Математика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2022-2023 год)

6.4. Условие:

У большой божьей коровки на спинке 7 точек, а у маленькой — 5 точек. Несколько

божьих коровок собрались вместе на вечеринку на большом листе лопуха. Всего у них

было в сумме 41 точка. Укажите количество божьих коровок обоих размеров,

собравшихся на вечеринке.

Количество больших божьих коровок: 3

Количество маленьких божьих коровок: 4

Задача № 7

7.1. Условие:

На доске расставлены фишки. За один ход можно сдвинуть любую фишку на соседнюю

свободную клетку по вертикали, горизонтали или диагонали (соседние клетки имеют

общую сторону или угол).

За какое наименьшее количество ходов можно сделать так, чтобы в каждой горизонтали

и вертикали было ровно по 2 фишки, если по правилам разрешено двигать

только

одну

фишку (то есть нельзя первым ходом передвинуть одну фишку,

вторым

ходом — другую)?

Ответ:

Покажите первый ход: на левой картинке отметьте одну фишку, которую хотите сдвинуть,

на правой — её положение после первого хода.

Примечание

. Если вы выберете более одной фишки на каком-либо из полей, за задание

начислится 0 баллов.

Ответ:

Решение.

Во второй строке и в третьем столбце находится по три фишки. Значит, двигать нужно ту

фишку, которая стоит на их пересечении. Она должна попасть на пересечение четвёртой

строки и второго столбца. Это можно сделать не менее чем за два хода, при этом первый ход

определяется однозначно – нужно сходить по диагонали вниз-влево.

7.2. Условие:

На доске расставлены фишки. За один ход можно сдвинуть любую фишку на соседнюю

свободную клетку по вертикали, горизонтали или диагонали (соседние клетки

имеют

общую сторону или угол).

За какое наименьшее количество ходов можно сделать так, чтобы в каждой горизонтали

и вертикали было ровно по 2 фишки, если по правилам разрешено двигать только

одну

фишку

(то

есть

нельзя

первым

ходом

передвинуть

одну

фишку,

вторым

ходом

—

другую)?

Ответ:

Покажите первый ход: на левой картинке отметьте одну фишку, которую хотите сдвинуть,

на правой — её положение после первого хода.

Примечание

. Если вы выберете более одной фишки на каком-либо из полей, за задание

начислится 0 баллов.

Ответ:

7.3. Условие:

На доске расставлены фишки. За один ход можно сдвинуть любую фишку на соседнюю

свободную клетку по вертикали, горизонтали или диагонали (соседние клетки имеют

общую сторону или угол).

За какое наименьшее количество ходов можно сделать так, чтобы в каждой горизонтали

и вертикали было ровно по 2 фишки, если по правилам разрешено двигать только одну

фишку (то есть нельзя первым ходом передвинуть одну фишку, а вторым

ходом

—

другую)?

Ответ:

Покажите первый ход: на левой картинке отметьте одну фишку, которую хотите сдвинуть,

на правой — её положение после первого хода.

Примечание

. Если вы выберете более одной фишки на каком-либо из полей, за задание

начислится 0 баллов.

Ответ:

7.4. Условие:

На доске расставлены фишки. За один ход можно сдвинуть любую фишку на соседнюю

свободную клетку по вертикали, горизонтали или диагонали (соседние клетки имеют

общую сторону или угол).

За какое наименьшее количество ходов можно сделать так, чтобы в каждой горизонтали

и вертикали было ровно по 2 фишки, если по правилам разрешено двигать только одну

фишку (то есть нельзя первым ходом передвинуть одну фишку, а вторым

ходом

—

другую)?

Ответ:

Покажите первый ход: на левой картинке отметьте одну фишку, которую хотите сдвинуть,

на правой — её положение после первого хода.

Примечание

. Если вы выберете более одной фишки на каком-либо из полей, за задание

начислится 0 баллов.

Ответ:

Задача № 8

8.1. Условие:

На острове обитают два племени: рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы,

которые всегда лгут. Четверо островитян выстроились в шеренгу на расстоянии 1 м друг

от друга.



Самый левый в ряду сказал: «Мой соплеменник в этой шеренге стоит

на

расстоянии 3 м от меня».



Самый правый в ряду сказал: «Мой соплеменник в этой шеренге стоит

на

расстоянии 2 м от меня».

