Математика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2022-2023 год)

Рассмотрев первые два столбца, понимаем, что в клетке

𝐴1

стоит число 3, а в клетке

𝐴2

— число 2.

Задача 1.2.

Таблица

4 × 4

разбита на четыре квадрата

2 × 2

Вика вписала в клетки таблицы

единицы,

двойки,

тройки и

четвёрки так, что в

каждом столбце, в каждой строке и в каждом квадрате

2 × 2

все числа разные.

Хулиган Андрей стёр часть чисел. Помогите Вике восстановить, в каких клетках стояли
четвёрки.

Постройте соответствие.

• В строчке

𝐴

четвёрка стоит

• В строчке

𝐵

четвёрка стоит

• В строчке

𝐶

четвёрка стоит

• В строчке

𝐷

четвёрка стоит

• в столбце

Ответ:

𝐴 − 3, 𝐵 − 1, 𝐶 − 2, 𝐷 − 4

Задача 1.3.

Таблица

4 × 4

разбита на четыре квадрата

2 × 2

Вика вписала в клетки таблицы

единицы,

двойки,

тройки и

четвёрки так, что в

каждом столбце, в каждой строке и в каждом квадрате

2 × 2

все числа разные.

Хулиган Андрей стёр часть чисел. Помогите Вике восстановить, в каких клетках стояли
четвёрки.

Постройте соответствие.

• В строчке

𝐴

четвёрка стоит

• В строчке

𝐵

четвёрка стоит

• В строчке

𝐶

четвёрка стоит

• В строчке

𝐷

четвёрка стоит

• в столбце

Ответ:

𝐴 − 3, 𝐵 − 2, 𝐶 − 4, 𝐷 − 1

Задача 1.4.

Таблица

4 × 4

разбита на четыре квадрата

2 × 2

Вика вписала в клетки таблицы

единицы,

двойки,

тройки и

четвёрки так, что в

каждом столбце, в каждой строке и в каждом квадрате

2 × 2

все числа разные.

Хулиган Андрей стёр часть чисел. Помогите Вике восстановить, в каких клетках стояли
четвёрки.

Постройте соответствие.

• В строчке

𝐴

четвёрка стоит

• В строчке

𝐵

четвёрка стоит

• В строчке

𝐶

четвёрка стоит

• В строчке

𝐷

четвёрка стоит

• в столбце

Ответ:

𝐴 − 1, 𝐵 − 3, 𝐶 − 4, 𝐷 − 2

7 класс, задача 2

Задача 2.1.

На прямой отмечены точки

𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷

, именно в таком порядке. Точка

𝑀

—

середина отрезка

𝐴𝐶

, точка

𝑁

— середина отрезка

𝐵𝐷

. Найдите длину отрезка

𝑀𝑁

, если

известно, что

𝐴𝐷 = 68

𝐵𝐶 = 20

Ответ:

24.

Задача 2.2.

На прямой отмечены точки

𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷

, именно в таком порядке. Точка

𝑀

—

середина отрезка

𝐴𝐶

, точка

𝑁

— середина отрезка

𝐵𝐷

. Найдите длину отрезка

𝑀𝑁

, если

известно, что

𝐴𝐷 = 68

𝐵𝐶 = 22

Ответ:

Задача 2.3.

На прямой отмечены точки

𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷

, именно в таком порядке. Точка

𝑀

—

середина отрезка

𝐴𝐶

, точка

𝑁

— середина отрезка

𝐵𝐷

. Найдите длину отрезка

𝑀𝑁

, если

известно, что

𝐴𝐷 = 68

𝐵𝐶 = 24

Ответ:

Задача 2.4.

На прямой отмечены точки

𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷

, именно в таком порядке. Точка

𝑀

—

середина отрезка

𝐴𝐶

, точка

𝑁

— середина отрезка

𝐵𝐷

. Найдите длину отрезка

𝑀𝑁

, если

известно, что

𝐴𝐷 = 68

𝐵𝐶 = 26

Ответ:

7 класс, задача 3

Задача 3.1.

