Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 12

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

при условиях

𝑥

1

+ 𝑥

2

= 5

,

𝑥

1

∈ [0; 2]

,

𝑥

2

∈ [0; 4]

. Аналогично пункту

а)

, получаем задачу

6 − 𝑥

2

1

− (5 − 𝑥

1

)

2

/8 →

max

.

Второе племя не может добыть больше 4 единиц мяса. Значит, первому племе-

ни надо будет добыть минимум одну единицу мяса. Таким образом, максимум этой
функции мы будем искать на отрезке [1;2]. Вершиной данной параболы c ветвями
вниз является точка

𝑥

1

= 5/9 < 1

, и значит, максимум будет достигаться на краю от-

резка, в точке

𝑥

⋆

1

= 1

. Второе племя произведет все оставшиеся четыре единицы, а

количество собранных плодов будет равно 3.

Тот же ответ можно получить, если оптимизировать по

𝑥

2

функцию

6 − (5 − 𝑥

2

)

2

−

− 𝑥

2

2

/8

. Оптимизировать нужно на отрезке

[3; 4]

;

𝑥

2

⩾

3

в силу ограничения на общее

количество мяса и

𝑥

1

⩽

2

.

Кроме того, решение

𝑥

⋆

1

= 1

можно получить, если заметить, что производная

целевой функции

6 − 𝑥

2

1

− (5 − 𝑥

1

)

2

/8

отрицательна на отрезке [1;2], или, что эквива-

лентно, для любого

𝑥

1

∈ [1; 2]

альтернативные издержки добычи мяса первым племе-

нем в точке

𝑥

1

больше, чем альтернативные издержки добычи мяса вторым племенем

в точке

5 − 𝑥

1

.

в)

КПВ есть не что иное, как график функции, показывающей, какое максималь-

ное количество Игрека можно произвести, если всего требуется произвести

𝑋

единиц

Икса. Две точки на КПВ острова мы уже нашли – (3;5) и (5;3). Теперь осталось найти
остальные, решив ту же задачу максимизации уже для произвольного значения

𝑋

,

то есть

𝑌 = 𝑦

1

+ 𝑦

2

= 6 − 𝑥

2

1

− 𝑥

2

2

/8 →

max

при условиях

𝑥

1

+ 𝑥

2

= 𝑋

,

𝑥

1

∈ [0; 2]

,

𝑥

2

∈ [0; 4]

. Ясно, что

𝑋 ∈ [0; 6]

.

Переходя к оптимизации по одной переменной, получаем задачу

6 − 𝑥

2

1

− (𝑋 − 𝑥

1

)

2

/8 →

max

,

где

𝑋

–– параметр.

Если

𝑋

⩽

4

, эту задачу надо решать на отрезке

[0; 2]

–– для любого

𝑥

1

∈ [0; 2]

, второе

племя сможет произвести

𝑋 − 𝑥

1

. Если же

𝑋 > 4

,

𝑥

1

∈ [𝑋 − 4; 2]

, так как первое племя

должно будет произвести минимум

𝑋 − 4

единицы мяса.

Нетрудно определить, что вершина параболы с ветвями вниз

6 − 𝑥

2

1

− (𝑋 − 𝑥

1

)

2

/8

находится в точке

𝑥

1

= 𝑋 /9

.

Случай 1.

𝑋

⩽

4

, и поэтому

𝑥

1

∈ [0; 2]

.

𝑋 /9

принадлежит этому отрезку для любого

𝑋

⩽

4

, а значит,

𝑥

⋆

1

(𝑋 ) = 𝑋 /9

будет решением задачи. Тогда

𝑌 = 6 − (𝑋 /9)

2

− (8𝑋 /9)

2

/8 =

= 6 − 𝑋

2

/9

.

Случай 2.

𝑋 ∈ (4; 6]

, и поэтому

𝑥

1

∈ [𝑋 − 4; 2]

.

𝑋 /9

принадлежит этому отрезку при

𝑋 /9

⩾

𝑋 − 4

, или

𝑋

⩽

4,5

. Значит, решением будет

𝑥

⋆

1

(𝑋 ) = {

𝑋 /9,

𝑋

⩽

4,5;

𝑋 − 4, 𝑋 > 4,5.

Региональный этап, 10 класс

13

Задание 8.

Сложение квадратичных КПВ

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

Действительно, если вершина параболы с ветвями вниз лежит левее допустимого от-
резка, оптимум достигается в левом конце отрезка. При

𝑋 > 4,5

максимальное коли-

чество собранных плодов будет равно

𝑌 = 4 − (𝑋 − 4)

2

+ 0 = 4 − (𝑋 − 4)

2

.

