответ:

21 и 5. (Можно записать ответ в любом порядке.)

б)

После разрешения дискриминации фирма не может пострадать, так как свобо-

да ее действий расширяется, а значит, прибыль не может уменьшиться. Потребители
«высокой» группы спроса («богатые») не пострадают, так как независимо от наличия
дискриминации они платят цену 21 (из анализа в а) следует, что в отсутствие дискри-
минации и потолка фирма будет обслуживать только «богатых» и выберет цену 21).
Потребители «низкой» группы не только не пострадают, но даже выиграют, так как в
отсутствие дискриминации они не потребляли товар вовсе (цена была слишком вы-
сока), а при дискриминации они потребляют товар. Значит, никто не пострадает.

Примечание 1

: Для получения правильного вывода в б) достаточно понять, что

график выручки

𝑇 𝑅(𝑃)

имеет вид типа 3); численный ответ в а) на анализ в б) не

влияет.

Заключительный этап, 10 класс

19

Задача 6

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Примечание 2

: Приведенный пример является классическим примером того, как

ценовая дискриминация может вести к

Парето-улучшению

, то есть изменению, при

котором никому не хуже и хотя бы кому-то лучше.

Примечание 3

: В условии не были даны числовые значения по оси

𝑃

∗

, так как их

можно однозначно восстановить из того факта, что фирма максимизирует прибыль.
Если оптимальная цена

𝑃

∗

находится на правой границе интервала

[0; 𝑥]

, то

𝑃

∗

(𝑥) = 𝑥

,

если же она внутри интервала, то небольшое изменение

𝑥

не изменит оптимальную

цену. Поэтому график

𝑃

∗

(𝑥)

всегда будет состоять из участков, лежащих на линии

𝑦 = 𝑥

и горизонтальных участков. Участки типа

𝑃

∗

(𝑥) = 𝑥/2

просто невозможны.

Схема проверки

а)

За каждый из следующих верно выполненных этапов решения участник полу-

чал баллы:

1 балл

— Объяснение кусочных участков графика в условии (пояснение, почему

𝑃

1

= 7

и

𝑃

2

= 21

являются точками локального максимума, а

𝑃

2

= 21

— глобальным

максимумом максимизации прибыли);

1 балл:

— Выписан формально или описан словами совокупный спрос (или выруч-

ка, или прибыль) с указанием всех участков;

1 балл:

— Найдена зависимость от параметров спроса монопольная цена при усло-

вии, что монополист продает свой товар при отсутствии дискриминации покупате-
лям только одной группы:

𝑃

в

2

=

𝑎

2𝑏

= 21

;

1 балл:

— Найдена зависимость от параметров спроса монопольная цена при усло-

вии, что монополист продает свой товар при отсутствии дискриминации покупате-
лям обеих групп:

𝑃

в

1

=

𝑎+𝑐

2(𝑏+𝑑)

= 7

;

2 балла:

— Обосновано, что

𝑓

2

(14) = 𝑓

1

(7)

;

1 балл:

— Найдена цена, которая установилась бы, если бы монополисту было вы-

годно продавать товар обеим группам потребителей:

𝑃

⋆

2

= 5

;

1 балл:

— Найдена цена, которая установится при дискриминации для потребите-

лей первой группы;

1 балл:

— Найдена цена, которая установится при дискриминации для потребите-

лей второй группы;

Если при вычислениях была допущена арифметическая ошибка, которая не при-

водила к концептуальному искажению результатов, то оценка за такую ошибку не
снижалась.

Если при вычислениях была допущена арифметическая ошибка, которая приво-

дила к концептуальному искажению результатов (например, участник находил цену
для второй группы потребителей, которая оказывалась больше 7), то оценка снижа-
лась на 1 балл.

б)

За каждый из следующих верно выполненных этапов решения участник полу-

чал баллы:

1 балл:

— Обосновано, почему монополист выиграет от проведения ценовой дис-

криминации;

Заключительный этап, 10 класс

20

Задача 6

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

1 балл:

— Обосновано, почему потребители первой группы не проиграют от про-

ведения дискриминации;

1 балл:

— Обосновано, почему потребители второй группы выиграют от проведе-

ния ценовой дискриминации;

Заключительный этап, 10 класс

21

Задача 6

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Задача 7.

Люди и роботы: кто кого?

(12 баллов)

В XXI веке ускорились темпы автоматизации производства, то есть замены труда

людей капиталом –– в основном, промышленными роботами. Неудивителен рост бес-
покойства по поводу того, что машины могут полностью заменить людей. В данной
задаче мы рассмотрим модель, проливающую свет на этот феномен.