Паша знает скорость своей моторной лодки. Он посчитал, что ему потребует-

ся

минут, чтобы проплыть по реке от причала до моста и обратно. Но при вычислениях

он забыл, что у реки есть течение. Сколько минут на самом деле потребуется Паше на за-
думанный маршрут, если известно, что скорость течения ровно в

раза меньше скорости

моторной лодки? (Скорости моторной лодки и течения постоянны.)

Ответ:

22,5

Задача 3.2.

Паша знает скорость своей моторной лодки. Он посчитал, что ему потребует-

ся

минут, чтобы проплыть по реке от причала до моста и обратно. Но при вычислениях

раза меньше скорости

моторной лодки? (Скорости моторной лодки и течения постоянны.)

Ответ:

31,5

Задача 3.3.

Паша знает скорость своей моторной лодки. Он посчитал, что ему потребует-

ся

минут, чтобы проплыть по реке от причала до моста и обратно. Но при вычислениях

раза меньше скорости

моторной лодки? (Скорости моторной лодки и течения постоянны.)

Ответ:

40,5

Задача 3.4.

Паша знает скорость своей моторной лодки. Он посчитал, что ему потребует-

ся

минуты, чтобы проплыть по реке от причала до моста и обратно. Но при вычисле-

ниях он забыл, что у реки есть течение. Сколько минут на самом деле потребуется Паше
на задуманный маршрут, если известно, что скорость течения ровно в

раза меньше ско-

рости моторной лодки? (Скорости моторной лодки и течения постоянны.)

Ответ:

49,5

7 класс, задача 4

Задача 4.1.

Вдоль дороги, соединяющей дома Маши и Саши, растут деревья:

яблонь

тополей. Когда Маша шла в гости к Саше, она фотографировала все деревья. Сразу

после десятой яблони память на телефоне Маши закончилась, и она не смогла сфотогра-
фировать оставшиеся

деревьев. На следующий день, когда Саша шёл в гости к Маше,

начиная с восьмой яблони с каждого дерева он срывал по одному листу. Сколько листов
сорвал Саша?

Ответ:

Решение.

Заметим, что десятая яблоня, считая от дома Маши, — это восьмая яблоня, счи-

тая от дома Саши. Следовательно, Саша не сорвёт по листу ровно с 13 деревьев. Получаем,
что всего он сорвёт

17 + 18 − 13 = 22

листа.

Задача 4.2.

Вдоль дороги, соединяющей дома Маши и Саши, растут деревья:

яблонь

тополей. Когда Маша шла в гости к Саше, она фотографировала все деревья. Сразу

после десятой яблони память на телефоне Маши закончилась, и она не смогла сфотогра-
фировать оставшиеся

деревьев. На следующий день, когда Саша шёл в гости к Маше,

начиная с восьмой яблони с каждого дерева он срывал по одному листу. Сколько листов
сорвал Саша?

Ответ:

Задача 4.3.

Вдоль дороги, соединяющей дома Маши и Саши, растут деревья:

яблонь

тополей. Когда Маша шла в гости к Саше, она фотографировала все деревья. Сразу

после десятой яблони память на телефоне Маши закончилась, и она не смогла сфотогра-
фировать оставшиеся

деревьев. На следующий день, когда Саша шёл в гости к Маше,

начиная с восьмой яблони с каждого дерева он срывал по одному листу. Сколько листов
сорвал Саша?

Ответ:

Задача 4.4.

Вдоль дороги, соединяющей дома Маши и Саши, растут деревья:

яблонь

тополей. Когда Маша шла в гости к Саше, она фотографировала все деревья. Сразу

после десятой яблони память на телефоне Маши закончилась, и она не смогла сфотогра-
фировать оставшиеся

деревьев. На следующий день, когда Саша шёл в гости к Маше,

начиная с восьмой яблони с каждого дерева он срывал по одному листу. Сколько листов
сорвал Саша?