Известно, что всего в шеренге два рыцаря и два лжеца. Какие расстояния могли назвать

второй и третий слева островитяне? Укажите все возможные варианты.

Варианты для сопоставления:

Второй островитянин

1 м

Третий островитянин

2 м

3 м

4 м

Ответ:

Второй островитянин

— 2 м;

Третий островитянин — 1 м; 3 м; 4 м.

Решение.

Пронумеруем островитян слева направо. Предположим, что первый – рыцарь. Тогда из

его утверждения следует, что четвёртый тоже должен быть рыцарем. Четвёртый сказал,

что его соплеменник стоит на расстоянии 2 м, и если его соплеменник – первый, стоящий

на расстоянии трёх метров, возникнет противоречие. Отсюда следует, что первый – лжец.

Тогда четвёртый должен быть рыцарем, поскольку иначе первый бы сказал правду, а он,

как мы уже выяснили, лжец. Из утверждения четвёртого следует, что второй должен быть

рыцарем; по остаточному принципу находим, что третий – лжец.

Из вышеуказанного следует, что второй ответит «два метра», а третий может сказать что

угодно, кроме «два метра».

8.2. Условие:

На острове обитают два племени: рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы,

которые всегда лгут. Четверо островитян выстроились в шеренгу на расстоянии 1 м друг

от друга.



Самый левый в ряду сказал: «Мой соплеменник в этой шеренге стоит

на

расстоянии 2 м от меня».



Самый правый в ряду сказал: «Мой соплеменник в этой шеренге стоит

на

расстоянии 2 м от меня».

Известно, что всего в шеренге два рыцаря и два лжеца. Какие расстояния могли назвать

второй и третий слева островитяне? Укажите все возможные варианты.

Варианты для сопоставления:

Второй островитянин

1 м

Третий островитянин

2 м

3 м

4 м

Ответ:

Второй островитянин

— 1 м;

Третий островитянин — 1 м.

Решение.

Пронумеруем островитян слева направо. Предположим, что первый – рыцарь. Тогда

из его утверждения следует, что третий тоже рыцарь; по остаточному принципу второй и

четвёртый должны быть лжецами. Четвёртый сказал, что его соплеменник стоит на

расстоянии двух метров. Это правда, но четвёртый — лжец, возникает противоречие.

Отсюда следует, что первый должен быть лжецом.

Заметим, что для четвёртого и первого создаётся сходная ситуация: если мы посмотрим

на шеренгу справа налево, то четвёртый будет в ней первым, и для него будут верны те

же самые рассуждения. То есть четвёртый тоже должен быть лжецом. Получается, что

второй и третий являются рыцарями, так как лжецы – первый и четвёртый.

Из вышеуказанного следует, что второй и третий – рыцари, которые скажут «один метр».

8.3. Условие:

На острове обитают два племени: рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы,

которые всегда лгут. Четверо островитян выстроились в шеренгу на расстоянии 1 м друг

от друга.



Самый левый в ряду сказал: «Мой соплеменник в этой шеренге стоит

на

расстоянии 1 м от меня».



Второй слева сказал: «Мой соплеменник в этой шеренге стоит на

расстоянии 2 м

от меня».

Известно, что всего в шеренге два рыцаря и два лжеца. Какие расстояния могли назвать

третий и четвёртый слева островитяне? Укажите все возможные варианты.

Варианты для сопоставления:

Третий островитянин

1 м

Четвёртый островитянин

2 м

3 м

4 м

Ответ:

Третий островитянин

— 1 м; 3 м; 4 м.

Четвёртый островитянин — 2 м.

Решение.

Пронумеруем островитян справа налево. Предположим, что первый – рыцарь. Тогда из

его утверждения следует, что второй тоже рыцарь. При этом второй сказал, что его

соплеменник находится на расстоянии двух метров от него, что является ложью, так как

первый, который должен быть соплеменником второго, стоит рядом с ним. Отсюда вывод:

первый – лжец.

Теперь из слов первого следует, что второй должен быть рыцарем, иначе бы он был

лжецом и первый сказал бы правду. Если второй — рыцарь, то из его утверждения

следует, что и четвёртый тоже рыцарь. Получается, что третьему остаётся быть только

лжецом.

8.4. Условие:

На острове обитают два племени: рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы,

которые всегда лгут. Четверо островитян выстроились в шеренгу на расстоянии 1 м друг

от друга.



Второй слева сказал: «Мой соплеменник в этой шеренге стоит на расстоянии 1 м

от меня».



