ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 88

Задание №3698

В треугольнике ABC AC=18, BC=80, угол C равен 90° . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=8

Ответ: 8

Задание №3680

Площадь треугольника АВС равна 137. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=102,75

Ответ: 102,75

Задание №4939

Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона CD= 93, AB= 99 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 384

Ответ: 384

Задание №4945

Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 30, BC=7, CD=56. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=30+56-7=79

Ответ: 79

Задание №2355

Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 474. Найдите диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому:

AB / 6 = P / 6 =474 / 6 = 79

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*79=158

Ответ: 158

Задание №1667

У трапеции, описанной около окружности, боковые стороны равны 47 и 38 . Найдите среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 85 / 2 = 42,5

Ответ: 42,5

Задание №2329

Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 44° и 129°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов

угол противоположный углу 44 градусов равен 180-44=136 градусов

угол противоположный углу 129 градусов равен 180-129=51 градусов

Больший из неизвестных углов 136 градусов

Ответ: 136

Задание №3515

Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 35, основание равно 42 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=588

Подствавим значения и найдём полупериметр P=56

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=588/56=10,5

Ответ: 10,5

Задание №2458

Основания равнобедренной трапеции равны 24 и 32. Радиус описанной окружности равен 20. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции

Решение

Проведем высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=16

HO=12

Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=16+12=28

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 28

Задание №4548

Основания равнобедренной трапеции равны 216 и 54. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Рассчитайте боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=135

Ответ: 135

Задание №1949

Окружность вписана в треугольник ABC, к ней проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 25, 58, 87. Найдите периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=25+58+87=170

Ответ: 170

Задание №3491

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона AB= 97, периметр P= 396 . Найдите длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=101

Ответ: 101

Задание №2221

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 143. Точка E – середина стороны BC. Рассчитайте площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=107,25

Ответ: 107,25

Задание №3988

Площадь параллелограмма ABCD равна 144. Середина стороны CD - точка E. Вычислите площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=36

Ответ: 36

Задание №1237

Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 34+17√2 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=17

Ответ: 17

Задание №1813

В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 55 и 20, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=20

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=150+40=190

Ответ: 190

Задание №4253

Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 104, большая боковая сторона трапеции равна 50 . Рассчитайте радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 1

Ответ: 1

Задание №2447

Дана трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 46. Найдите длину средней линии трапеции

Решение

Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 46 / 4 = 11,5

Ответ: 11,5

Задание №4705

Угол между соседними двумя сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 140°. Рассчитайте число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=140

180*n – 360 = 140 * n

n=9

Ответ: 9

Задание №4465

Площадь параллелограмма ABCD равна 130. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Рассчитайте площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=65

Ответ: 65

содержание .. 86 87 88 89 ..