Ответ:

7 класс, задача 5

Задача 5.1.

На урок физкультуры пришли 27 семиклассников, некоторые из них принес-

ли по одному мячу. Иногда в течение урока кто-нибудь из семиклассников отдавал свой
мяч другому семикласснику, у которого мяча не было.

В конце урока

𝑁

семиклассников сказали: «Я получал мячи реже, чем их отдавал!». Най-

дите наибольшее возможное значение

𝑁

, если известно, что никто из ребят не соврал.

Ответ:

13.

Задача 5.2.

На урок физкультуры пришли

семиклассников, некоторые из них принес-

В конце урока

𝑁

семиклассников сказали: «Я получал мячи реже, чем их отдавал!». Най-

дите наибольшее возможное значение

𝑁

, если известно, что никто из ребят не соврал.

Ответ:

Задача 5.3.

На урок физкультуры пришли

семиклассника, некоторые из них принесли

по одному мячу. Иногда в течение урока кто-нибудь из семиклассников отдавал свой мяч
другому семикласснику, у которого мяча не было.

В конце урока

𝑁

семиклассников сказали: «Я получал мячи реже, чем их отдавал!». Най-

дите наибольшее возможное значение

𝑁

, если известно, что никто из ребят не соврал.

Ответ:

Задача 5.4.

На урок физкультуры пришли

семиклассников, некоторые из них принес-

В конце урока

𝑁

семиклассников сказали: «Я получал мячи реже, чем их отдавал!». Най-

дите наибольшее возможное значение

𝑁

, если известно, что никто из ребят не соврал.

Ответ:

7 класс, задача 6

Задача

6.1.

Задача 7.2.

Каждый из семи гномов загадал по натуральному числу. Все они знают, что

загадали остальные. Белоснежка спросила у каждого из гномов, какое число он загадал.

• 1-й гном промолчал.

• 2-й гном сказал: «Моё число равно числу первого гнома».

• 3-й гном сказал: «Моё число равно сумме чисел первого и второго гномов».

• 4-й гном сказал: «Моё число равно сумме чисел первого, второго и третьего гно-

мов».

• …

• 7-й гном сказал: «Моё число равно сумме чисел первого, второго, третьего, четвёр-

того, пятого и шестого гномов».

Известно, что сумма семи чисел, загаданных гномами, равна

. Также известно, что ров-

но один гном соврал. Какое число мог загадать совравший гном? Укажите все возможные
варианты.

Ответ:

Задача 7.3.

Каждый из семи гномов загадал по натуральному числу. Все они знают, что

загадали остальные. Белоснежка спросила у каждого из гномов, какое число он загадал.

• 1-й гном промолчал.

• 2-й гном сказал: «Моё число равно числу первого гнома».

• 3-й гном сказал: «Моё число равно сумме чисел первого и второго гномов».

• 4-й гном сказал: «Моё число равно сумме чисел первого, второго и третьего гно-

мов».

• …

• 7-й гном сказал: «Моё число равно сумме чисел первого, второго, третьего, четвёр-

того, пятого и шестого гномов».

Известно, что сумма семи чисел, загаданных гномами, равна

. Также известно, что ров-

но один гном соврал. Какое число мог загадать совравший гном? Укажите все возможные
варианты.

Ответ:

Задача 7.4.

Каждый из семи гномов загадал по натуральному числу. Все они знают, что

загадали остальные. Белоснежка спросила у каждого из гномов, какое число он загадал.

• 1-й гном промолчал.

• 2-й гном сказал: «Моё число равно числу первого гнома».

• 3-й гном сказал: «Моё число равно сумме чисел первого и второго гномов».

• 4-й гном сказал: «Моё число равно сумме чисел первого, второго и третьего гно-

мов».

• …

• 7-й гном сказал: «Моё число равно сумме чисел первого, второго, третьего, четвёр-

того, пятого и шестого гномов».

Известно, что сумма семи чисел, загаданных гномами, равна

. Также известно, что ров-

но один гном соврал. Какое число мог загадать совравший гном? Укажите все возможные
варианты.

