Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 11

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Задание 5.

Шок на рынке масок (10-11 класс)

(30 баллов)

Рынок медицинских масок в стране Z совершенно конкурентный. Функция издер-

жек фирмы, если она вошла на рынок, задается уравнением

𝑇 𝐶(𝑞) = 𝑞

2

+ 4

, где

𝑞

––

количество масок, произведенное данной фирмой (в тыс. шт.). Если фирма не входит
на рынок, ее прибыль равна нулю. В краткосрочном равновесии число фирм на рынке
фиксировано. В долгосрочном равновесии число фирм определяется таким образом,
что каждой фирме безразлично, входить на рынок или нет.

а)

(14 баллов)

Изначально рыночный спрос на маски задавался уравнением

𝑄

0

(𝑃) =

= 40 − 𝑃

и рынок находился в состоянии долгосрочного равновесия. Найдите рыноч-

ные цену, объем и количество фирм в этом равновесии.

б)

(6 баллов)

В связи с пандемией спрос на маски резко вырос –– до

𝑄

1

(𝑃) = 400 − 𝑃

.

Однако в краткосрочном периоде новые фирмы не успели войти на рынок, чтобы
удовлетворить возросший спрос, и число фирм осталось таким же, как в пункте

а)

.

Найдите рыночные цену и объем в новом краткосрочном равновесии.

в)

(10 баллов)

С течением времени спрос остался на уровне

𝑄

1

(𝑃) = 400 − 𝑃

, одна-

ко на рынок вошли новые фирмы, желающие заработать. Установилось новое долго-
срочное равновесие. Найдите рыночные цену, объем и количество фирм в этом рав-
новесии.

Решение

а) Способ 1.

Типичная фирма максимизирует прибыль

𝜋(𝑞) = 𝑃𝑞 − 𝑞

2

− 4 →

max

𝑞

⩾

0

.

 Графиком этой квадратичной функции является парабола

с ветвями вниз

и вершиной

в точке

𝑞

⋆

(𝑃) = 0,5𝑃

(это не что иное, как функция предложения каждой вошедшей

на рынок фирмы). Заметим, что при оптимальном поведении фирмы её прибыль об-
ращается в ноль при цене

𝑃 = 4

:

max

𝜋(𝑞) = 𝜋(0,5𝑃) = 𝑃 ⋅ 0,5𝑃 − (0,5𝑃)

2

− 4 = 0,25𝑃

2

− 4 = 0.

Значит, именно такая цена сложится в долгосрочном равновесии. Потребители захо-
тят купить по этой цене

𝑄

0

(4) = 36

единиц продукции, тогда как каждая действу-

ющая на рынке фирма произведёт по

𝑞

⋆

(4) = 2

единицы; значит, на рынок войдёт

𝑄

0

(4) ⁄ 𝑞

⋆

= 18

фирм.

Способ 2.

Вспомним, что долгосрочное равновесие на совершенно конкурентном

рынке определяется условием

𝑃 = 𝑀𝐶 = 𝐴𝐶

; заметим, что

𝑀𝐶

возрастают

, поэтому

данное условие может быть применено.

Имеем

𝑀𝐶 = 𝑇 𝐶

′

(𝑞) = 2𝑞

,

𝐴𝐶 = 𝑇 𝐶/𝑞 = 𝑞 + 4/𝑞

. Из условия

𝑀𝐶 = 𝐴𝐶

получаем

2𝑞 = 𝑞 +4/𝑞

,

𝑞

⋆

= 2

, значит

𝑃 = 𝑀𝐶 = 2𝑞

⋆

= 4

. Потребители по этой цене захотят купить

𝑄

0

(4) = 36

единиц продукции; значит, на рынок войдёт

𝑄

0

(4) ⁄ 𝑞

⋆

= 18

фирм.

Способ 3

отличается от

способа 2

лишь тем, как получается

𝑞

⋆

= 2

. А именно,

𝑞

⋆

= 2

можно найти из задачи минимизации средних издержек,

𝐴𝐶 = 𝑞 + 4/𝑞 →

min,

Региональный этап, 10 класс

5

Задание 5.

