Математика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2022-2023 год) - часть 5

2-0.

Число

n

таково, что

8

n

является 100-значным числом, а

81

n

—

102

-значным. Чему может быть

равна вторая с начала цифра

n

?

Ответ:

2

2-1.

Число

n

таково, что

7

n

является 50-значным числом, а

71

n

— 52-значным. Чему может быть равна

вторая с начала цифра

n

?

Ответ:

4

2-2.

Число

n

таково, что

6

n

является 70-значным числом, а

61

n

— 72-значным. Чему может быть равна

вторая с начала цифра

n

?

Ответ:

6

2-3.

Число

n

таково, что

5

n

является 90-значным числом, а

51

n

— 92-значным. Чему может быть равна

вторая с начала цифра

n

?

Ответ:

9

2-4.

Число

n

таково, что

8

n

является 65-значным числом, а

81

n

— 67-значным. Чему может быть равна

вторая с начала цифра

n

?

Ответ:

2

2-5.

Число

n

таково, что

6

n

является 75-значным числом, а

61

n

— 77-значным. Чему может быть равна

вторая с начала цифра

n

?

Ответ:

6

3-0.

В равнобедренном треугольнике основание в 2 раза больше диаметра вписанной окружности. Найдите

синус большего угла треугольника.

Ответ:

0,96

3-1.

В равнобедренном треугольнике основание в 2 раза больше диаметра вписанной окружности. Найдите

косинус большего угла треугольника.

Ответ:

0,28

3-2.

В равнобедренном треугольнике основание в 3 раза больше диаметра вписанной окружности. Найдите

косинус большего угла треугольника.

Ответ:

-0,28

3-3.

В равнобедренном треугольнике основание в 3 раза больше диаметра вписанной окружности. Найдите

синус большего угла треугольника.

Ответ:

0,96

3-4.

В равнобедренном треугольнике основание в 1,5 раза больше диаметра вписанной окружности. Най-

дите косинус большего угла треугольника.

Ответ:

5/13

3-5.

В равнобедренном треугольнике основание в 1,5 раза больше диаметра вписанной окружности. Най-

дите синус большего угла треугольника.

Ответ:

12/13

4-0.

Кися и Буся пришли на перемене в буфет, где продавались только коржики и плюшки, стоившие

целое число рублей. Кися купил 8 коржиков и 3 плюшки, потратив менее 200 рублей, а Буся — 4 коржика
и 5 плюшек, потратив больше 150 рублей. Назовите самую большую возможную цену одного коржика.

Ответ:

19

4-1.

Кися и Буся пришли на перемене в буфет, где продавались только коржики и плюшки, стоившие

целое число рублей. Кися купил 6 коржиков и 5 плюшек, потратив менее 400 рублей, а Буся — 2 коржика
и 3 плюшки, потратив больше 200 рублей. Назовите самую большую возможную цену одного коржика.

Ответ:

24

4-2.

Кися и Буся пришли на перемене в буфет, где продавались только коржики и плюшки, стоившие

целое число рублей. Кися купил 10 коржиков и 4 плюшки, потратив менее 250 рублей, а Буся — 3 коржика
и 5 плюшек, потратив больше 200 рублей. Назовите самую большую возможную цену одного коржика.

Ответ:

11

4-3.

Кися и Буся пришли на перемене в буфет, где продавались только коржики и плюшки, стоившие

целое число рублей. Кися купил 8 коржиков и 5 плюшек, потратив менее 300 рублей, а Буся — 3 коржика
и 4 плюшки, потратив больше 200 рублей. Назовите самую большую возможную цену одного коржика.

Ответ:

11

4-4.

Кися и Буся пришли на перемене в буфет, где продавались только коржики и плюшки, стоившие

целое число рублей. Кися купил 8 коржиков и 5 плюшек, потратив менее 250 рублей, а Буся — 2 коржика
и 3 плюшки, потратив больше 100 рублей. Назовите самую большую возможную цену одного коржика.

Ответ:

17

4-5.

Кися и Буся пришли на перемене в буфет, где продавались только коржики и плюшки, стоившие

целое число рублей. Кися купил 7 коржиков и 3 плюшки, потратив менее 250 рублей, а Буся — 3 коржика
и 4 плюшки, потратив больше 200 рублей. Назовите самую большую возможную цену одного коржика.

Ответ:

20

6-0.

Четырехугольник

ABCD

вписан в окружность, причем площади треугольников

ABC

и

ACD

рав-

ны. Три стороны четырехугольника равны 5, 8 и 10. Найдите все возможные значения длины четвертой
стороны.

Ответ:

4; 6,25; 16

Решение.

Так как четырехугольник вписан в окружность, его противолежащие углы

B

и

D

в сумме

дают

180

◦

. Значит, их синусы равны. А тогда из равенства площадей треугольников

ABC

и

ACD

следует,

что

AB

·

BC

=

AD

·

CD

, что дает три возможных варианта, так как значения трех известных сторон

расставляются тремя способами.

6-1.

Четырехугольник

ABCD

вписан в окружность, причем площади треугольников

ABC

и

ACD

равны.

Три стороны четырехугольника равны 6, 10 и 12. Найдите все возможные значения длины четвертой
стороны.

Ответ:

5; 7,2; 20

6-2.

Четырехугольник

ABCD

вписан в окружность, причем площади треугольников

ABC

и

ACD

рав-

ны. Три стороны четырехугольника равны 4, 6 и 8. Найдите все возможные значения длины четвертой
стороны.

Ответ:

3; 16/3; 12

6-3.

Четырехугольник

ABCD

вписан в окружность, причем площади треугольников

ABC

и

ACD

рав-

ны. Три стороны четырехугольника равны 5, 6 и 12. Найдите все возможные значения длины четвертой
стороны.

Ответ:

2,5; 10; 14,4

6-4.

Четырехугольник

ABCD

вписан в окружность, причем площади треугольников

ABC

и

ACD

рав-

ны. Три стороны четырехугольника равны 4, 8 и 10. Найдите все возможные значения длины четвертой
стороны.

Ответ:

3,2; 5; 20

6-5.

Четырехугольник

ABCD

вписан в окружность, причем площади треугольников

ABC

и

ACD

рав-

ны. Три стороны четырехугольника равны 4, 5 и 10. Найдите все возможные значения длины четвертой
стороны.

Ответ:

2; 8; 12,5

7-0.

Число

n

имеет ровно шесть делителей (включая 1 и себя). Их расположили в порядке возрастания.

Оказалось, что третий делитель в семь раз больше второго, а четвёртый на 10 больше третьего. Чему
равно

n

?