Обобщая, получаем, что КПВ острова задается уравнением

𝑌 = {

6 − 𝑋

2

/9,

𝑋

⩽

4,5;

4 − (𝑋 − 4)

2

, 4,5

⩽

𝑋

⩽

6.

Тот же ответ можно получить, оптимизируя по

𝑥

2

и обобщая анализ в пунктах

а)

и

б)

. При

𝑋 < 2

максимизацию по

𝑥

2

нужно проводить на отрезке

[0; 4]

, а при

𝑋

⩾

2

––

на отрезке

[𝑋 − 2; 4]

. Граничное значение

𝑋 = 4,5

определяется из условия

8𝑋 /9 = 4

.

Кроме того, решить пункт можно с помощью производной или анализа аль-

тернативных издержек. При

𝑋

⩽

4,5

является доступным распределение

(𝑥

1

, 𝑥

2

) =

(𝑋 /9, 8𝑋 /9)

, при котором производная целевой функции равна нулю (альтернативные

издержки двух племен равны). Поскольку альтернативные издержки обоих племен
возрастают, производная целевой функции убывает, и значит, это точка максимума.
При

𝑋 > 4

это распределение не является доступным, так как

8𝑋 /9 > 4

. При опти-

мизации по

𝑥

1

производная целевой функции отрицательна на отрезке

[𝑋 − 4; 2]

––

альтернативные издержки первого племени больше в точке

𝑥

1

, чем альтернативные

издержки второго племени в точке

𝑋 − 𝑥

1

–– и потому оптимальным является мини-

мальное значение

𝑥

1

, то есть

𝑋 − 4

.

Примечание 1:

КПВ острова имеет вид

𝑥

4.5 6

𝑦

3.75

6

Рис. 8.1:

КПВ острова.

Можно показать, что излома в точке

(4,5; 3,75)

нет, наклон КПВ как при приближе-

нии слева, так и при приближении справа к этой точке стремится к единице. Поду-
майте, почему так происходит.

Примечание 2:

В данном случае альтернативные издержки не являются постоян-

ными и стремятся к нулю для малых значений

𝑥

для обоих племен. Поэтому найти

суммарную КПВ методом определения «порядка», в котором племена должны про-
изводить

𝑥

(как в случае, если хотя бы одна из двух КПВ является линейной), не пред-

ставляется возможным. Тем не менее, найденное решение отражает то, что альтер-
нативные издержки производства Икса для первого племени растут быстрее (то есть

Региональный этап, 10 класс

14

Задание 8.

Сложение квадратичных КПВ

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

оно «в целом хуже» производит Икс). Действительно, при

𝑋 < 4,5

при оптимальном

распределении производства первое племя производит лишь одну девятую общего
объема, а второе –– восемь девятых. И лишь когда производственных возможностей
второго племени становится недостаточно, доля Икса, произведенного первым пле-
менем, растет.

Схема проверки

а)

Всего за пункт ––

8 баллов.

• Выписывание функции двух переменных, которую нужно максимизировать, ––

2 балла.

• Переход к оптимизации по одной переменной ––

1 балл.

• Нахождение кандидата на оптимум

𝑥

1

или

𝑥

2

через вершину параболы или про-

изводную (равенство альтернативных издержек)––

1 балл.

• Проверка достаточных условий максимума (указание на направление ветвей па-

раболы вниз, на смену знака первой производной с плюса на минус, отрицатель-
ность второй производной или указание на то, что альтернативные издержки
возрастают) ––

1 балл.

• Проверка того, что найденное значение

𝑥

1

принадлежит отрезку

[0; 2]

, ––

1 балл.

• Проверка того, что найденное значение

𝑥

2

принадлежит отрезку

[0; 4]

, ––

1 балл.

• Определение максимального значения

𝑌

––

1 балл.

б)

Всего за пункт ––

8 баллов.

• Выписывание функции двух переменных, которую нужно максимизировать, ––

2 балла.

• Переход к оптимизации по одной переменной ––

1 балл.

• Правильное определение краевого оптимума

(𝑥

⋆

1

,𝑥

⋆

2

) = (1,4)

––

4 балла.