Третий слева сказал: «Мой соплеменник в этой шеренге стоит на расстоянии 1 м от

меня».

Известно, что всего в шеренге два рыцаря и два лжеца. Какие расстояния могли назвать

первый и четвёртый слева островитяне? Укажите все возможные варианты.

Варианты для сопоставления:

Первый островитянин

1 м

Четвёртый островитянин

2 м

3 м

4 м

Ответ:

Первый островитянин

— 1 м; 2 м; 4 м.

Четвёртый островитянин — 1 м; 2 м; 4 м.

Решение.

Пронумеруем островитян справа налево. Предположим, что второй – лжец. Тогда из его

утверждения следует, что и первый, и третий должны быть рыцарями, так как если

кто-то из них двоих солгал, то второй сказал правду. Но если третий является рыцарем,

то из его слов следует, что рядом с ним стоит его соплеменник-рыцарь. Возникает

противоречие, поскольку второй рыцарь – первый слева. Значит, второй островитянин в

ряду – рыцарь.

Заметим, что для третьего и второго создаётся сходная ситуация: если посмотреть на

шеренгу справа налево, то третий будет в ней вторым, и для него будут верны те же самые

рассуждения. То есть третий тоже должен быть рыцарем.

Из вышеуказанного следует, что первый и четвёртый – лжецы, которые могут ответить

что угодно, кроме «три метра».

Разбор заданий пригласительного этапа ВсОШ по математике для 5 класса

2021/22 учебный год

Максимальное количество баллов — 8

Критерии оценивания: точное совпадение ответа — 1 балл за каждое задание

Задача № 1.

1.1.

Условие:

Из спичек сложено 12 фигурок — 3 треугольника, 4 квадрата и 5 пятиугольников.

фигурок нет общих сторон. Петя и Вася по очереди забирают по одной спичке. Вася

хочет, чтобы осталось как можно меньше нетронутых фигур, а Петя — чтобы таких фигур

осталось как можно больше. Сколько фигурок останется после 10 ходов? Каждый

из

ребят делает по 5 ходов, первым начинает Петя.

Ответ:

Решение.

Вася сможет забрать спички максимум из 5 разных фигур. Значит, если Петя будет

забирать спички только из тех фигур, которые уже потеряли хотя бы одну спичку,

то

нетронутыми останутся

12 − 5 = 7

фигур. Петя может выполнить условие, так как в

противном случае Вася забирал бы спичку из уже частично разобранной фигуры. Но при

этом в самом начале Пете придётся взять спичку из нетронутой фигуры.

Заметим, что в каждой фигуре есть хотя бы три спички, значит, Петя всегда сможет сделать

свой ход, а так как фигур 12, то

Вася сможет делать свои ходы. Получается, что ребята

смогут придерживаться своих стратегий.

1.2.

Условие:

Из спичек сложено 9 фигурок — 4 треугольника, 2 квадрата и 3 пятиугольника.

фигурок нет общих сторон. Петя и Вася по очереди забирают по одной спичке. Вася

хочет, чтобы осталось как можно меньше нетронутых фигур, а Петя — чтобы таких фигур

осталось как можно больше. Сколько фигурок останется после 10 ходов? Каждый

из

ребят делает по 5 ходов, первым начинает Петя.

Ответ:

1.3.

Условие:

Из спичек сложено 15 фигурок — 4 квадрата, 5 пятиугольников и 6 шестиугольников.

фигурок нет общих сторон. Петя и Вася по очереди забирают по одной спичке. Вася

хочет, чтобы осталось как можно меньше нетронутых фигур, а Петя — чтобы таких фигур

осталось как можно больше. Сколько фигурок останется после 10 ходов? Каждый

из

ребят делает по 5 ходов, первым начинает Петя.

Ответ:

1.4.

Условие:

Из спичек сложено 11 фигурок — 2 квадрата, 3 пятиугольника и 6 шестиугольников.

фигурок нет общих сторон. Петя и Вася по очереди забирают по одной спичке. Вася

хочет, чтобы осталось как можно меньше нетронутых фигур, а Петя — чтобы таких фигур

осталось как можно больше. Сколько фигурок останется после 10 ходов? Каждый

из

ребят делает по 5 ходов, первым начинает Петя.