Рассмотрим фирму, производственная функция которой имеет вид

𝑄 =

√

𝐿

1

+ 𝑎 ⋅ 𝑅,

где

𝑄

–– объем производства товара,

𝐿

1

–– объем

неквалифицированного

труда людей

(труда рабочих),

𝑅

–– объем труда роботов,

𝑎

⩾

0

–– параметр, характеризующий про-

изводительность роботов. Фирма закупает неквалифицированный труд людей и труд
роботов на конкурентном рынке по одинаковой цене, равной 1. При безразличии фир-
ма использует для производства труд роботов, а не людей.

Цена товара фирмы

𝑃

не зависит произведенного количества товара, но зависит от

его качества

𝑧

:

𝑃(𝑧) = 4𝑧

. Качество товара тем выше, чем больше инженеров, дизайне-

ров и других

квалифицированных

сотрудников наймет фирма. А именно,

𝑧 =

4

√

𝐿

2

, где

𝐿

2

–– объем квалифицированного труда людей. Цена единицы квалифицированного

труда людей фиксирована и равна 2.

а)

(1 балл)

При каких значениях

𝑎

фирма будет использовать труд роботов?

б)

(3 балла)

Допустим, качество товара фиксировано на определенном уровне

𝑧

⩾

0

. Определите оптимальный для фирмы объем производства как функцию от

𝑧

и

𝑎

. Определите, какой объем

𝐿

1

будет нанимать фирма как функцию от

𝑧

и

𝑎

.

в)

(3 балла)

Определите, какое качество

𝑧

⋆

будет выбирать фирма как функцию

от

𝑎

.

г)

(2 балла)

Определите величину

суммарного

спроса фирмы на труд людей как

функцию от

𝑎

.

д)

(3 балла)

В XXI веке значение параметра

𝑎

быстро растет. Допустим,

𝑎

1

и

𝑎

2

та-

ковы, что при росте производительности роботов с

𝑎

1

до

𝑎

2

фирма увольняет неква-

лифицированных работников. Верно ли, что при этом величина

суммарного

спроса

фирмы на труд людей тоже сократится? Если нет, приведите этому содержательное
экономическое объяснение.

Решение

а)

Как видно из функции,

𝑎

единиц труда неквалифицированных работников и

единица труда роботов

взаимозаменяемы

–– при вычитании одного и добавлении дру-

гого выпуск всегда остается неизменным. Следовательно, если

𝑎

единиц

𝐿

1

стоят до-

роже единицы

𝑅

, неквалифицированный труд использовать не нужно. Затраты на

единицу каждого из этих ресурсов равны 1, так что труд роботов выгоднее исполь-
зовать при

𝑎 > 1

, а при

𝑎 = 1

–– безразлично. Согласно условию, в последнем случае

фирма тоже выберет роботов, то есть

𝑎

⩾

1

–– ответ на вопрос пункта.

То же самое можно показать через предельные продукты ресурсов:

𝑀𝑃

𝐿

1

=

1

2 ⋅ (𝐿

1

+ 𝑎 ⋅ 𝑅)

>

𝑎

2 ⋅ (𝐿

1

+ 𝑎 ⋅ 𝑅)

= 𝑀𝑃

𝑅

.

Заключительный этап, 10 класс

22

Задача 7

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Значение первой дроби меньше при

𝑎 < 1

, следовательно, при этом условии каждый

дополнительный робот производит меньше, чем работник, при одинаковых издерж-
ках.

б)

В случае

𝑎

⩾

1

используются роботы, а неквалифицированный труд не исполь-

зуется, то есть

𝐿

1

= 0

. Прибыль при этом равна

𝜋 = 4𝑧𝑄 − 𝑅

(пренебрегаем фиксиро-

ванными издержками на

𝐿

2

). Максимум этой функции можно искать разными спо-

собами: через производную, через условие равенства предельных величин или через
преобразования в квадратичную параболу. Воспользуемся последним способом и за-
меним

𝑅 = 𝑄

2

/𝑎

:

𝜋 = 4𝑧𝑄 −

𝑄

2

𝑎

.

Относительно

𝑄

это квадратичная парабола с ветвями вниз, ее максимум в точке

𝑄 =

2𝑎𝑧

.

В случае

𝑎 < 1

роботы не используются и производственная функция принима-

ет вид

𝑄 =

√

𝐿

1

, то есть

𝐿

1

= 𝑄

2

. Запишем функцию прибыли (снова не учитываем

фиксированные издержки):

𝜋 = 4𝑧𝑄 − 𝑄

2

.