Шок на рынке масок (10-11 класс)

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

𝐴𝐶

′

= 1 − 4/𝑞

2

= 0

,

производная меняет знак с минуса на плюс

,

𝑞

⋆

= 2

. Тот же ответ

можно получить из неравенства о средних.

Ответ:

𝑃 = 4

,

𝑄 = 36

,

𝑁 = 18

.

б)

В пункте

а)

было установлено, что функция предложения каждой фирмы име-

ет вид

𝑞

⋆

= 0,5𝑃

; рыночное предложение составит

𝑄

𝑆

= 18𝑞

⋆

= 9𝑃

. Тогда в новом

краткосрочном равновесии

𝑄

1

(𝑃) = 𝑄

𝑆

(𝑃)

, или

400 − 𝑃 = 9𝑃

, откуда

𝑃 = 40𝑄 = 360

.

Ответ:

𝑃 = 40

,

𝑄 = 360

.

в)

В пункте

а)

получено, что в долгосрочном равновесии

𝑃 = 4

, вывод это цены

не зависит от функции спроса. Потребители по этой цене захотят купить

𝑄

1

(4) = 396

единиц продукции, каждая фирма произведёт по

𝑞

⋆

(4) = 2

единицы; значит, на рынке

будет

𝑄

1

⁄ 𝑞

⋆

=198 фирм.

Ответ:

𝑃 = 4

,

𝑄 = 396

,

𝑁 = 198

.

Схема проверки

а)

Всего за пункт ––

14 баллов.

• Сделано продвижение, позволяющее найти равновесную цену или оптималь-

ный выпуск одной фирмы (в зависимости от способа решения это может быть
или постановка задачи типичной фирмы, или указание на условие

𝑃 = 𝑀𝐶 = 𝐴𝐶

,

или указание на условие

𝑃 =

min

𝐴𝐶

), ––

2 балла.

• При этом если проверка достаточного условия экстремума не сделана (то есть

нет указания на направление ветвей параболы, не найдена вторая производная,
не обсуждается смена знака первой производной и нет ссылки на возрастание
функции

𝑀𝐶

), то

снимается 1 балл

. В авторском решении фразы, относящиеся

к проверке достаточных условий, выделены курсивом. При определении мини-
мума

𝐴𝐶

через неравенство о средних проверка не требуется.

• Найдена равновесная цена в исходном долгосрочном равновесии ––

4 балла.

• Найден объём рыночного спроса при равновесной цене ––

6 баллов.

• Найдено количество действующих на рынке фирм ––

2 балла.

б)

Всего за пункт ––

6 баллов.

• С отсылкой к результатам пункта

а)

приведена индивидуальная функция пред-

ложения фирмы ––

2 балла.

• Найдена функция краткосрочного рыночного предложения ––

2 балла.

• Найдена равновесная цена в краткосрочном равновесии ––

1 балл.

• Найден равновесный объём в краткосрочном равновесии ––

1 балл.

в)

Всего за пункт ––

10 баллов.

• Указано, что в новом долгосрочном равновесии установится та же цена, что и

в исходном долгосрочном равновесии (т.е. независимо от спроса) ––

4 балла.

• Найден объём рыночного спроса при равновесной цене ––

3 балла.

• Найдено количество действующих на рынке фирм ––

3 балла.

Региональный этап, 10 класс

6

Задание 5.

Шок на рынке масок (10-11 класс)

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Задание 6.

Уклонение от уплаты налогов

(30 баллов)

Фирма-монополист работает на рынке со спросом

𝑞

𝑑

= 15 − 𝑝

, а производство

каждой единицы продукции обходится фирме в 5 д.е. Фирма облагается налогом
на прибыль по ставке 20 % (естественно, только в случае, если прибыль положительна),
но у фирмы есть возможность задекларировать вместо фактической прибыли какую-
то меньшую величину и тем самым уклониться от налога. Однако уклонение не яв-
ляется бесплатным: чтобы не платить налог с

𝑥

д.е. прибыли, необходимо понести

затраты в размере

0,01𝑥

2

д.е. Оплата услуг по уклонению от налога «неофициальна»:

фирма не отражает сумму

0,01𝑥

2

в своих издержках, оплачивая её неформально из сво-

ей чистой прибыли, т.е. после уплаты налога.