Ответ:

2891

7-1.

Число

n

имеет ровно шесть делителей (включая 1 и себя). Их расположили в порядке возрастания.

Оказалось, что третий делитель в пять раз больше второго, а четвёртый на 12 больше третьего. Чему
равно

n

?

Ответ:

925

7-2.

Число

n

имеет ровно шесть делителей (включая 1 и себя). Их расположили в порядке возрастания.

Оказалось, что третий делитель в семь раз больше второго, а четвёртый на 12 больше третьего. Чему
равно

n

?

Ответ:

2989

7-3.

Число

n

имеет ровно шесть делителей (включая 1 и себя). Их расположили в порядке возрастания.

Оказалось, что третий делитель в пять раз больше второго, а четвёртый на 16 больше третьего. Чему
равно

n

?

Ответ:

1025

7-4.

Число

n

имеет ровно шесть делителей (включая 1 и себя). Их расположили в порядке возрастания.

Оказалось, что третий делитель в 11 раз больше второго, а четвёртый на 10 больше третьего. Чему
равно

n

?

Ответ:

15851

7-5.

Число

n

имеет ровно шесть делителей (включая 1 и себя). Их расположили в порядке возрастания.

Оказалось, что третий делитель в 11 раз больше второго, а четвёртый на 6 больше третьего. Чему равно

n

?

Ответ:

15367

8-0.

Однажды царь Шахрияр сказал Шахерезаде: «Вот тебе бумажный круг, на границе которого 1001

точка. Один раз в каждую ночь ты должна резать имеющуюся у тебя фигуру по прямой, содержащей лю-
бые две отмеченные точки, оставляя себе лишь один фрагмент, а второй выбрасывай. И ты следи, чтобы
у тебя оставался не многоугольник, но такая фигура, из которой многоугольник, разрезая дальше, мож-
но получить». В какую по счёту ночь Шахерезада при самых искусных своих действиях уже не сможет
выполнить условие Шахрияра?

Ответ:

1999

Решение.

Сперва опишем стратегию, как будет действовать Шахерезада, чтобы выполнялись условия

Шахрияра в течение 1998 ночей. Сначала она будет резать по линиям, соединяющим соседние вершины,
и отбрасывать меньшую часть (назовём такую часть сегментом). Так она будет резать 1000 ночей. После
этого останется 1001-угольник с приставленным к одной из сторон сегментом. После этого она будет отрезать
треугольники. После каждого такого отрезания количество углов уменьшается на 1 (и по-прежнему к одной
из сторон приложен сектор), и ещё через 998 ходов останется треугольник с сектором, после чего резать по
правилам будет нечего.

Аналогично доказывается, что стратегии на большее количество шагов у Шахерезады нет. За каждый

ход Шахерезада выбрасывает либо сектор, либо вершину (возможно, и то, и другое). В конце концов должен
остаться сектор и хотя бы три вершины, а значит, более 1998 раз разрезать нельзя.

8-1.

Однажды царь Шахрияр сказал Шахерезаде: «Вот тебе бумажный круг, на границе которого 1002

точки. Один раз в каждую ночь ты должна резать имеющуюся у тебя фигуру по прямой, содержащей лю-
бые две отмеченные точки, оставляя себе лишь один фрагмент, а второй выбрасывай. И ты следи, чтобы
у тебя оставался не многоугольник, но такая фигура, из которой многоугольник, разрезая дальше, мож-
но получить». В какую по счёту ночь Шахерезада при самых искусных своих действиях уже не сможет
выполнить условие Шахрияра?

Ответ:

2001

8-2.

Однажды царь Шахрияр сказал Шахерезаде: «Вот тебе бумажный круг, на границе которого 501

точка. Один раз в каждую ночь ты должна резать имеющуюся у тебя фигуру по прямой, содержащей
любые две отмеченные точки, оставляя себе лишь один фрагмент, а второй выбрасывай. И ты следи,
чтобы у тебя оставался не многоугольник, но такая фигура, из которой многоугольник, разрезая даль-
ше, можно получить». В какую по счёту ночь Шахерезада при самых искусных своих действиях уже не
сможет выполнить условие Шахрияра?

Ответ:

999

8-3.

Однажды царь Шахрияр сказал Шахерезаде: «Вот тебе бумажный круг, на границе которого 502

точки. Один раз в каждую ночь ты должна резать имеющуюся у тебя фигуру по прямой, содержащей
любые две отмеченные точки, оставляя себе лишь один фрагмент, а второй выбрасывай. И ты следи,
чтобы у тебя оставался не многоугольник, но такая фигура, из которой многоугольник, разрезая даль-
ше, можно получить». В какую по счёту ночь Шахерезада при самых искусных своих действиях уже не
сможет выполнить условие Шахрияра?

Ответ:

1001

8-4.

Однажды царь Шахрияр сказал Шахерезаде: «Вот тебе бумажный круг, на границе которого 1000

точек. Один раз в каждую ночь ты должна резать имеющуюся у тебя фигуру по прямой, содержащей лю-
бые две отмеченные точки, оставляя себе лишь один фрагмент, а второй выбрасывай. И ты следи, чтобы
у тебя оставался не многоугольник, но такая фигура, из которой многоугольник, разрезая дальше, мож-
но получить». В какую по счёту ночь Шахерезада при самых искусных своих действиях уже не сможет
выполнить условие Шахрияра?

Ответ:

1997

8-5.

Однажды царь Шахрияр сказал Шахерезаде: «Вот тебе бумажный круг, на границе которого 965

точек. Один раз в каждую ночь ты должна резать имеющуюся у тебя фигуру по прямой, содержащей
любые две отмеченные точки, оставляя себе лишь один фрагмент, а второй выбрасывай. И ты следи,
чтобы у тебя оставался не многоугольник, но такая фигура, из которой многоугольник, разрезая даль-
ше, можно получить». В какую по счёту ночь Шахерезада при самых искусных своих действиях уже не
сможет выполнить условие Шахрияра?

Ответ:

1927

Школьный этап Всероссийской олимпиады

школьников по математике

Решения задач

2022-2023 учебный год

В 4 и 5 классах олимпиада длилась 60 минут, в 6–8 классах — 90 минут, в 9–11 классах —
120 минут.

Для каждого номера задания участнику случайным образом выдавалась одна из версий
задачи, подготовленных составителями. Таким образом у каждого школьника был свой
вариант олимпиады. В разделе «Решения» для каждого номера приведена только одна
версия задачи с решением, а в разделе «Ответы» приведены все версии задач с ответами.