Ответ:

Задача № 2

2.1. Условие:

Андрей, Борис, Светлана и Лариса — четыре человека разного возраста, образующих

две

семейные пары. Известно, что самый старший — это муж Ларисы, а Андрей младше

Светланы, но старше Ларисы. Выберите все верные утверждения:

Варианты ответов:

Решение.

Раз Андрей младше Светланы, то он не может быть самым старшим. Раз самый старший

– муж Ларисы, то это может быть только Борис. Значит, Андрей женат на Светлане. В

порядке от младшего к старшему они выстроятся следующим образом: Лариса, Андрей,

Светлана, Борис

2.2. Условие:

Роман, Олег, Екатерина и Жанна — четыре человека разного возраста, образующих

две

семейные пары. Известно, что каждый муж старше своей жены, а Жанна старше

Олега. Выберите все верные утверждения:

Варианты ответов:

Решение.

Раз Жанна старше Олега, и каждый муж старше своей жены, то Жанна замужем

за

Романом, а Олег женат на Екатерине. В порядке от младшего к старшему они

выстроятся следующим образом: Екатерина, Олег, Жанна, Роман.

2.3. Условие:

Константин, Игорь, Ольга и Елена — четыре человека разного возраста, образующих

две

семейные пары. Известно, что самый младший — это муж Елены, а Константин

старше Ольги, но младше Елены. Выберите все верные утверждения:

Варианты ответов:

2.4. Условие:

Александр, Михаил, Вера и Надя — четыре человека разного возраста, образующих

две

семейные пары. Известно, что самый старший — это муж Веры, а Надя старше

Михаила, но младше Веры. Выберите все верные утверждения:

Варианты ответов:

Задача № 3

3.1. Условие:

Данил взял белый кубик и пронумеровал его грани числами от 1 до 6, написав каждое

ровно один раз. Оказалось, что сумма чисел на одной паре противоположных граней

равна 11. Чему НЕ может равняться сумма чисел ни на одной из оставшихся пар

противоположных граней?

Варианты ответов:

Решение.

Если сумма чисел на противоположных гранях равняется 11, то на самих гранях

написаны числа 5 и 6. Оставшиеся числа можно разбить на пары тремя способами: (1, 2)

и (3, 4); (1,

3) и (2, 4); (1, 4) и (2, 3), т. е. МОГУТ получиться суммы: 3, 7, 4, 6 и 5. Значит,

НЕ

могут получиться суммы 8, 9 и 10.

3.2. Условие:

Данил взял белый кубик и пронумеровал его грани числами от 1 до 6, написав каждое

ровно один раз. Оказалось, что сумма чисел на одной паре противоположных граней

равна 10. Чему НЕ может равняться сумма чисел ни на одной из оставшихся пар

противоположных граней?

Варианты ответов:

3.3. Условие:

Данил взял белый кубик и пронумеровал его грани числами от 1 до 6, написав каждое

ровно один раз. Оказалось, что сумма чисел на одной паре противоположных граней

равна 3. Чему НЕ может равняться сумма чисел ни на одной из оставшихся пар

противоположных граней?

Варианты ответов:

3.4. Условие:

Данил взял белый кубик и пронумеровал его грани числами от 1 до 6, написав каждое

ровно один раз. Оказалось, что сумма чисел на одной паре противоположных граней

равна 4. Чему НЕ может равняться сумма чисел ни на одной из оставшихся пар

противоположных граней?

Варианты ответов:

Задача № 4

4.1. Условие:

У Пети есть очень много экземпляров фигурки, показанной на рисунке. Фигурка является

ромбом, раскрашенным в белый и серый цвет.

Фигурки отпечатаны на одной стороне листа, поэтому их можно поворачивать,

но

не

переворачивать. Какую из больших фигур Петя НЕ сможет сложить?

Ответ:

Решение.

Заметим, что

Петя не сможет сложить фигурку, в которой исходный ромбик перевёрнут, а не повёрнут.

4.2. Условие:

У Пети есть очень много экземпляров фигурки, показанной на рисунке. Фигурка является

ромбом, раскрашенным в белый и серый цвет.

Фигурки отпечатаны на одной стороне листа, поэтому их можно поворачивать,

но

не

переворачивать. Какую из больших фигур Петя НЕ сможет сложить?

Ответ:

4.3. Условие:

У Пети есть очень много экземпляров фигурки, показанной на рисунке. Фигурка является

ромбом, раскрашенным в белый и серый цвет.