Ответ:

7 класс, задача 8

Задача 8.1.

Обозначим через

𝑠(𝑛)

сумму всех нечётных цифр числа

𝑛

. Например,

𝑠(4) = 0

𝑠(173) = 11

𝑠(1623) = 4

Вычислите значение суммы

𝑠(1) + 𝑠(2) + 𝑠(3) + … + 𝑠(321)

Ответ:

1727

Решение.

Будем по отдельности считать сумму нечётных цифр по разрядам.

Разряд единиц.

Среди чисел от 1 до 321 есть 32 полных десятка:

• от 1 до 10;

• от 11 до 20;

• от 21 до 30;

• …

• от 311 до 320.

В каждом десятке сумма нечётных цифр в разряде единиц равняется

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Учитывая также последнее число

321

с цифрой

в разряде единиц, получаем, что сумма

всех нечётных цифр из разряда единиц равна

25 ⋅ 32 + 1 = 801.

Разряд десятков.

Рассмотрим, у каких чисел стоят нечётные цифры в разряде десятков.

• Цифра 1 в разряде десятков стоит у 40 чисел: от 10 до 19, от 110 до 119, от 210 до 219,

от 310 до 319.

• Цифра 3 в разряде десятков стоит у 30 чисел: от 30 до 39, от 130 до 139, от 230 до 239.

• Цифра 5 в разряде десятков стоит у 30 чисел: от 50 до 59, от 150 до 159, от 250 до 259.

• Цифра 7 в разряде десятков стоит у 30 чисел: от 70 до 79, от 170 до 179, от 270 до 279.

• Цифра 9 в разряде десятков стоит у 30 чисел: от 90 до 99, от 190 до 199, от 290 до 299.

Итого сумма всех нечётных цифр из разряда десятков равна

1 ⋅ 40 + 3 ⋅ 30 + 5 ⋅ 30 + 7 ⋅ 30 + 9 ⋅ 30 = 760.

Разряд сотен.

Рассмотрим, у каких чисел стоят нечётные цифры в разряде сотен.

• Цифра 1 в разряде сотен стоит у 100 чисел: от 100 до 199.

• Цифра 3 в разряде десятков стоит у 22 чисел: от 300 до 321.

Итого сумма всех нечётных цифр из разряда сотен равна

1 ⋅ 100 + 3 ⋅ 22 = 166.

Осталось лишь найти общую сумму:

801 + 760 + 166 = 1727.

Задача 8.2.

Обозначим через

𝑠(𝑛)

сумму всех нечётных цифр числа

𝑛

. Например,

𝑠(4) = 0

𝑠(173) = 11

𝑠(1623) = 4

Вычислите значение суммы

𝑠(1) + 𝑠(2) + 𝑠(3) + … + 𝑠(320)

Ответ:

1723

Задача 8.3.

Обозначим через

𝑠(𝑛)

сумму всех нечётных цифр числа

𝑛

. Например,

𝑠(4) = 0

𝑠(173) = 11

𝑠(1623) = 4

Вычислите значение суммы

𝑠(1) + 𝑠(2) + 𝑠(3) + … + 𝑠(322)

Ответ:

1730

Задача 8.4.

Обозначим через

𝑠(𝑛)

сумму всех нечётных цифр числа

𝑛

. Например,

𝑠(4) = 0

𝑠(173) = 11

𝑠(1623) = 4

Вычислите значение суммы

𝑠(1) + 𝑠(2) + 𝑠(3) + … + 𝑠(323)

Ответ:

1736

Пригласительный этап ВсОШ по математике

•

11-12 мая 2022 г.

8 класс

8-1.

Коля сложил из четырёх одинаковых брусков фигуру, изображённую на ри-

сунке. Чему равна площадь поверхности этой фигуры? Ответ выразите в квадратных
сантиметрах.

Ответ.

64.

Решение.