Содержание

Решения

2

4 класс

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

5 класс

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

6 класс

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

7 класс

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

8 класс

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

9 класс

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

10 класс

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

11 класс

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Ответы

47

4 класс

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

5 класс

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

6 класс

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

7 класс

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

8 класс

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

9 класс

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

10 класс

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

11 класс

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

1

Решения

4 класс

Задача 4.1.

Круглые гири весят

200

граммов, квадратные —

300

граммов, а треугольные —

150

граммов.

12

гирь положили на чашечные весы, как показано на рисунке. Какая чаша

тяжелее и на сколько граммов?

Ответ:

правая тяжелее на

250

граммов.

Решение.

Вес левой чаши в граммах равен

1 ⋅ 300 + 2 ⋅ 150 + 3 ⋅ 200 = 1200.

Вес правой чаши в граммах равен

1 ⋅ 150 + 2 ⋅ 200 + 3 ⋅ 300 = 1450.

Таким образом, правая чаша весов тяжелее левой на 250 граммов.

Задача 4.2.

В 4«А» классе у каждого ребёнка есть не менее

11

одноклассников и не менее

13

одноклассниц. Какое наименьшее количество детей может учиться в этом классе?

Ответ:

26

.

Решение.

Нетрудно проверить, что класс, состоящий из

12

мальчиков и

14

девочек, удо-

влетворяет условию задачи. Теперь докажем, что меньше быть не может.

Ясно, что в классе есть и мальчики, и девочки. У каждого мальчика в классе не менее

11

одноклассников, поэтому всего мальчиков хотя бы

12

. У каждой девочки в классе не менее

13

одноклассниц, поэтому всего девочек хотя бы

14

. Таким образом, в классе учится хотя

бы

12 + 14 = 26

детей.

2

Задача 4.3.

У Саши было

47

палочек. Использовав их все, он сложил несколько букв «Б»

и «В», изображённых на рисунке. Какое наибольшее количество букв «Б» могло полу-
читься у Саши?

Ответ:

8

.

Решение.

Чтобы сложить букву «Б», нужно

4

палочки, а чтобы сложить букву «В», нужно

5

палочек.

• Хотя бы 12 букв «Б» Саша сложить не мог, так как для этого понадобилось бы не

менее

48

палочек.

• Если бы Саша сложил

11

букв «Б», то у него осталось бы

47 − 11 ⋅ 4 = 3

палочки.

А этого бы не хватило даже на одну букву «В».

• Если бы Саша сложил

10

букв «Б», то у него осталось бы

47 − 10 ⋅ 4 = 7

палочек.

Можно было бы выложить одну букву «В», но остались бы лишние палочки.

• Если бы Саша сложил

9

букв «Б», то у него осталось бы

47 − 9 ⋅ 4 = 11

палочек.

Можно было бы выложить две буквы «В», но осталась бы лишняя палочка.

• Если бы Саша сложил

8

букв «Б», то у него осталось бы

47 − 8 ⋅ 4 = 15

палочек. Этого

как раз хватает на

3

буквы «В».

Задача 4.4.

Коты Леопольд, Гарфилд, Василий, Матильда и Том съели на кухне две кот-

леты, две сосиски и одну рыбу. Каждый из них съел что-то одно. Известно, что:

• Леопольд, Гарфилд и Том съели

3

разных блюда;

• Василий не ел котлету, а Леопольд не ел сосиску;

• Гарфилд и Матильда съели одно и то же.

Кому что досталось?

Ответ:

Гарфилду и Матильде — котлеты, Василию и Тому — сосиски, Леопольду — ры-

ба.

Решение.

Гарфилд и Матильда съели одно и то же, значит, они съели либо по сосиске,

либо по котлете.

3

Случай 1.

Гарфилд и Матильда съели по сосиске.

По условию Василий не ел котлету, также он не ел сосиску (так как все сосиски съели
Гарфилд и Матильда). Значит, Василий съел единственную рыбу.

Леопольду и Тому остаются котлеты, но это противоречит условию о том, что Леопольд,
Гарфилд и Том съели

3

разных блюда.

Случай 2.

Гарфилд и Матильда съели по котлете.

По условию Леопольд не ел сосиску, также он не ел котлету (так как все котлеты съели
Гарфилд и Матильда). Значит, Леопольд съел единственную рыбу.

Василию и Тому остаются сосиски. Все условия задачи при этом выполняются.

Задача 4.5.

У мамы с папой есть двое детей: Коля и Таня. Папа старше мамы на

4

года.

Коля тоже старше Тани на

4

года и вдвое младше папы. Сколько лет каждому из них, если

суммарный возраст всех членов семьи составляет 130 лет?

Ответ:

Тане

19

лет, Коле

23

года, маме

42

года, папе

46

лет.

Решение.

Мысленно увеличим возраст мамы и Тани на

4

года. Тогда возраст у двух чле-

нов семьи будет равен возрасту папы, ещё у двух — половинке возраста папы. Тогда сум-
марный возраст всех членов семьи равен

130 + 4 + 4 = 138

лет, и он должен быть равен

утроенному возрасту папы. Следовательно, папе должно быть

138 ∶ 3 = 46

лет. Отсюда

легко понять, что маме

46 − 4 = 42

года, Коле

46 ∶ 2 = 23

года, а Тане

23 − 4 = 19

лет.

Задача 4.6.

Женя взял доску

3 × 3

и на каждую клетку поставил столбик из синих и крас-

ных кубиков. Потом он зарисовал схему получившейся расстановки: подписал количе-
ство кубиков обоих цветов в каждом столбике (порядок кубиков неизвестен).

Какое наибольшее количество синих кубиков может увидеть Женя, если посмотрит на
конструкцию спереди? (Например, если перед столбиком из

8

кубиков стоит столбик из

5

, то будет видно все

5

кубиков ближнего столбика и только

3

верхних кубика дальнего

столбика.)

4

Ответ:

12

.

Решение.

Поймём, какое наибольшее количество синих кубиков Женя может увидеть в

каждом из трёх рядов: левом, среднем и правом.

Левый ряд.

Первый столбик состоит из

5

кубиков (

2

красных и

3

синих), поэтому он пол-

ностью загораживает второй столбик, а также

5

из

7

кубиков последнего столбика.

Таким образом, Женя видит все кубики первого столбика (среди них

3

синих), а также

2

кубика из последнего столбика (они оба могут быть синими). То есть в этом ряду он

увидит максимум

3 + 2 = 5

синих кубиков.

Средний ряд.

Первый столбик состоит из

4

кубиков (

2

красных и

2

синих), поэтому он

полностью загораживает последний столбик, а также

4

из

5

кубиков второго столбика.