а)

(6 баллов)

Какую чистую прибыль получит фирма, если она не будет уклоняться

от уплаты налога?

б)

(12 баллов)

Какую настоящую чистую прибыль (с учётом издержек на уклоне-

ние) получит фирма в случае уклонения от налога? Фирма выбирает уровень уклоне-
ния

𝑥

оптимальным образом.

в)

(12 баллов)

Предположим, государство заинтересовано собрать как можно боль-

ше налогов (зная об уклонении, но не имея возможности с ним бороться). После того
как государство выбирает ставку налога, фирма выбирает выпуск и уровень уклоне-
ния от налога. Какую ставку налога на прибыль следует установить государству?

Решение

а)

Фирма максимизирует чистую прибыль:

𝜋

𝑛𝑒𝑡

(𝑞) = (1 − 𝑡)𝜋

0

(𝑞) = (1 − 0,2)((15 − 𝑞)𝑞 − 5𝑞) = 0,8(10𝑞 − 𝑞

2

) →

max

𝑞

⩾

0

.

Функция прибыли является квадратичной, ветви параболы направлены вниз, верши-
на в точке

𝑞

⋆

= 5

; прибыль до вычета налога составит

𝜋

0

= 25

; чистая прибыль (после

вычета налога) составит

𝜋

𝑛𝑒𝑡

= 20

.

Ответ:

𝜋

𝑛𝑒𝑡

= 20

.

б)

Фирма заработает прибыль

𝜋

0

(𝑞)

, затем задекларирует прибыль на уровне

𝜋

0

(𝑞)−𝑥

, после чего заплатит с этой величины налог, равный

𝑡(𝜋

0

(𝑞)−𝑥)

, и ещё неофи-

циальным образом оплатит услуги по уходу от налога

0,01𝑥

2

. Таким образом, целевая

функция фирмы примет вид

𝜋

𝑛𝑒𝑡

(𝑞,𝑥) = 𝜋

0

(𝑞)−𝑡(𝜋

0

(𝑞)−𝑥)−0,01𝑥

2

= (1−𝑡)𝜋

0

(𝑞)+𝑡𝑥 −0,01𝑥

2

= 0,8(10𝑞−𝑞

2

)+0,2𝑥 −0,01𝑥

2

.

Можно увидеть, что чистая прибыль является суммой двух независимых квадратич-
ных функций, ветви парабол направлены вниз, вершины в точках

𝑞

⋆

= 5

(выпуск

по сравнению с пунктом

а)

не меняется) и

𝑥

⋆

= 10

. «Настоящая» чистая прибыль

фирмы составит

𝜋

𝑛𝑒𝑡

= 21

.

Ответ:

𝜋

𝑛𝑒𝑡

= 21

.

в)

Аналогично пункту

б)

, целевая функция фирмы имеет вид

𝜋

𝑛𝑒𝑡

(𝑞,𝑥) = (1 − 𝑡)𝜋

0

(𝑞) + 𝑡𝑥 − 0,01𝑥

2

= (1 − 𝑡)(10𝑞 − 𝑞

2

) + 𝑡𝑥 − 0,01𝑥

2

.

Региональный этап, 10 класс

7

Задание 6.

Уклонение от уплаты налогов

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Можно увидеть, что чистая прибыль является суммой двух независимых квадратных
парабол с ветвями вниз и вершинами в точках

𝑞

⋆

= 5

(выпуск по сравнению с пунктом

а)

не меняется) и

𝑥

⋆

= 50𝑡

. (Строго говоря,

𝑥

⋆

=

min

{50𝑡; 𝜋

0

(𝑞

⋆

)}

.)

Налоговые поступления (доля

𝑡

от декларируемой прибыли), если они больше ну-

ля, составят

𝑇 (𝑡) = 𝑡(𝜋

0

(𝑞) − 𝑥) = 𝑡(𝜋

0

(5) − 𝑥

⋆

(𝑡)) = 𝑡(25 − 50𝑡).