Фигурки отпечатаны на одной стороне листа, поэтому их можно поворачивать,

но

не

переворачивать. Какую из больших фигур Петя НЕ сможет сложить?

Ответ:

4.4. Условие:

У Пети есть очень много экземпляров фигурки, показанной на рисунке. Фигурка является

ромбом, раскрашенным в белый и серый цвет.

Фигурки отпечатаны на одной стороне листа, поэтому их можно поворачивать,

но

не

переворачивать. Какую из больших фигур Петя НЕ сможет сложить?

Ответ:

Задача № 5

5.1. Условие:

Полина пришла в буфет и увидела, что 2 слойки стоят в 3 раза дороже, чем 2 пирожка.

Полине не хватило денег на 2 слойки, но хватило на 1 пирожок и 1 слойку. После покупки

она задумалась, во сколько раз больше денег потратила, купив 1 слойку и 1 пирожок

вместо 2 пирожков. Помогите Полине ответить на этот вопрос.

Ответ:

Решение.

2 слойки в 3 раза дороже, чем 2 пирожка, поэтому одна слойка в 3 раза дороже одного

пирожка, то есть одна слойка стоит как 3 пирожка. Значит, 1 слойка и 1 пирожок стоят

как 4 пирожка. Тогда они в 2 раза дороже, чем 2 пирожка.

5.2. Условие:

Полина пришла в буфет и увидела, что 2 слойки стоят в 5 раз дороже, чем 2 пирожка.

Полине не хватило денег на 2 слойки, но хватило на 1 пирожок и 1 слойку. После покупки

она задумалась, во сколько раз больше денег потратила, купив 1 слойку и 1 пирожок

вместо 2 пирожков. Помогите Полине ответить на этот вопрос.

Ответ:

5.3. Условие:

Полина пришла в буфет и увидела, что 4 слойки стоят в 6 раз дороже, чем 4 пирожка.

Полине не хватило денег на 3 слойки, но хватило на 2 пирожка и 1 слойку. После покупки

она задумалась, во сколько раз больше денег потратила, купив 1 слойку и 2 пирожка

вместо 2 пирожков. Помогите Полине ответить на этот вопрос.

Ответ:

5.4. Условие:

Полина пришла в буфет и увидела, что 5 слоек стоят в 7 раз дороже, чем 5 пирожков.

Полине не хватило денег на 3 слойки, но хватило на 1 пирожок и 2 слойки. После покупки

она задумалась, во сколько раз больше денег потратила, купив 2 слойки и 1 пирожок

вместо 3 пирожков. Помогите Полине ответить на этот вопрос.

Ответ:

Задача № 6

6.1. Условие:

Из спичек выложено число 1405.

Какое наибольшее четырёхзначное число можно получить из него, переложив

не

более

двух

спичек?

Образец написания цифр:

Ответ:

7705

Решение

За два перекладывания из «1» нельзя получить больше «7», то есть наибольшее число

должно начинаться с 7. Далее рассмотрим остальные цифры. Из «4» за не более чем два

перекладывания можно получить цифры 9,

7, 5, 3 и 1. Для «9» нужно добавить две спички

в «4», но тогда первая цифра останется единицей. Чтобы получить «7», можно убрать

одну спичку из

4»

ещё

одну

передвинуть внутри «4». Итог: 7705. Заметим, что

увеличить первые две цифры не удастся; также для получения двух семёрок

мы

уже

переложили две спички, значит, больше получить не выйдет.

6.2. Условие:

Из спичек выложено число 1105.

Какое наибольшее четырёхзначное число можно получить из него, переложив не более двух

спичек?

Образец написания цифр:

Ответ:

7155

6.3. Условие:

Из спичек выложено число 1205.

Какое наибольшее четырёхзначное число можно получить из него, переложив

не

более

двух

спичек?

Образец написания цифр:

Ответ:

7255

6.4. Условие:

Из спичек выложено число 1305.

Какое наибольшее четырёхзначное число можно получить из него, переложив

не

более

двух

спичек?

Задача № 7

7.1. Условие:

На ёлке висит гирлянда из 100 лампочек. Известно, что первая и третья лампочки имеют

жёлтый цвет. Кроме того, среди любых пяти подряд идущих лампочек ровно две жёлтого

и ровно три синего цвета. Деду Морозу из-за ёлки видно не всю гирлянду. Помогите ему

узнать, какого цвета и в каком порядке идут лампочки на 97, 98, 99 и 100 позициях.