Таким образом, Женя видит все кубики первого столбика (среди них

2

синих), а также

1

кубик из второго столбика (он может быть синим). То есть в этом ряду он увидит макси-
мум

2 + 1 = 3

синих кубика.

Правый ряд.

Первый столбик состоит из

3

кубиков (

2

красных и

1

синий), поэтому он

загораживает

3

из

6

кубиков второго столбика. При этом второй столбик полностью заго-

раживает последний столбик.

Таким образом, Женя видит все кубики первого столбика (среди них

1

синий), а также

3

кубика из второго столбика (все три могут быть синими). То есть в этом ряду он увидит
максимум

1 + 3 = 4

синих кубика.

Суммарно Женя увидит максимум

5 + 3 + 4 = 12

синих кубиков.

Задача 4.7.

На столе лежит

4

стопки монет. В первой стопке

9

монет, во второй —

7

, в

третьей —

5

, в четвёртой —

10

. За один ход разрешается добавить по одной монете к трём

разным стопкам. За какое наименьшее количество ходов можно добиться того, чтобы во
всех стопках стало поровну монет?

Ответ:

11

.

5

Решение.

Предположим, было сделано

𝑁

ходов, после которых во всех стопках стало по-

ровну монет.

Немного изменим правила. Пусть первоначально в стопках лежало не

9, 7, 5

и

10

монет, а

𝑁 + 9, 𝑁 + 7, 𝑁 + 5

и

𝑁 + 10

соответственно; а ходы выполним следующим образом: вместо

добавления по одной монете в три стопки, будем забирать одну монету из стопки (той, в
которую во время оригинального хода мы не добавляли монету). Заметим, что итоговый
результат от этого не изменится! (Фактически, вместо добавления монет в три стопки мы
добавляем их во все четыре, а потом одну забираем.)

В рамках новых правил ответить на вопрос гораздо проще. За один ход мы забираем одну
монету из любой стопки, и наша цель — как можно быстрее сделать так, чтобы монет во
всех стопках стало поровну. Легко понять, что для этого надо везде оставлять по

𝑁 + 5

монет. Для этого из первой стопки нужно забрать

4

монеты, из второй —

2

, из третьей —

0

, из четвёртой —

5

. Итого надо совершить

4 + 2 + 0 + 5 = 11

ходов.

Задача 4.8.

У Васи есть шесть одинаковых игральных кубиков, на гранях каждого из ко-

торых записаны числа от

1

до

6

(каждое — по одному разу). Вася бросал все шесть кубиков

шесть раз подряд. Ни на одном из кубиков не выпадало дважды одно и то же число.

Известно, что при первом броске сумма чисел на верхних гранях равнялась

21

, а при сле-

дующих четырёх бросках —

19

,

20

,

18

и

25

. Какая сумма получилась при шестом броске?

Ответ:

23

.

Решение.

Поскольку за шесть бросков ни на одном из кубиков не выпадало дважды одно

и то же число, то на каждом кубике выпали по одному разу все числа от 1 до 6.

Посчитаем общую сумму всех чисел, выпавших на всех кубиках за шесть бросков. Для
одного кубика эта сумма равняется

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

, а для шести —

6 ⋅ 21 = 126

.

Осталось посчитать сумму чисел на шестом броске:

126 − 21 − 19 − 20 − 18 − 25 = 23

.

Замечание.

Одна из возможных конфигураций бросков кубиков изображена ниже (пер-

вое число в сумме — это число на первом кубике, второе число — на втором, …, шестое
число — на шестом).

5 класс

Задача 5.1.

На некоторые границы клеток доски

10 × 10

положили спички, а в одну из

клеток — фишку, как показано на рисунке. За один ход фишку можно передвигать в со-
седнюю по стороне клетку, перепрыгивать через спичку запрещено.

Клетка называется

достижимой

, если в неё можно попасть за несколько ходов из клетки

𝑋

, убрав с доски не более одной спички.

Среди

6

клеток с кружочками выберите все, являющиеся достижимыми.

𝐴

𝐵

𝐶

𝐷

𝐸

𝐹

Ответ:

𝐵

,

𝐶

,

𝐸

,

𝐹

.

Решение.

Закрасим зелёным цветом все клетки, куда можно добраться из клетки

𝑋

,

не

уби-

рая с доски спичек.

7

Теперь нетрудно понять, что клетки

𝐵

,

𝐶

,

𝐸

,

𝐹

являются достижимыми, а клетки

𝐴

и

𝐷

—

нет (оранжевым покрашены те клетки, куда можно добраться либо из клетки

𝐴

, либо из

клетки

𝐷

, не убирая с доски спичек).

Задача 5.2.

На уроке физкультуры в шеренгу встали

25

учеников 5«Б» класса. Каждый

из ребят либо отличник, который всегда говорит правду, либо хулиган, который всегда
врёт.

Отличник Влад встал на

13

-е место. Все, кроме Влада, заявили: «Между мной и Владом

ровно

6

хулиганов.» Сколько всего хулиганов в шеренге?

Ответ:

12

.

Решение.

Заметим, что ученики на местах 7—12 — хулиганы, так как между каждым из

них и Владом меньше

6

человек. Значит, ученик с номером 6 — отличник. То же самое

можно сказать про ученика на 5-м месте, затем про 4-е, про 3-е, про 2-е и про 1-е.

Получается, что первые шесть мест занимают отличники, следующие шесть мест зани-
мают хулиганы, а уже на месте 13 стоит Влад. Аналогичное рассуждение можно провести
для учеников на местах 14—25. Таким образом, в шеренге ровно

6 + 6 = 12

хулиганов.

Задача 5.3.

Петя и Вася играли в солдатиков. Петя выстроил своих рыцарей «прямо-

угольником» — сколько-то колонн и сколько-то рядов. Когда все рыцари из первого и
второго ряда ушли в разведку, то рыцарей осталось

24

. Затем Васины лучники обрати-

ли в бегство всех рыцарей, которые остались в первой и второй колоннах. После этого
осталось

18

рыцарей. Сколько рыцарей было у Пети изначально?

Ответ:

40

.

8

Решение.

Лучники обратили в бегство

24 − 18 = 6

рыцарей. Это две колонны. Значит, на

тот момент в каждой колонне было по

3

рыцаря. То есть

24

рыцаря стояли в

8

колоннах,

по

3

рыцаря в каждой. Получается, что в разведку ушли два ряда, по

8

рыцарей в каждом,

то есть всего

16

рыцарей (рис.

1

).