Относительно

𝑄

это тоже квадратичная парабола с ветвями вниз, ее максимум в точке

𝑄 = 2𝑧

. Отсюда

𝐿

1

= 𝑄

2

= 4𝑧

2

.

В итоге получаем:

𝑄(𝑎, 𝑧) = {

2𝑧,

𝑎 < 1

2𝑎𝑧, 𝑎

⩾

1

𝐿

1

(𝑎, 𝑧) = {

4𝑧

2

, 𝑎 < 1

0,

𝑎

⩾

1

𝑅(𝑎, 𝑧) = {

0,

𝑎 < 1

4𝑎𝑧

2

, 𝑎

⩾

1

В вопросе пункта спрашивались только

𝑄

и

𝐿

1

; функция

𝑅

выписана, так как она

пригодится в дальнейшем.

в)

Теперь

𝑧

является переменой величиной, а значит и издержки

𝐿

2

становятся

переменными. Их величина равна

2𝐿

2

= 2𝑧

4

. Воспользовавшись результатами преды-

дущего пункта, составим функцию прибыли:

𝜋 = {

4𝑧 ⋅ 2𝑧 − 4𝑧

2

− 2𝑧

4

,

𝑎 < 1

4𝑧 ⋅ 2𝑎𝑧 − 4𝑎𝑧

2

− 2𝑧

4

, 𝑎

⩾

1.

Максимизировать эту функцию можно по-разному. Заменим

𝑡 = 𝑧

2

:

𝜋 = {

8𝑡 − 4𝑡 − 2𝑡

2

,

𝑎 < 1,

8𝑎𝑡 − 4𝑎𝑡 − 2𝑡

2

, 𝑎

⩾

1.

Вершины парабол (с ветвями вниз) будут ответом на вопрос пункта:

𝑧 =

√

𝑡 = {

1,

𝑎 < 1

√

𝑎, 𝑎

⩾

1.

Заключительный этап, 10 класс

23

Задача 7

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

г)

Согласно результату первого пункта и условию,

𝐿

1

(𝑧) = {

4𝑧

2

, 𝑎

⩾

1

0,

𝑎

⩾

1

𝐿

2

(𝑧) = 𝑧

4

Подставив сюда

𝑧

, найденное в пункте

в)

, получим:

𝐿

1

(𝑎) = {

4, 𝑎 < 1
0, 𝑎

⩾

1

𝐿

2

(𝑎) = {

1,

𝑎 < 1

𝑎

2

, 𝑎

⩾

1

𝐿(𝑎) = 𝐿

1

(𝑎) + 𝐿

2

(𝑎) = {

5,

𝑎 < 1

𝑎

2

𝑎

⩾

1

График последней функции в задаче не требовался, но для ответа на следующий

вопрос он будет полезен:

𝑎

0.5 1

3

𝐿

5

1

9

𝐿(𝑎)

д)

Например, при росте

𝑎

от 0,5 до 3 спрос на неквалифицированный труд сни-

жается с 4 до 0, а общий спрс на труд растет с 5 до 9. Бо́льшая производительность
роботов увеличивает объемы производства, а значит, и стимулы инвестировать в ка-
чество (ведь выгоды от увеличения качества умножаются на большее количество).
Это, в свою очередь, увеличивает спрос фирмы на квалифицированных сотрудников.
Рост этого спроса при росте

𝑎

может скомпенсировать падение спроса на неквалифи-

цированных сотрудников, и суммарный спрос вырастет.

Также можно описать происходящее в терминах «субституты-комплементы».

Неквалифицированный труд людей является субститутом к труду роботов, но ква-
лифицированный труд людей является комплементом к нему (через взаимодействие
количества и качества). При росте

𝑎

растет спрос на роботов, и потому падает на суб-

ститут роботов (неквалифицированный труд людей) и растет на комплемент роботов
(квалифицированный труд людей). Сумма двух последних эффектов может оказаться
положительна.

Схема проверки

а)

Определено условие

𝑎

⩾

1

––

(1 балл)

Заключительный этап, 10 класс

24

Задача 7

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

б)

По 1 баллу за корректную постановку задачи и за нахождение каждой из функ-

ций. Если при нахождении функций один из двух случаев (интервалов

𝑎

) игнориру-

ется, ставится 1 балл вместо 2.

в)

По 1 баллу за корректную постановку задачи, нахождение опитмума и верный

ответ.

г)

По 1 баллу за верное нахождение функций

𝐿

2

(𝑎)

и

𝐿(𝑎)

.

д)

Пример случая, в котором утверждение неверно:

(

2 балла).

Экономическая интерпретация:

(1 балл)

Заключительный этап, 10 класс

25

Задача 7