Государство максимизирует эту функцию по

𝑡 ∈ [0; 1]

. Функция

𝑇 (𝑡)

квадратичная,

ветви параболы направлены вниз, вершина в точке

𝑡

⋆

= 0,25.

Ответ:

𝑡

⋆

= 25 %.

Схема проверки

а)

Всего за пункт ––

6 баллов.

• Корректно записана функция чистой прибыли фирмы от одного аргумента (ко-

личества либо цены) ––

2 балла.

• Корректно решена оптимизационная задача фирмы –– предъявлено оптималь-

ное значение количества либо цены ––

2 балла.

• Проверено достаточное условие максимума (подойдёт любая из трёх формули-

ровок: либо сказано, что графиком функции прибыли является квадратная пара-
бола с ветвями вниз, либо сказано, что первая производная убывает, либо сказа-
но, что вторая производная отрицательна) ––

1 балл.

• Подсчитана фактическая чистая прибыль фирмы ––

1 балл.

б)

Всего за пункт ––

12 баллов.

• Корректно записана функция фактической чистой прибыли фирмы от двух аргу-

ментов (от количества либо цены и от незадекларированной суммы) ––

4 балла.

• Корректно решена оптимизационная задача фирмы –– предъявлены оптималь-

ные значения количества либо цены и незадекларированной суммы ––

4 балла.

• Проверены два достаточных условия максимума (подойдёт любая из трёх фор-

мулировок: либо сказано, что графиком функции прибыли является квадратная
парабола с ветвями вниз, либо сказано, что первая производная убывает, либо
сказано, что вторая производная отрицательна) ––

2 балла.

• Подсчитана фактическая чистая прибыль фирмы ––

2 балла.

в)

Всего за пункт ––

12 баллов

.

• Корректно записана функция фактической чистой прибыли фирмы от двух ар-

гументов (от количества либо цены и от незадекларированной суммы) при про-
извольной налоговой ставке ––

4 балла.

• Корректно решена оптимизационная задача фирмы — предъявлены оптималь-

ные значения количества либо цены и незадекларированной суммы (при про-
извольной налоговой ставке) ––

2 балла.

• Проверены два достаточных условия максимума (подойдёт любая из трёх фор-

мулировок: либо сказано, что графиком функции прибыли является квадратная
парабола с ветвями вниз, либо сказано, что первая производная убывает, либо
сказано, что вторая производная отрицательна) ––

2 балла.

Региональный этап, 10 класс

8

Задание 6.

Уклонение от уплаты налогов

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

• Корректно записана функция налоговых сборов от одного аргумента (налоговой

ставки либо незадекларированной суммы) ––

2 балла.

• Корректно решена оптимизационная задача государства — предъявлено опти-

мальное значение налоговой ставки ––

1 балл.

• Проверено достаточное условие максимума (подойдёт любая из трёх формули-

ровок: либо сказано, что графиком функции налоговых сборов является квад-
ратная парабола с ветвями вниз, либо сказано, что первая производная убывает,
либо сказано, что вторая производная отрицательна) ––

1 балл.

Региональный этап, 10 класс

9

Задание 6.

Уклонение от уплаты налогов

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Задание 7.

Повышенная ставка

(30 баллов)

Банки обычно предлагают не один тип вклада, а целую линейку вкладов с разны-

ми свойствами и ставками. Например, если вклад нельзя пополнять, то ставка по нему
обычно выше. В этой задаче мы рассмотрим данную ситуацию.

Предположим, вам предлагается на выбор два вклада сроком 12 месяцев. Ставка

по первому вкладу равна 1 % в месяц, и его можно пополнять на любую сумму с ин-
тервалом не менее месяца. Ставка по второму вкладу равна 1,5 % в месяц, но его нель-
зя пополнять. В данном банке проценты начисляются по методу

простых процентов

,

то есть если некая сумма

𝑠

лежит на вкладе

𝑡

месяцев по ставке

(100𝑟) %

в месяц, то

в конце срока по ней выплачиваются проценты в размере

𝑡 ⋅ 𝑟 ⋅ 𝑠

.