Рис. 1: К решению задачи

5.3

. Синим отмечены ушедшие в разведку, а красным — обра-

щенные в бегство.

Итого у Пети изначально было

24 + 16 = 40

рыцарей.

Задача 5.4.

Маша нарисовала в тетради двух человечков. Площадь каждой клеточки рав-

на

1

.

Площадь какого из человечков больше?

Чему равна разница? Если площади одинаковы, в ответ запишите «0».

Ответ:

площадь правого человечка на

2

больше, чем площадь левого.

Решение.

Посчитаем площади человечков.

9

Как видно на рисунке справа, первый человечек состоит
из

•

8

целых клеточек,

•

6

маленьких треугольников (каждый из которых ра-

вен половине клеточки),

•

2

больших треугольников (каждый из которых ра-

вен половине прямоугольника

1 × 2

).

Каждые два маленьких треугольника «дают в сумме од-
ну целую клеточку», поэтому их суммарная площадь рав-
на

1

. Каждые два больших треугольника «дают в сумме

один прямоугольник

1 × 2

», поэтому их суммарная пло-

щадь равна

2

.

Тогда площадь первого человечка равна

8 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 = 13.

Как видно на рисунке справа, второй человечек состоит из

•

4

целых клеточек,

•

6

маленьких треугольников (каждый из которых ра-

вен половине клеточки),

•

8

больших треугольников (каждый из которых ра-

вен половине прямоугольника

1 × 2

).

Тогда площадь второго человечка равна

4 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 2 = 15.

Итак, площадь второго (правого) человечка на

2

больше, чем площадь первого (левого).

Задача 5.5.

У Дениса есть одинаковые десятирублёвые монеты, одинаковые двухрублё-

вые и одинаковые однорублёвые монеты (монет каждого вида больше 20). Сколькими
способами Денис сможет заплатить без сдачи за пирожок стоимостью

16

рублей? Не обя-

зательно использовать монеты каждого вида.

Ответ:

13

.

Решение.

Если Денис будет использовать десятирублёвую монету, то ему останется на-

брать

6

рублей двухрублёвыми и однорублёвыми монетами. Есть

4

способа это сделать:

использовав от

0

до

3

двухрублёвых монет.

10

Если Денис не будет использовать десятирублёвую монету, то ему потребуется набрать

16

рублей двухрублёвыми и однорублёвыми монетами. Есть

9

способов это сделать, ис-

пользовав от

0

до

8

двухрублёвых монет.

Итого способов

4 + 9 = 13

.

Задача 5.6.

Есть

4

абсолютно одинаковых кубика, у каждого из которых на одной грани

отмечены

6

точек, на другой —

5

, …, на оставшейся —

1

. Известно, что на любых двух

противоположных гранях кубика суммарно

7

точек.

Из этих

4

кубиков склеили фигуру, изображённую на рисунке. Известно, что на каждой

паре склеенных граней отмечено одинаковое количество точек. Сколько точек на гранях

𝐴

,

𝐵

,

𝐶

?

Ответ:

𝐴 = 2

,

𝐵 = 2

,

𝐶 = 6

.

Решение.

Сначала воспользуемся условием о том, что сумма количеств точек на паре про-

тивоположных граней кубика равна

7

, чтобы понять, как выглядит кубик, три грани ко-

торого нам известны. Его скрытые грани изображены на рис.

2

(с точностью до располо-

жения точек на грани с

2

точками, которое из условия однозначно определить нельзя —

но в решении данной задачи оно роли и не играет).

Мы знаем, что остальные кубики точно такие же. У каждого из кубиков с гранями

𝐴

и

𝐶

одну грань мы видим, а ещё одну грань знаем, так как она склеена с известной гранью
первого кубика. По расположению двух соседних граней можно однозначно установить
ориентацию кубика в пространстве. После этого станут известны две грани кубика

𝐵

, ко-

торыми он склеен с кубиками

𝐴

и

𝐶

, и мы аналогично установим его ориентацию. Куби-

ки в раздвинутом виде изображены на рис.

3

(опять-таки с точностью до расположения

точек на гранях с двумя точками).

Задача 5.7.

В классе

31

ученик. У трёх из них ровно по три друга, у следующих трёх —

по шесть, у следующих трёх — по девять, …, у следующих трёх — по тридцать. Сколько
друзей у

31

-го ученика? (Дружба между людьми взаимна.)

11

Рис. 2: к решению задачи

5.6

Рис. 3: к решению задачи

5.6

Ответ:

15

.

Решение.

Пусть у

31

-го ученика

𝑥

друзей.

Рассмотрим трёх людей, каждый из которых имеет по

30

друзей в классе. Всего в классе

31

ученик, поэтому они дружат со всеми одноклассниками.

Давайте выгоним их из класса. Тогда у каждого человека количество друзей уменьшится
на

3

:

• у первой тройки станет по

0

друзей;

• у второй тройки станет по

3

друга;

• …

• у девятой тройки станет по

24

друга;

• у последнего ученика станет

𝑥 − 3

друга.

Троих учеников, у которых нет друзей, тоже выгоним из класса. Тогда конфигурация при-
мет следующий вид.

В классе

25

учеников. У трёх из них ровно по три друга, у следующих трёх — по шесть, у

следующих трёх — по девять, …, у следующих трёх — по

24

. У последнего ученика

𝑥 − 3

12

друга.

Повторим аналогичное действие ещё

4

раза. Тогда в классе останется только последний

ученик, и у него будет

𝑥 − 15

друзей. Так как в этот момент в классе больше не осталось

людей, то

𝑥 = 15

.

Задача 5.8.

В многодетной семье Ивановых нет близнецов. Репортёр приехал к Ивано-

вым, чтобы взять у них интервью.

Во время интервью каждый из детей сказал: «У меня есть старший брат». Немного по-
думав, репортёр очень удивился. Но отец семейства объяснил, что некоторые дети по-
шутили, и лишь шестеро сказали правду. Сколько детей может быть в этой семье, если
известно, что мальчиков у Ивановых на

4

больше, чем девочек? Укажите все возможные

варианты.

Ответ:

8

,

10

.

Решение.

Пусть в семье Ивановых

𝑥

мальчиков. Тогда самый старший мальчик пошутил,

а все остальные

𝑥 − 1

мальчиков сказали правду.

Если

𝑥 = 6

, то девочек в семье

2

. Такая ситуация возможна, если самый старший и самый

младший ребёнок в семье — девочки. Детей в семье

6 + 2 = 8

.

Если

𝑥 = 7

, то девочек в семье

3

. Такая ситуация возможна, если трое самых старших

детей в семье — девочки. Детей в семье

7 + 3 = 10

.