Площадь поверхности одного бруска равна 18 см

. Из этой площади 2 см

«теряется» на стыки с другими брусками, итого остаётся площадь

−

2 = 16

см

Так как брусков 4, то ответ

16 = 64

см

8-2.

На далёкой планете в мангровых лесах живёт популяция жабов. Количество

жабов, которое рождается каждый год — это число, на 1 большее, чем разность ко-
личества жабов, родившихся в предыдущие два года (из большего числа вычитается
меньшее).

Например, если в прошлом году родились 5 жабов, а в позапрошлом — 2, то в этом

году родятся 4 жаба; если же в прошлом году родились 3 жаба, а в позапрошлом —
10, то в этом году родятся 8 жабов.

В 2020 году родились 2 жаба, а в 2021 — 9. В каком ближайшем году впервые

родится всего 1 жаб?

Ответ.

2033.

Решение.

Это достаточно простая задача, в которой единственное, что нужно

сделать — это правильно понять условие и применить его необходимое количество
раз. Умение правильно понять условие — важное умение при решении задач!

Пригласительный этап ВсОШ по математике

•

11-12 мая 2022 г.

8-3.

Оля купила три подарка и упаковала их в три прямоугольные коробки: синюю,

красную и зелёную. Она попробовала поставить эти подарки разными способами: один
на стол, и два друг на друга на пол. На рисунке даны некоторые расстояния. Найдите
высоту стола

. Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ.

91.

Решение.

Пусть высота синего прямоугольника равна

, высота красного пря-

моугольника равна

, а высота зелёного прямоугольника равна

. Тогда, согласно

условию,

−

= 111

−

= 80

−

= 82

. Складывая все эти ра-

венства, получаем

= 273

, откуда

= 91

8-4.

На автостоянке имеется 50 парковочных мест, пронумерованных числами от

1 до 50. Сейчас все парковочные места пустые. На парковку приехали две машины:
чёрная и розовая. Сколько существует способов размещения этих машин на парковке
таким образом, что между ними будет оставаться хотя бы одно пустое парковочное
место?

Если чёрная и розовая машины меняются местами, то это считается новым спосо-

бом.

Ответ.

2352.

Решение I.

Аккуратно переберём случаи расположения чёрной машины. Если она

встала на место с номером 1 или 50, то розовая машина может встать на любое из 48

Пригласительный этап ВсОШ по математике

•

11-12 мая 2022 г.

мест (с номерами от 3 до 50 или от 1 до 48 соответственно). Если же чёрная машина
встала на место с номером от 2 до 49, то у розовой машины всего 47 вариантов разме-
щения (все, кроме парковочного места чёрной машины и двух соседних с ней мест).
Итого, всего вариантов

48 + 48

47 = 2352

Решение II.

Посчитаем количество вариантов как разность: из числа всех возмож-

ных вариантов расстановки двух машин отнимем «лишнее» — количеством вариантов,
в которых они соседствуют.

Всего вариантов у нас

: для каждого из 50 способов выбрать место для чёрной

машины есть по 49 способов выбрать место для розовой. Вариантов, где машины сто-
ят рядом всего

: для каждого из 49 способов выбрать два соседних парковочных

места есть по 2 способа поставить на них машины.

В итоге ответ

−

2 = 2352

8-5.

Вася записал в прямоугольнички последовательные натуральные числа

+ 1

+ 2

+ 3

. Под каждым прямоугольничком он написал в кружочек сумму

цифр соответствующего числа.

Сумма чисел в первом и втором кружочках оказалась равна 200, а сумма чисел

в третьем и четвёртом кружочках равна 105. Чему равна сумма чисел во втором и
третьем кружочках?

Ответ.

103.

Решение.

Если

между

двумя

последовательными

натуральными

числами

нет

пере-

хода

через

десяток,

сумма

цифр

большего

из

них

на

больше

суммы

цифр

меньшего,

поэтому

сумма

этих

двух

сумм

нечётна.