а)

(10 баллов)

Допустим, у вас изначально есть сумма 500 тыс. рублей, которую

вы готовы разместить на вкладе. Из зарплаты вы готовы сберегать 40 тыс. рублей
каждый месяц. (Первая зарплата придет к вам через месяц после начала срока вклада.)
Какой из двух вкладов выгоднее для вас, если вы хотите накопить как можно бо́льшую
сумму к концу срока?

б)

(20 баллов)

Теперь предположим, что вы –– менеджер банка, которому нужно

спрогнозировать расходы банка на процентные выплаты. Для этого нужно предска-
зать, сколько людей выберет каждый из указанных выше типов вкладов. Пусть

𝑀

––

сумма, которую человек готов разместить на вкладе в начале срока, а

𝑋

–– сумма, ко-

торую он готов сберегать в каждом из последующих месяцев. Пусть

𝑘 = 𝑀/𝑋

. С помо-

щью маркетингового исследования вы выяснили, что

𝑘

для разных людей принимает

значения от 5 до 15; доли людей с разными значениями

𝑘

приведены в таблице.

Интервал

𝑘

[5; 7] (7; 9] (9; 11] (11; 13] (13; 15]

Доля людей 10 %

20 %

30 %

30 %

10 %

Считайте, что если человеку безразлично, какой вклад открывать, то он открывает

пополняемый. Какой процент людей выберет вклад с возможностью пополнения?

Решение

а)

При пополняемом вкладе сумма к концу года составит

𝑆

1

= 500 + 500 ⋅ 12 ⋅ 0,01 + 40 ⋅ 12 + 40 ⋅ 0,01 ⋅ (11 + 10 + … + 1 + 0) =

= 500 + 60 + 480 + 40 ⋅ 0,01 ⋅

11 ⋅ 12

2

= 1040 + 0,4 ⋅ 66 = 1066,4.

При непополняемом вкладе сумма к концу года составит

𝑆

2

= 500 + 500 ⋅ 12 ⋅ 0,015 + 40 ⋅ 12 = 500 + 5 ⋅ 12 ⋅ 1,5 + 480 = 1070.

Таким образом, непополняемый вклад выгоднее.

б)

При пополняемом вкладе сумма к концу года составит

𝑆

1

= 𝑀 + 𝑀 ⋅ 12 ⋅ 0,01 + 12𝑋 + 𝑋 ⋅ 0,01 ⋅ (11 + 10 + … + 1 + 0) = 1,12𝑀 + 12,66𝑋 .

Региональный этап, 10 класс

10

Задание 7.

Повышенная ставка

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

При непополняемом вкладе сумма к концу года составит

𝑆

2

= 𝑀 + 𝑀 ⋅ 12 ⋅ 0,015 + 12𝑋 = 1,18𝑀 + 12𝑋 .

Выгоднее выбирать пополняемый вклад, если

𝑆

1

⩾

𝑆

2

, то есть

1,12𝑀 + 12,66𝑋

⩾

1,18𝑀 +

+ 12𝑋

. После преобразований получаем

0,06𝑀

⩽

0,66𝑋

, то есть

𝑘 = 𝑀 ⁄ 𝑋

⩽

0,66 ⁄ 0,06 = 11

.

Таким образом, люди, у которых

5

⩽

𝑘

⩽

11

, выберут пополняемый вклад, а лю-

ди, у которых

11 < 𝑘

⩽

15

, выберут непополняемый. Значит, доля людей, которые

предпочтут пополняемый вклад, равна

10 % + 20 % + 30 % = 60 %.

Ответ:

60 % или 0,6.

Схема проверки

Ответ пункта

а)

может быть получен в пункте

б)

. Действительно, в пункте

а)

𝑘 = 500/40 = 12,5 > 11

, и поэтому непополняемый вклад выгоднее. Если участник

использует это рассуждение и не приводит расчеты

𝑆

1

и

𝑆

2

для пункта

а)

, ему или ей

все равно ставится

10 баллов

за пункт

а)

.

а)

Всего за пункт ––

10 баллов

.

• Верно подсчитана сумма к концу года для пополняемого вклада ––

4 балла.

• Верно подсчитана сумма к концу года для непополняемого вклада ––

4 балла.