6 класс

Задача 6.1.

Клеточки пирамиды заполнили по следующему правилу: над каждыми дву-

мя соседними числами записали их сумму. Некоторые числа стёрли, и получилась кон-
струкция, изображённая на рисунке. Какое число было в самой верхней клеточке?

13

Ответ:

33

.

Решение.

Покажем, как можно последовательно восстановить расстановку всех чисел.

Задача 6.2.

Петя и Вася решили получить как можно больше пятёрок за 1 и 2 сентября.

• 1 сентября они суммарно получили

10

пятёрок, причём Петя получил пятёрок боль-

ше, чем Вася;

• 2 сентября Вася получил

3

пятёрки, а Петя не получил ни одной;

• по итогам этих двух дней Вася получил больше пятёрок, чем Петя.

Кто сколько пятёрок получил за эти два дня?

Ответ:

Петя получил

6

пятёрок, а Вася —

7

.

Решение.

Первого сентября Петя получил больше пятёрок, чем Вася, поэтому Петя полу-

чил хотя бы

6

пятёрок, а Вася получил не более

4

пятёрок.

Если к ним прибавить пятёрки второго дня, то получим, что Петя получил хотя бы

6

пя-

тёрок, а Вася получил не более

7

пятёрок.

Так как Вася получил за два дня больше пятёрок, то он получил ровно

7

пятёрок, а Петя —

ровно

6

пятёрок.

14

Задача 6.3.

Фишку поставили на некоторую клетку доски

5 × 5

. Передвигая фишку на со-

седнюю по стороне клетку, обошли всю доску за исключением одной клетки и вернулись
на стартовую позицию. В каждой клетке, кроме начальной, фишка побывала не более
одного раза.

На рисунке изображены стрелочки, показывающие, куда передвигали фишку из некото-
рых клеток.

Выберите на картинке клетку, в которую фишка

не

заходила.

Ответ:

𝐶1

.

Решение.

Раз фишка вернулась в исходную клетку, будем считать её путь циклическим.

Заметим, что никакая часть пути фишки не может рассекать доску на две области, в каж-
дой из которых более

1

клетки, так как после прохождения этой части пути фишка долж-

на перейти в одну из областей — а во вторую зайти уже не сможет, что противоречит
условию.

Сначала установим, куда фишка могла пойти из клетки

𝐵2

:

Рис. 4: к решению задачи

6.3

Путь, удовлетворяющий условию и проходящий по всем остальным клеткам, приведен
на рис.

4

. Он строится единственным образом.

Задача 6.4.

На клавиатуре компьютера не работает клавиша с цифрой

1

. Например, если

попытаться напечатать число

1231234

, то пропечатается только число

23234

.

Саша попытался напечатать 8-значное число, но пропечаталось только

202020

. Сколько

существует 8-значных чисел, подходящих под это условие?

Ответ:

28

.

Решение.

Ясно, что не пропечаталось

2

единицы. Есть

7

позиций, где они могут распола-

гаться (они могут быть как в одной позиции, так и в разных):

•

X

202020

;

•

2

X

02020

;

•

20

X

2020

;

•

202

X

020

;

•

2020

X

20

;

•

20202

X

0

;

•

202020

X

.

Случай

1

.

Если первую единицу поставить на первую позицию, то для второй единицы

останется

7

вариантов размещения (в любую из вышеперечисленных позиций).

16

Случай

2

.

Если первую единицу поставить на вторую позицию, то для второй единицы

останется

6

вариантов размещения (в любую из вышеперечисленных позиций, кроме

первой, так как этот вариант мы уже посчитали ранее).

Случай

3

.

Если первую единицу поставить на третью позицию, то для второй единицы

останется

5

вариантов размещения (в любую из вышеперечисленных позиций, кроме

первой и второй, так как эти варианты мы уже посчитали ранее).

…

Случай

7

.

Если первую единицу поставить на седьмую позицию, то для второй единицы

останется

1

вариант размещения (только на седьмую позицию; все остальные варианты

были посчитаны ранее).

Итого вариантов ровно

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28

.

Задача 6.5.

На прямой отмечены

5

точек

𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆, 𝑇

, именно в таком порядке. Известно,

что сумма расстояний от

𝑃

до остальных

4

точек равна

67

, а сумма расстояний от

𝑄

до

остальных

4

точек равна

34

. Найдите длину отрезка

𝑃𝑄

.

Ответ:

11

.

Решение.

Из условия задачи известно, что

𝑃𝑄 + 𝑃𝑅 + 𝑃𝑆 + 𝑃𝑇 = 67

и

𝑄𝑃 + 𝑄𝑅 + 𝑄𝑆 + 𝑄𝑇 = 34.

Найдём разность этих величин:

33 = 67 − 34 = (𝑃𝑄 + 𝑃𝑅 + 𝑃𝑆 + 𝑃𝑇) − (𝑄𝑃 + 𝑄𝑅 + 𝑄𝑆 + 𝑄𝑇) =

= (𝑃𝑄 − 𝑄𝑃) + (𝑃𝑅 − 𝑄𝑅) + (𝑃𝑆 − 𝑄𝑆) + (𝑃𝑇 − 𝑄𝑇) = 0 + 𝑃𝑄 + 𝑃𝑄 + 𝑃𝑄 = 3 ⋅ 𝑃𝑄,

откуда

𝑃𝑄 = 11

.

Задача 6.6.

Женя покрасил три грани белого кубика

6 × 6 × 6

в красный цвет. Затем

он распилил его на

216

одинаковых маленьких кубиков

1 × 1 × 1

. Сколько у него могло

получиться маленьких кубиков без красных граней? Укажите все возможные варианты.

Ответ:

120

,

125

.

Решение.

Есть принципиально два случая раскраски граней большого кубика:

• три раскрашенные грани образуют «букву П»;

• три раскрашенные грани имеют общую вершину.

17

В первом случае, если «срезать» раскрашенные кубики

1×1×1

, останется параллелепипед

4 × 5 × 6

. Тогда маленьких кубиков без красных граней будет

4 ⋅ 5 ⋅ 6 = 120

.

Во втором случае, если «срезать» раскрашенные кубики

1×1×1

, останется кубик

5×5×5

.

Тогда маленьких кубиков без красных граней будет

5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125

.

Задача 6.7.

Амурский и бенгальский тигры начали бегать по кругу в 12:00, каждый со

своей постоянной скоростью. К 14:00 амурский тигр пробежал на

6

кругов больше бен-

гальского. Затем амурский тигр увеличил свою скорость на

10

км/ч, и к 15:00 он суммар-

но пробежал уже на

17

кругов больше бенгальского. Сколько метров составляет длина

круга?