Так

как

число

200

чётно,

между

есть

переход

через

десяток,

оканчивается

на

Но

тогда

число

четвёртом

кружочке

на

больше

числа

во

втором,

потому

искомая

сумма

равна

105

−

103

8-6.

В детском саду 150 детей выстроились по кругу. Каждый смотрит на воспи-

тателя, стоящего в центре круга. Часть детей одета в синие куртки, а остальные — в
красные. Детей в синих куртках, левый сосед которых в красной куртке, 12 человек.
Сколько детей, левый сосед которых в куртке того же цвета?

Пригласительный этап ВсОШ по математике

•

11-12 мая 2022 г.

Ответ.

126.

Решение I.

Пусть каждый из детей скажет одинаковые ли у него с соседом слева

цвета курток. Нам нужно выяснить, сколько детей скажут «Одинаковые».

Найдём, сколько детей сказали «Разные». Заметим, что если идти по кругу, то цве-

та курток у таких детей чередуются. Действительно, если у кого-то красная куртка, а
у его соседа слева — синяя, то дальше стоят несколько (возможно, один) детей в синих
куртках, до тех пор, пока кто-то один из них не скажет, что у его соседа слева куртка
красная. Аналогично, если у кого-то синяя куртка, а у его соседа слева — красная.
Поэтому среди детей, которые сказали «Разные», поровну детей в красных и синих
куртках. По условию, детей в красных куртках 12. Значит, всего детей, сказавших
«Разные», в два раза больше, т.е. 24. Итого, ответ,

150

−

12 = 126

Решение II.

Мы знаем, что у 12 детей в синих куртках сосед слева одет в крас-

ную куртку. Это значит, что у в круге есть 12 пар рядом стоящих детей, правый из
которых — в красной куртке, а левый — в синей. Будем такие пары обозначать СК.
Что надо найти? Найти надо количество пар рядом стоящих детей, у которых куртки
одинакового цвета, т.е. пары КК и СС.

Главное наблюдение для этого решения следующее: суммарное количество пар СК

и СС равняется просто количеству детей в синих куртках, ведь у каждого из них есть
какой-то сосед справа. Если этот сосед в красной куртке, то мы посчитаем его в парах
СК, а если он в синей — то в парах СС. Итак, пусть всего детей в синих куртках

Пар СК у нас 12, значит, пар СC тогда

−

Аналогично вышенаписанному, суммарное количество пар СК и КК равно коли-

честву детей в красных куртках. Детей в красных куртках

150

−

, пар СК всего 12,

значит, пар КК всего

138

−

. Итого, пар СС и КК суммарно

(

−

12) + (138

−

) = 126

8-7.

ABCD

— квадрат. Найдите угол

, отмеченный на картинке. Дайте ответ в

градусах.

Пригласительный этап 2022

Математика 9 класс решения

1. Вариант 1.

На входе в парк развлечений продают детские и взрослые билеты. Один детский билет
стоит 600 рублей. Александр купил 2 детских и 3 взрослых билета, а Анна купила 3
детских и 2 взрослых билета. Известно, что Александр заплатил на 200 рублей больше,
чем Анна. Какую сумму в рублях заплатил за билеты Александр?

Ответ: 3600

Решение.

Пусть

– стоимость детского билета,

– стоимость взрослого билета. Вычислим разность

+ 2

−

= 200

рублей. Значит разница между стоимостью взрослого и

детского билета – 200 рублей. Тогда Александр заплатил за билеты

600 + 3

200 = 3600

рублей.

Вариант 2.

На входе в парк развлечений продают детские и взрослые билеты. Один детский билет
стоит 500 рублей. Александр купил 2 детских и 3 взрослых билета, а Анна купила 3
детских и 2 взрослых билета. Известно, что Александр заплатил на 100 рублей больше,
чем Анна. Какую сумму в рублях заплатил за билеты Александр?

Ответ: 2800

Вариант 3.