• На основании корректно рассчитанных сумм сделан вывод, что непополняемый

вклад предпочтителен, ––

2 балла.

б)

Всего за пункт ––

20 баллов.

• Корректно записано выражение (от

𝑀

и

𝑋

) для суммы к концу года при попол-

няемом вкладе ––

4 балла.

• Корректно записано выражение (от

𝑀

и

𝑋

) для суммы к концу года при непо-

полняемом вкладе ––

4 балла.

• Составлено неравенство, иллюстрирующее, какой вклад при каких параметрах

предпочтительнее, ––

4 балла.

• Решено составленное неравенство — получено граничное значение

𝑘

––

4 балла.

• Приведена доля людей, предпочитающих пополняемый вклад, ––

4 балла.

Региональный этап, 10 класс

11

Задание 7.

Повышенная ставка

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Задание 8.

Сложение квадратичных КПВ

(30 баллов)

На острове Паабалор есть два племени, живущие охотой и собирательством. Пле-

мена потребляют мясо (

𝑥

) и плоды (

𝑦

). Уравнения и графики КПВ имеют вид:

Племя 1

Племя 2

𝑦

1

= 4 − 𝑥

2

1

𝑦

2

= 2 − 𝑥

2

2

/8

𝑥

1

2

𝑦

1

4

𝑥

2

4

𝑦

2

2

а)

(8 баллов)

Какое максимальное количество плодов может быть собрано на ост-

рове, если всего нужно добыть 3 единицы мяса?

б)

(8 баллов)

Какое максимальное количество плодов может быть собрано на ост-

рове, если всего нужно добыть 5 единиц мяса?

в)

(14 баллов)

Определите уравнение КПВ острова.

Решение

а)

Найдем, как нужно разделить обязанности племен по добыче 3 единиц мяса,

чтобы в итоге количество собранных плодов было максимально, то есть решим задачу

𝑦

1

+ 𝑦

2

= 6 − 𝑥

2

1

− 𝑥

2

2

/8 →

max

при условии

𝑥

1

+ 𝑥

2

= 3

, а также

𝑥

1

∈ [0; 2]

,

𝑥

2

∈ [0; 4]

.

Подставляя в целевую функцию

𝑥

2

= 3 − 𝑥

1

, получаем задачу

6 − 𝑥

2

1

− (3 − 𝑥

1

)

2

/8 →

max

.

При этом найти максимум этой функции надо на отрезке [0;2], так как первое пле-

мя не может добыть больше 2 единиц мяса. При этом производство второго племени
будет изменяться от 1 до 3. Эти количества для второго племени возможны, так что
дополнительных ограничений не возникает. Находя вершину этой параболы с вет-
вями вниз, получаем, что

𝑥

⋆

1

= 1/3

, что принадлежит отрезку [0;2]. Значит, это и есть

искомый максимум. Второе племя будет производить

3−1/3 = 8/3

единиц мяса. Общее

количество собранных плодов при этом равно

6 − (1/3)

2

− (8/3)

2

/8 = 5

.

Тот же ответ можно получить, если оптимизировать по

𝑥

2

функцию

6 − (3 − 𝑥

2

)

2

−

− 𝑥

2

2

/8

. Оптимизировать нужно на отрезке

[1; 3]

, так как

𝑥

2

⩽

3

в силу ограничения

на общее количество мяса и

𝑥

1

⩾

0

, и

𝑥

2

⩾

1

в силу ограничения на общее количество

мяса и

𝑥

1

⩽

2

.

Кроме того, точку

𝑥

⋆

1

= 1/3

можно получить, приравнивая производную целе-

вой функции к нулю, или, что эквивалентно, приравнивая альтернативные издержки
производства для двух племен. Для первого племени альтернативные издержки рав-
ны

|(4 − 𝑥

2

1

)

′

| = 2𝑥

1

, для второго ––

|(2 − 𝑥

2

2

/8)

′

| = 𝑥

2

/4

.

б)

Теперь нужно решить задачу

𝑦

1

+ 𝑦

2

= 6 − 𝑥

2

1

− 𝑥

2

2

/8 →

max

Региональный этап, 10 класс

12

Задание 8.

Сложение квадратичных КПВ