Ответ:

1250

.

Решение.

 

За

 

первые

 

2

 

часа

 

амурский

 

тигр

 

пробежал

 

больше

 

на

 

6

 

кругов,

 

т.е.

 

за

 

1

 

час

 

он

 

пробегал

 

больше

 

на

 

3

 

круга.

 

Если

 

бы

 

он

 

свою

 

скорость

 

не

 

увеличивал,

 

за

 

первые

 

3

 

часа

 

он

 

пробежал

 

бы

 

на

 

9

 

кругов

 

больше.

 

Но

 

прибавка

 

скорости

 

повлияла

 

на

 

то,

 

что

 

за

 

третий

 

час

 

он

 

пробежал

 

дополнительные

 

17 − 9

 

=

 

8

 

кругов.

 

Поскольку

 

он

 

увеличил

 

свою

 

скорость

 

на

 

10

 

км/ч,

 

то

 

добавленное

 

расстояние

 

составит

 

10

 

км/ч

 

⋅

 

1

 

ч

 

=

 

10

 

км,

 

а

 

длина

 

одного

 

круга

 

тогд

а 10/8

  

км,

 

или

 

1250

 

метров.

Задача 6.8.

В 6 «A» классе учатся несколько мальчиков и девочек. Известно, что в 6 «A»

• девочка Таня дружит с

12

мальчиками;

• девочка Даша дружит с

12

мальчиками;

• девочка Катя дружит с

13

мальчиками;

• у любой девочки найдётся друг среди любых трёх мальчиков.

Сколько мальчиков может быть в 6 «A» классе? Укажите все возможные варианты.

Ответ:

13

,

14

.

Решение.

Из условия следует, что мальчиков в классе хотя бы

13

. Если бы их было хотя

бы

15

, то среди них можно было бы выбрать троих, которые не дружат с Таней. Но тогда у

Тани среди них не нашлось бы друга, противоречие. Значит, всего мальчиков

13

или

14

.

Приведём соответствующие примеры.

18

1) Пусть в классе всего

3

девочки (Таня, Даша, Катя) и

13

мальчиков. Среди них есть маль-

чик Андрей, который не дружит только с Таней, а также мальчик Боря, который не дру-
жит только с Дашей (все остальные пары людей в классе дружат). Легко видеть, что все
условия задачи выполняются.

2) Пусть в классе всего

3

девочки (Таня, Даша, Катя) и

14

мальчиков. Среди них есть маль-

чики Влад и Денис, которые не дружат только с Таней, мальчики Женя и Кирилл, которые
не дружат только с Дашей, а также мальчик Лёня, который не дружит только с Катей (все
остальные пары людей в классе дружат). Легко видеть, что все условия задачи выполня-
ются.

7 класс

Задача 7.1.

Решите ребус

𝐶,𝐵𝐴 + 𝐴,𝐴𝐴 = 𝐵,𝐴.

(Разными буквами обозначены разные цифры, одинаковыми буквами — одинаковые циф-
ры.)

Ответ:

𝐴 = 5

,

𝐵 = 9

,

𝐶 = 3

.

В последнем равенстве справа написано целое число, и оно может получиться при сум-
мировании нецелых чисел слева, только если

𝐵 = 9

. Тогда последнее равенство перепи-

сывается в следующем виде:

𝐶,95 + 0, 05 = 9 − 5.

Отсюда уже легко понять, что

𝐶 = 3

.

Замечание.

Также задачу можно было решать с помощью умножения обеих частей исход-

ного равенства на

100

.

Задача 7.2.

Влад и Дима решили подзаработать. Каждый из них решил положить по

3000

рублей в банк, а через год все деньги снять.

Влад выбрал вклад «Уверенность»: за год сумма увеличивается на

20%

, но при снятии

банк взимает комиссию

10%

.

19

Дима выбрал вклад «Надёжность»: за год сумма увеличивается на

40%

, но при снятии

банк взимает комиссию

20%

.

(«Банк взимает комиссию

𝑛%

» означает то, что банк оставляет себе

𝑛%

от текущей вели-

чины вклада, а оставшуюся часть вклада возвращает его владельцу.)

Кто получит большую годовую прибыль от вклада?

Чему будет равна разница? Ответ выразите в рублях. Если прибыль одинакова, то запи-
шите

0

.

Ответ:

Дима заработает больше на

120

рублей.

Решение.

У Влада сумма вклада за год возрастёт до

3000 ⋅ 1,2

рублей, а при снятии умень-

шится до

3000 ⋅ 1,2 ⋅ 0,9 = 3240

рублей.

У Димы же сумма вклада за год возрастёт до

3000 ⋅ 1,4

рублей, а при снятии уменьшится

до

3000 ⋅ 1,4 ⋅ 0,8 = 3360

рублей.

Следовательно, Дима заработает больше на

120

рублей.

Задача 7.3.

Смешарики Крош, Ёжик, Нюша и Бараш суммарно съели

86

конфет, причём

каждый из них съел не менее

5

конфет. Известно, что:

• Нюша съела конфет больше, чем каждый из остальных смешариков;

• Крош и Ёжик суммарно съели

53

конфеты.

Сколько конфет съела Нюша?

Ответ:

28

.

Решение.

Крош или Ёжик съел хотя бы

27

конфет (иначе они суммарно съели бы не более

26 + 26 = 52

конфет), тогда Нюша съела хотя бы

28

конфет. Учитывая, что Бараш съел

хотя бы

5

конфет, получаем, что суммарно все они съели хотя бы

53 + 28 + 5 = 86

конфет.

Следовательно, такое возможно, только если Нюша съела ровно

28

конфет, а Бараш —

ровно

5

конфет.

Задача 7.4.

На рисунке ниже

• три синие фигуры — квадраты;

• оранжевая фигура — квадрат со стороной

18

;

• точка

𝐴

 — центр зелёной окружности;

• точка

𝐵

 — центр красной окружности.

Найдите длину отрезка

𝐶𝐷

.

20

Ответ:

12

.

Решение.

У трёх синих квадратов есть общая сторона, поэтому они равны. Вертикальная

сторона оранжевого квадрата, равная

18

, состоит из трёх одинаковых вертикальных сто-

рон синих квадратов, поэтому каждая из них равна

6

. Значит, радиус зелёной окружности

равен

6 + 18 = 24

, и

𝐴𝐵 = 24

. Тогда радиус красной окружности равен

24 + 6 = 30

. Что-

бы найти длину искомого отрезка, надо из этого радиуса вычесть длину вертикального
отрезка, равного стороне оранжевого квадрата:

30 − 18 = 12

.