Варианты для сопоставления:

Синий цвет

Жёлтый цвет

100

Ответ:

97; 99; 100 — Синий цвет

98 — Жёлтый цвет

Решение.

Рассмотрим пять первых лампочек. Из условия следует, что на 2, 4 и 5 позициях стоят

синие лампочки. Заметим, что цвет шестой лампочки должен быть такой же, как и

первой, поскольку для первых пяти лампочек и для лампочек со 2 по 6 должно

выполняться условие задачи, а лампочки со 2 по 5 – общие для первой и шестой. Значит,

если

первая и шестая лампочки разных цветов, то для одной из пятерок условие не

выполняется. Аналогично 2 и 7, 3 и 8, 4 и 9, 5 и 10 и т. д. (т. е. любые две лампочки,

между которыми пять других) должны быть одинакового цвета. Получается, что первые

пять лампочек горят теми же цветами, что и следующие пять. Тогда можно заметить, что

пятёрки лампочек – с 1 по 5, с 6 по 10, с 11 по 15, …, должны иметь такие же цвета, как

и первая. Цвета первых пяти лампочек известны: жёлтый, синий, жёлтый, синий, синий.

Значит, последние пять будут иметь следующие цвета: 96 – жёлтый, 97 – синий, 98

–

жёлтый, 99 – синий, 100 – синий. Отсюда получаем ответ.

7.2. Условие:

На ёлке висит гирлянда из 100 лампочек. Известно, что вторая и четвёртая лампочки

имеют жёлтый цвет. Кроме того, среди любых пяти подряд идущих лампочек ровно

две

жёлтого и ровно три синего цвета. Деду Морозу из-за ёлки видно не всю гирлянду.

Помогите ему узнать, какого цвета и в каком порядке идут лампочки на 97, 98, 99

100

позициях.

Варианты для сопоставления:

Синий цвет

Жёлтый цвет

100

Ответ:

98; 100 — Синий цвет

99; 97 — Жёлтый цвет

7.3. Условие:

На ёлке висит гирлянда из 100 лампочек. Известно, что первая и пятая лампочки имеют

жёлтый цвет. Кроме того, среди любых пяти подряд идущих лампочек ровно две жёлтого

и ровно три синего цвета. Деду Морозу из-за ёлки видно не всю гирлянду. Помогите ему

узнать, какого цвета и в каком порядке идут лампочки на 97, 98, 99 и 100 позициях.

Варианты для сопоставления:

Синий цвет

Жёлтый цвет

100

Ответ:

97; 98; 99; — Синий цвет

100 — Жёлтый цвет

7.4. Условие:

На ёлке висит гирлянда из 100 лампочек. Известно, что третья и четвёртая лампочки

имеют жёлтый цвет. Кроме того, среди любых пяти подряд идущих лампочек ровно

две

жёлтого и ровно три синего цвета. Деду Морозу из-за ёлки видно не всю гирлянду.

Помогите ему узнать, какого цвета и в каком порядке идут лампочки на 97, 98, 99

100

позициях.

Задача № 8

8.1. Условие:

Пятизначное число называется горкой, если в нём первые три цифры идут в порядке

возрастания, а последние три — в порядке убывания. Например, 13760 и 28932 — горки,

а 78821 и 86521 — не горки. Сколько существует горок, которые больше числа 77777?

Ответ:

Решение.

Подходящие горки обязательно начинаются с 7, поэтому далее идёт либо 8, либо 9.

Если

вторую позицию займёт цифра 9, то третья цифра не будет больше второй, поэтому

условию удовлетворяет только 8. Следовательно, на третьей позиции стоит 9. Последние

два места могут занимать любые две различные цифры от 0 до 8. Таких пар

цифр

9 ∙ 8 / 2 = 36

, так как сначала мы выбираем цифру на предпоследнем месте (от 0

до 8), а затем из оставшихся восьми цифр выбираем ту, что поставим в конец (от 0 до 8,

исключая цифру на предпоследней позиции). Поскольку важен порядок цифр,

получившееся количество способов поделим на два, так как цифры делятся на пары вида

(a, b), (b, a). Например, сочетание цифр 2 и 7 может иметь вид 27 или 72 (именно в таком

порядке), и в каждой такой паре нам подходит только один из способов – в котором цифры

стоят в порядке убывания.