, причем

определить его можно двумя способами: (1) найти вершину соответствующей
параболы, отметить, что вершина не принадлежит допустимому отрезку, со-
слаться на направление ветвей параболы и сделать вывод, что оптимум дости-
гается на границе отрезка; (2) с помощью производной доказать, что функция
монотонна на допустимом отрезке, и потому оптимум достигается на указан-
ной границе отрезка. Второй способ эквивалентен сравнению альтернативных
издержек в соответствующих точках.

• Определение максимального значения

𝑌

––

1 балл.

Если участник сделал вывод, что решение будет в вершине параболы, за пункт

при верных вычислениях ставится

3 балла

.

Если участник сослался на симметрию и вывел ответ из результата пункта а): «в а)

получилось, что при

𝑋 = 3

максимальное значение

𝑌

равно 5, значит при

𝑌 = 5

мак-

симальное значение

𝑋

равно 3, и значит, в силу симметрии, при

𝑋 = 5

максимальное

𝑌

равно 3, –– за пункт ставится

0 баллов

, так как в данной задаче симметрии между

𝑋

и

𝑌

нет, КПВ племен не переходят друг в друга при симметрии относительно

𝑌 = 𝑋

,

и итоговая КПВ также не является симметричной.

в)

Всего за пункт ––

14 баллов.

• Постановка оптимизационной задачи при произвольном

𝑋

––

5 баллов.

Региональный этап, 10 класс

15

Задание 8.

Сложение квадратичных КПВ

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

• Переход к оптимизации по одной переменной ––

1 балл.

• Правильное для каждого

𝑋

определение отрезка, на котором производится оп-

тимизация, ––

2 балла.

• Определение вершины параболы или точки, где производная равна нулю (аль-

тернативные издержки равны), ––

1 балл.

• Определение того, при каких

𝑋

решение достигается в вершине параболы, а при

каких –– на границе отрезка (получение критического значения

𝑋 = 4,5

) ––

4 бал-

ла.

Участник должен пояснить, почему оптимум достигается на границе отрез-

ка –– либо с помощью ссылки на направление ветвей параболы, либо обосновы-
вая монотонность функции с помощью производной. Если этого не сделано,

1

балл

снимается.

• Расчет максимального значения

𝑌

––

1 балл.

Региональный этап, 10 класс

16

Задание 8.

Сложение квадратичных КПВ

Региональный этап

2020/2021 год

Первый тур. Тест.

Правильные ответы.

Конкурс

закрасьте кружочек

#

9 класс

#

10 класс

 

11 класс

■

Правильные ответы

■

Региональный этап

2020/2021 год

Первый тур. Тест. 11 класс.

Правильные ответы и комментарии

Задание 1

5 вопросов

типа «Верно/Неверно». Правильный ответ приносит

1 балл

.

1.1.

В настоящий момент в экономике производится 11 единиц товара X; использо-

вание ресурсов полное и эффективное. Альтернативная стоимость единицы товара X
постоянна и составляет 0,5 единицы товара Y. Значит, ради производства дополни-
тельных 4 единиц товара Y придётся отказаться от 8 единиц товара X.

1)

Да.

2) Нет.

Комментарий

. Альтернативная стоимость (а.с.) икса в игреках и а.с. игрека в иксах

являются обратными величинами. Получаем, что а.с. игрека в иксах равна 2, а значит,
что ради производства дополнительной единицы Y нужно пожертвовать двумя еди-
ницами X. Поскольку а.с. постоянна, 4 единицы Y будут стоить 8 единиц X. Отказ от 8
единиц X возможен, потому что сейчас их производится 11.

1.2.

Все экономические исследования предполагают рациональность агентов.

1) Да.

2)

Нет.

Комментарий

. Модели с допущениями о нерациональном поведении агентов можно

встретить в разделе экономики, который называется

поведенческой экономикой

.

1.3.

Коэффициент Оукена равен 0, если ВВП достигает потенциального уровня.

1) Да.

2)

Нет.

Комментарий

. Коэффициент Оукена –– это эмпирическая константа, которая пока-

зывает, на сколько процентных пунктов меняется разрыв ВВП при изменении уровня
безработицы на один процентный пункт.

1

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

1.4.

Ключевая ставка Банка России (ЦБ РФ) –– это ставка процента, которую ЦБ РФ

начисляет на обязательные резервы коммерческих банков, размещенные в нем.

1) Да.

2)

Нет.

Комментарий

. На обязательные резервы коммерческих банков проценты не начис-

ляются. Ключевая ставка — другой инструмент денежно-кредитной политики; она ис-
пользуется для регулирования ликвидности путем операций ЦБ РФ по выдаче креди-
тов или привлечению депозитов.