На входе в парк развлечений продают детские и взрослые билеты. Один детский билет
стоит 700 рублей. Александр купил 2 детских и 3 взрослых билета, а Анна купила 3
детских и 2 взрослых билета. Известно, что Александр заплатил на 100 рублей больше,
чем Анна. Какую сумму в рублях заплатил за билеты Александр?

Ответ: 3800

Вариант 4.

На входе в парк развлечений продают детские и взрослые билеты. Один детский билет
стоит 600 рублей. Александр купил 2 детских и 3 взрослых билета, а Анна купила 3
детских и 2 взрослых билета. Известно, что Александр заплатил на 100 рублей больше,
чем Анна. Какую сумму в рублях заплатил за билеты Александр?

Ответ: 3300

2. Вариант 1.

Дано множество

{

, ...,

1002

}

. Петя и Вася играют в игру. Петя называет чис-

ло

, а Вася выбирает из A подмножество, состоящее из

элементов. Вася выигрывает,

если в выбранном им подмножестве нет двух взаимно простых чисел, в противном слу-
чае – побеждает Петя. Какое наименьшее

должен назвать Петя, чтобы гарантированно

выиграть?

Пример.

673

блока лжецов, по одному в каждом блоке, чередуются с

673

блоками рыцарей,

причём в одном блоке

рыцарей, а в остальных – по два рыцаря.

Вариант 2.

На острове Невезения живут рыцари и лжецы. Лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят
правду. Однажды, за круглым столом собрались 2922 аборигена и каждый из них сделал
заявление: рядом со мной сидят рыцарь и лжец. Известно, что при этом три рыцаря ошиб-
лись (т.е. нечаянно солгали). Какое максимальное количество рыцарей могло находиться
за столом?

Ответ: 1949

Вариант 3.

На острове Невезения живут рыцари и лжецы. Лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят
правду. Однажды, за круглым столом собрались 3822 аборигена и каждый из них сделал
заявление: рядом со мной сидят рыцарь и лжец. Известно, что при этом три рыцаря ошиб-
лись (т.е. нечаянно солгали). Какое максимальное количество рыцарей могло находиться
за столом?

Ответ: 2549

Вариант 4.

На острове Невезения живут рыцари и лжецы. Лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят
правду. Однажды, за круглым столом собрались 4722 аборигена и каждый из них сделал
заявление: рядом со мной сидят рыцарь и лжец. Известно, что при этом три рыцаря ошиб-
лись (т.е. нечаянно солгали). Какое максимальное количество рыцарей могло находиться
за столом?

Ответ: 3149

4. Вариант 1.

Каждая из клеток поля

либо свободна, либо занята одной спрятанной миной. В двух

клетках, свободных от мин, указано количество мин, находящихся в соседних клетках (см.
рисунок).

Сколькими способами можно расположить мины в закрытых клетках? Соседними счита-
ются клетки, имеющие общую сторону или вершину.

Ответ: 72.

Решение.

В трёх клетках, соседних с клеткой 2, стоят две мины. Расположить их можно тремя
способами.

В случае а) у клетки 3 остаётся 6 свободных клеток-соседей, в которые необходимо поме-
стить ещё одну мину. Сделать это можно шестью способами.

В случаях б) и в) в шести оставшихся клетках-соседях нужно расположить две мины. Это
можно сделать

5 : 2 = 15

способами. Таким образом, мы можем добиться выполнения

условий для клеток 2 и 3

15 + 15 + 6 = 36

способами и при этом остаётся правя нижняя

угловая клетка, которая не граничит ни с 2, ни с 3, поэтому в неё можно поставить мину,
а можно не ставить: два варианта.

Итого, у нас получается

2 = 72

способа расстановки мин.

Вариант 2.

В каждой из клеток поля

либо свободно, либо спрятана одна мина. На двух клетках,

свободных от мин написано количество мин, находящихся в клетках, соседних с данной
(см. рисунок). Сколькими способами можно расположить мины в закрытых клетках? Со-
седними считаются клетки, имеющие общую сторону или вершину.

Ответ: 40.

Вариант 3.

