ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 89

Задание №4266

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 129. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=64,5

Ответ: 64,5

Задание №4227

У трапеции, описанной около окружности, периметр равен 88. Вычислите длину средней линии трапеции

Решение

Периметр - сумма всех сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 88 / 4 = 22

Ответ: 22

Задание №1522

Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 34° и 131°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

В четырехугольнике, вписанном в окружность сумма противоположных углов равна 180 градусов (теорема Птолемея)

угол противоположный углу 34 градусов равен 180-34=146 градусов

угол противоположный углу 131 градусов равен 180-131=49 градусов

Больший из неизвестных углов 146 градусов

Ответ: 146

Задание №1755

Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 120°. Найдите число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=120

180*n – 360 = 120 * n

n=6

Ответ: 6

Задание №5389

Дан треугольник ABC. Стороны AC=60, BC=63, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=18

Ответ: 18

Задание №3488

Основания равнобедренной трапеции равны 32 и 60. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 34. Центр окружности лежит внутри трапеции. Вычислите высоту трапеции

Решение

Проведем высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=30

HO=16

Значит, высота трапеции равна KH=KO+HO=30+16=46

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 46

Задание №2864

У равнобедренного прямоугольного треугольника катеты равны 94+47√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=47

Ответ: 47

Задание №1375

Площадь параллелограмма ABCD равна 128. Середина стороны CD - точка E. Найдите площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=32

Ответ: 32

Задание №4492

У трапеции, описанной около окружности, боковые стороны равны 22 и 11 . Вычислите среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 33 / 2 = 16,5

Ответ: 16,5

Задание №3547

Площадь параллелограмма ABCD равна 132. Середина стороны BC - точка E. Найдите площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=99

Ответ: 99

Задание №1075

Окружность вписана в треугольник ABC, к ней проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 20, 47, 72. Рассчитайте периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=20+47+72=139

Ответ: 139

Задание №5534

Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 38, BC=10, CD=77. Найдите четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=38+77-10=105

Ответ: 105

Задание №2762

Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 396. Найдите диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому:

AB / 6 = P / 6 =396 / 6 = 66

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*66=132

Ответ: 132

Задание №1738

Дан треугольник АВС. Его площадь равна 142. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Рассчитайте площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=106,5

Ответ: 106,5

Задание №5552

Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 83, большая боковая сторона трапеции равна 32 . Рассчитайте радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 4,75

Ответ: 4,75

Задание №2756

Дан равнобедренный треугольник. Окружность, вписанная в треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 28 и 13, считая от вершины, противолежащей основанию. Вычислите периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=13

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=82+26=108

Ответ: 108

Задание №1933

Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 65, основание равно 78 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=2028

Подствавим значения и найдём полупериметр P=104

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=2028/104=19,5

Ответ: 19,5

Задание №5011

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона AB= 42, периметр P= 178 . Вычислите длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=47

Ответ: 47

Задание №4293

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона CD= 83, AB= 95 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 356

Ответ: 356

Задание №1929

Дана равнобедренненная трапеция. Её основания равны 24 и 6. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=15

Ответ: 15

содержание .. 87 88 89 90 ..