1.5.

Одно исследование показало, что люди, прошедшие после увольнения програм-

мы повышения квалификации, в среднем зарабатывают больше, чем те, кто их не про-
ходил. Из этого можно сделать вывод о том, что прохождение программ повышения
квалификации увеличивает зарплату работников.

1) Да.

2)

Нет.

Комментарий

. Вполне возможно, что люди, идущие на такие программы, являются

более мотивированными и организованными, чем те, кто на эти программы не идет. А
значит, их бо́льший заработок после окончания может не быть следствием прохожде-
ния таких программ.

Корреляция

между фактом прохождения программы и будущим

доходом не означает наличия причинно-следственной связи между этими перемен-
ными.

Задание 2

5 вопросов

, в каждом из которых среди четырех вариантов нужно выбрать един-

ственно верный или наиболее полный ответ. Правильный ответ приносит

3 балла

.

2.1.

В 2020 году лауреатами Нобелевской премии по экономике

(Премии Шведского го-

сударственного банка по экономическим наукам памяти А. Нобеля)

стали Пол Милгром

и Роберт Уилсон. За какие заслуги была присуждена премия?
1) разработка оптимального дизайна выборов и голосований;
2) разработка новых мер монетарной политики;
3) анализ эффективности мер по борьбе с коррупцией;

4)

усовершенствование теории аукционов.

2.2.

В некоторой стране кривая Лоренца имеет вид

𝑦 = 𝑥

3

. Каково соотношение до-

ходов беднейшей трети, «средней» трети и богатейшей трети населения?

1)

1:7:19;

2) 1:8:27;

3) 1:7:100;

4) 1:8:100.

Комментарий

. Примем доход всей страны за единицу. Тогда доходы беднейшей тре-

ти равны

𝑦(1/3) = 1/27

. Доход средней трети равен

(𝑦(2/3) − 𝑦(1/3)) = 7/27

. Доход бога-

тейшей трети равен

(1 − 𝑦(2/3)) = 19/27

.

2.3.

При какой смешанной политике государства точно повысится ставка процента

на денежном рынке?

Региональный этап, 11 класс

2

Первый тур. Тест.

Всероссийская олимпиада школьников

2021

Экономика

1) стимулирующая монетарная, стимулирующая фискальная;
2) стимулирующая монетарная, сдерживающая фискальная;

3)

сдерживающая монетарная, стимулирующая фискальная;

4) сдерживающая монетарная, сдерживающая фискальная.

Комментарий

. В стандартном случае на рынке денег сдерживающая монетарная по-

литика снижает предложение, а стимулирующая фискальная политика увеличивает
спрос; в результате это ведёт к росту равновесной цены — ставки процента.

2.4.

В некой стране в 2020 году госбюджет сведён с дефицитом 2 млн $, а частные

сбережения меньше инвестиций на 5 млн $. Резервы центробанка остались неизмен-
ными. Тогда в данной стране в 2020 году имел место:
1) чистый приток капитала в размере 3 млн $;
2) чистый отток капитала в размере 3 млн $;

3)

чистый приток капитала в размере 7 млн $;

4) чистый отток капитала в размере 7 млн $.

Комментарий

. Инвестиции не могут быть профинансированы ниоткуда, кроме как

из чьих-то сбережений, при этом частные сбережения меньше инвестиций на 5, а го-
сударственные сбережения (сальдо госбюджета) в минусе на 2, значит (при условии,
что центробанк не вмешивался в работу валютного рынка, т.е. не изменял свои валют-
ные резервы), из-за границы должны «прийти» сбережения в размере 7. Тот же ответ
можно получить формально через макроэкономические тождества.

2.5.

Предельные издержки некой фирмы задаются уравнением

𝑀𝐶 = 2𝑞

; выпуск фир-

мы может быть только целым числом. Чему равна величина

𝐴𝑉 𝐶(2020)

— средние

переменные издержки при производстве 2020 единиц товара?
1) 2019;

2) 2020;

3)

2021;

4) 4040.

Комментарий

. При дискретном выпуске

𝑉 𝐶(𝑞) = 𝑀𝐶(1) + 𝑀𝐶(2) + … + 𝑀𝐶(𝑞) = 2(1 + 2 + … + 𝑞) = 𝑞(𝑞 + 1).

Значит,

𝐴𝑉 𝐶(𝑞) = 𝑞 + 1.

Региональный этап, 11 класс

3

Первый тур. Тест.