8.2. Условие:

Пятизначное число называется ямкой, если в нём первые три цифры идут в порядке

убывания, а последние три — в порядке возрастания. Например, 73016 и 98346 — ямки,

а 88012 и 56821 — не ямки. Сколько существует ямок, которые меньше числа 22222?

Ответ:

Решение.

Подходящие ямки обязательно начинаются с 2, поэтому далее идёт либо 1, либо 0. Если

вторую позицию займёт цифра 1, то третья цифра не будет больше второй, поэтому

условию удовлетворяет только 0. Следовательно, на третьей позиции стоит 0. Последние

два места могут занимать любые две различные цифры от 1 до 9. Таких пар

цифр

9 ∙ 8 / 2 = 36

, так как сначала мы выбираем цифру на предпоследнем месте (от 1

Разбор заданий пригласительного этапа ВсОШ по математике для 6 класса

2021/22 учебный год

Максимальное количество баллов — 8

Критерии оценивания: точное совпадение ответа — 1 балл за каждое задание

Задача № 1.

1.1.

Условие:

Какой кубик можно сделать из этой развёртки?

Ответ:

Решение.

Заметим, что при такой раскраске на одной грани из четырёх маленьких квадратиков должна

получиться «шахматная» раскраска, так что третий и пятый варианты (т.е. крайние справа в

обоих рядах) точно не подходят.

Также

заметим, что у нас нет трёх пустых граней,

образующих угол, показанный во втором варианте, поскольку тогда чёрная и «шахматная»

грань должны были бы иметь общую сторону, что противоречит

развёртке. По этой же

причине первый вариант тоже не подходит. Остаётся только четвёртый вариант. В таком

кубике напротив «шахматной» грани располагается чёрная, а на остальные две (невидимые)

приходятся пустые грани.

Задача № 2

2.1. Условие:

В кампусе комнаты нумеруются подряд 1, 2, 3, 4…, 10, 11,… Для нумерации комнат были

закуплены наклейки с цифрами, при этом цифр 1, 2 и 3 закуплено поровну,

цифр

—

на

три больше, чем цифр 6. Сколько комнат в кампусе, если известно, что их

менее 100?

Ответ:

Решение.

В каждом десятке до шестого цифр «5» и «6» поровну, то есть комнат не

менее 50. Так как

цифр «1», «2» и «3» поровну, они точно должны встречаться в каждом десятке, а значит,

число комнат составит хотя бы 53. Тогда цифр «5» окажется на четыре больше, чем

цифр

«6». Значит, минимальное число комнат достигнет уже 60, а цифр «5» будет на десять

больше, чем цифр «6», так как пятёрок всего 11 среди чисел от 50 до 59 (однако учтём одну

цифру «6» в числе 56). Среди чисел от 60 до 66 будет семь цифр «6» и одна цифра «5», то

есть разница уменьшится на 6, и число цифр «5» превысит число цифр «6» ровно на четыре.

Заметим, что дальше разница количества цифр «5» и «6» будет уменьшаться, пока их число

не сравняется по достижении номера 69. Если брать номера из следующих десятков, то

разница количества цифр «5» и «6» не превысит единицы по достижении номеров 75, 76 или

85, 86 или 95, 96. То есть ответ только один.

2.2. Условие:

В кампусе комнаты нумеруются подряд 1, 2, 3, 4…, 10, 11, … Для нумерации комнат были

закуплены наклейки с цифрами, при этом цифр 1, 2, 3 и 4 закуплено поровну,

цифр

—

на четыре больше, чем цифр 8. Сколько комнат в кампусе, если известно,

что

их менее 100?

Ответ:

2.3. Условие:

В кампусе комнаты нумеруются подряд 1, 2, 3, 4…, 10, 11, … Для нумерации комнат были

закуплены наклейки с цифрами, при этом цифр 1 и 2 закуплено поровну,

цифр

—

на

семь больше, чем цифр 7. Сколько комнат в кампусе, если известно,

что

их

менее 100?

Ответ:

2.4. Условие:

В кампусе комнаты нумеруются подряд 1, 2, 3, 4…, 10, 11, … Для нумерации комнат были

закуплены наклейки с цифрами, при этом цифр 1, 2, 3 закуплено поровну,

цифр

—

на

три больше, чем цифр 9. Сколько комнат в кампусе, если известно,

что

их

менее 100?

Ответ:

Математика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2022-2023 год) - часть 2