В каждой из клеток поля

либо свободно, либо спрятана одна мина. На двух клетках,

Ответ: 36.

Вариант 4.

В каждой из клеток поля

либо свободно, либо спрятана одна мина. На двух клетках,

Ответ: 60.

5. Вариант 1.

На координатной плоскости нарисованы графики трёх приведенных квадратных трех-
членов, пересекающие ось ординат в точках

−

соответственно. У каждого из

трехчленов коэффициент при

– натуральное число, а больший корень – простое число.

Найдите сумму всех корней этих трехчленов.

Ответ: -9.

Решение.

Вариант 2.

−

соответственно. У каждого из

трехчленов коэффициент при

– натуральное число, а больший корень – простое число.

Найдите сумму всех корней этих трехчленов.

Ответ: -11.

Вариант 3.

−

соответственно. У каждого из

трехчленов коэффициент при

– натуральное число, а больший корень – простое число.

Найдите сумму всех корней этих трехчленов.

Ответ: -10.

Вариант 4.

−

соответственно. У каждого из

трехчленов коэффициент при

– натуральное число, а больший корень – простое число.

Найдите сумму всех корней этих трехчленов.

Ответ: -12.

6. Вариант 1.

На рисунке приведен пример того, как 3 луча разбивают плоскость на 3 части. На какое
максимальное количество частей могут разбить плоскость 11 лучей?

Ответ: 56.

Решение.

Если провести (

+ 1

)-ый по счёту луч так, чтобы он пересекал все

предыдущих, то

точек пересечения на нём разбивают его на

+ 1

часть. Отрезок, ближайший к вершине,

новых частей разбиения не добавляет, а каждый из остальных

участков (

−

отрезок

и 1 луч) делит какую-то из существующих частей разбиения на две новые, т.е. добавится

частей. (Соответственно, если луч пересечёт меньшее количество лучей, то добавится

меньшее количество новых частей разбиения).

Разбор заданий пригласительного этапа ВсОШ по математике для 10 класса, 2021/22 учебный год.

Максимальное количество баллов — 8.

Критерии оценивания: точное совпадение ответа — 1 балл за каждое задание.

1-0.

На доске написано число 111123445678, необходимо вычеркнуть несколько цифр (не все), чтобы полу-

чилось число кратное 5. Сколькими способами можно это сделать?

Ответ:

Решение.

Цифры 6, 7 и 8 необходимо вычеркнуть, а 5 оставить (иначе число не будет делиться на 5).

Каждую цифру перед пятёркой можно вычёркивать или не вычёркивать. На цифры 2 и 3 есть по два
варианта на каждую (вычеркнуть или нет), на 4 — 3 варианта (не вычёркивать ни одной, вычеркнуть одну
или вычеркнуть обе), а сделать что-то с единицами можно пятью вариантами (не вычеркнуть ни одной,
вычеркнуть одну, две, три или все четыре). Вычёркивания разных цифр — независимые события, поэтому
полученные числа надо перемножить:

2 = 60

1-1.

На доске написано число 11122345678, необходимо вычеркнуть несколько цифр (не все), чтобы полу-

чилось число кратное 5. Сколькими способами можно это сделать?

Ответ:

1-2.

На доске написано число 111133345678, необходимо вычеркнуть несколько цифр (не все), чтобы полу-

чилось число кратное 5. Сколькими способами можно это сделать?

Ответ:

1-3.

На доске написано число 11233345678, необходимо вычеркнуть несколько цифр (не все), чтобы полу-

чилось число кратное 5. Сколькими способами можно это сделать?

Ответ:

1-4.

На доске написано число 122344445678, необходимо вычеркнуть несколько цифр (не все), чтобы полу-

чилось число кратное 5. Сколькими способами можно это сделать?

Ответ:

1-5.

На доске написано число 2234445678, необходимо вычеркнуть несколько цифр (не все), чтобы получи-

лось число кратное 5. Сколькими способами можно это сделать?

Ответ:

Математика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2022-2023 год) - часть 4