Задача 7.5.

В магазине продаются орехи четырёх видов: фундук, миндаль, кешью и фи-

сташки. Степан хочет купить

1

килограмм орехов одного вида и ещё

1

килограмм орехов —

другого. Он вычислил, во сколько ему может обойтись такая покупка в зависимости от
того, какие два вида орехов он выберет. Пять из шести возможных покупок Степана сто-
или бы

1900

,

2070

,

2110

,

2330

и

2500

рублей. Сколько рублей составляет стоимость шестой

возможной покупки?

Ответ:

2290

.

Нетрудно понять, что это могут быть только пары

(1900, 2500)

и

(2070, 2330)

c суммой

4400

(например, можно заметить, что все остальные пары либо пересекаются, либо у их сумм
отличаются последние две цифры). Тогда неизвестная шестая стоимость вычисляется без
труда:

4400 − 2110 = 2290

рублей.

21

Замечание.

Условие задачи реализуется для

𝑎 = 930

,

𝑏 = 970

,

𝑐 = 1140

,

𝑑 = 1360

.

Задача 7.6.

Магический квадрат — это таблица

3 × 3

, в которой расставлены числа так,

что суммы по всем строкам, столбцам и двум главным диагоналям одинаковы. На ри-
сунке изображён магический квадрат, в котором все числа, кроме трёх, стёрты. Найдите,
чему равно число в левом верхнем углу квадрата.

Ответ:

14

.

Решение.

Пусть неизвестное число равно

𝑥

, тогда суммы во всех строках, столбцах и на

главных диагоналях равны

9 + 31 + 𝑥 = 40 + 𝑥

.

1) Рассмотрев левый столбец, получаем, что в левом нижнем углу квадрата стоит число

27

.

2) Рассмотрев главную диагональ, идущую вправо-вверх, получаем, что в центре квадрата
стоит число

4 + 𝑥

.

3) Рассмотрев главную диагональ, идущую вправо-вниз, получаем, что в правом нижнем
углу квадрата стоит число

36 − 2𝑥

.

4) Рассмотрев правый столбец, получаем, что в средней его клетке стоит число

2𝑥 − 5

.

5) Рассмотрев среднюю строку, получаем необходимое уравнение на

𝑥

:

40 + 𝑥 = 13 + (4 + 𝑥) + (2𝑥 − 5).

Решая его, находим

𝑥 = 14

.

Задача 7.7.

Все

25

учеников 7 «А» класса участвовали в викторине из трёх туров. В каж-

дом туре каждый участник набрал некоторое количество очков. Известно, что в каждом
туре, а также по сумме всех трёх туров все участники набрали различное количество оч-
ков.

Ученик 7 «А» Коля в первом туре викторины оказался третьим, во втором — четвёртым,
а в третьем — пятым. Какое самое низкое место мог занять Коля среди всех однокласс-
ников по сумме очков за все три тура викторины?

Ответ:

10

.

22

Решение.

В первом туре Колю опередили

2

одноклассника, во втором —

3

, в третьем —

4

.

Тогда по сумме всех трёх туров его могли опередить не более

2+3+4 = 9

одноклассников,

т. е. по сумме трёх туров он не мог оказаться ниже

10

-го места.

Теперь приведём пример, как Коля мог оказаться ровно на

10

-м месте. Пусть

• в каждом из туров Коля набрал по 100 очков;

• в первом туре Андрей и Борис набрали 1000 и 2000 очков соответственно и заняли

первые два места;

• во втором туре Влад, Геннадий и Денис набрали 10000, 20000, 30000 очков соответ-

ственно и заняли первые три места;

• в третьем туре Маша, Света, Таня, Катя набрали 100000, 200000, 300000, 400000 очков

соответственно и заняли первые четыре места;

• в каждом из туров все остальные участники после Коли упорядочились в алфавит-

ном порядке и набрали количество очков, равное их позиции в рейтинге с конца.

Легко видеть, что все условия задачи выполняются.

Задача 7.8.

Набор из 28 различных доминошек выглядит так:

Все эти

28

доминошек выложили так, что количество точек на соприкасающихся поло-

винках доминошек одинаково. На некоторых половинках полностью стёрли количество
точек. В итоге получилась конструкция, изображённая на рисунке ниже (пустые поло-
винки могли быть изначально пустыми, а могли содержать какое-то количество точек).

23

Сколько точек на каждой из половинок жёлтой костяшки?

Точек на половинке

𝐴

:

…

.

Точек на половинке

𝐵

:

…

.

Ответ:

𝐴 = 2

,

𝐵 = 5

.

Решение.

Сначала заметим, что любое число должно встречаться ровно на

8

половинках

доминошек (на

6

доминошках в паре с другими числами и на одной доминошке дважды).

То есть каждое число встречается чётное количество раз.

Рассмотрим выделенные красные области из

1

или

3

клеток. По условию числа на со-

прикасающихся половинках равны, а значит, внутри каждой выделенной области стоят
одинаковые числа. Все остальные половинки доминошек разбиваются на пары соседних,
где также должны стоять одинаковые числа.

24

Получаем, что вне выделенных областей каждое число встречается чётное число раз. Зна-
чит, чтобы число встречалось чётное число раз во всей раскладке доминошек, количество
выделенных красных областей с каждым числом должно быть чётно. Мы знаем, что стоит
во всех выделенных областях, кроме областей с половинками

𝐴

и

𝐵

. Теперь заметим, что

только числа

2

и

5

присутствуют в нечётном количестве (в одной выделенной области), а

значит, в областях с половинками

𝐴

и

𝐵

, должны стоять именно они.

Осталось понять, где именно стоит

2

, а где

5

. Предположим, что в половинке

𝐴

стоит

5

,

тогда все половинки левее данной определяются однозначно, и две выделенные на кар-
тинке доминошки получаются одинаковыми, чего быть не может.

Получаем, что единственный возможный вариант — это

𝐴 = 2

и

𝐵 = 5

.

Замечание.

Одна из возможных конфигураций доминошек изображена на рисунке ниже.

8 класс

Задача 8.1.

Клетки пирамиды заполнили по следующему правилу: над каждыми двумя

соседними числами записали их среднее арифметическое. Некоторые числа стёрли, и
получилась конструкция, изображённая на рисунке. Какое число было в правой нижней
клетке? (Среднее арифметическое двух чисел — это их сумма, разделённая на

2

.)

25