содержание .. 38 39 40 41 ..
ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 40
Задание №2200
Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 120°. Найдите число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=120 180*n – 360 = 120 * n n=6 Ответ: 6
Задание №2662
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона AB= 66, периметр P= 279 . Вычислите длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=73,5 Ответ: 73,5
Задание №2174
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 127. Точка E – середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=31,75 Ответ: 31,75
Задание №3570
Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 76, большая боковая сторона трапеции равна 34 . Вычислите радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 2 Ответ: 2
Задание №2695
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 78. Рассчитайте длину средней линии трапеции
Решение
Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 78 / 4 = 19,5 Ответ: 19,5
Задание №3248
В треугольнике ABC BC=36, AC=15, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=6 Ответ: 6
Задание №1884
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 34° и 126°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
В четырехугольнике, вписанном в окружность сумма противоположных углов равна 180 градусов (теорема Птолемея) угол противоположный углу 34 градусов равен 180-34=146 градусов угол противоположный углу 126 градусов равен 180-126=54 градусов Больший из неизвестных углов 146 градусов Ответ: 146
Задание №5085
Дана окружность, вписанная в треугольник ABC, к которой проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 23, 62, 77. Рассчитайте периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=23+62+77=162 Ответ: 162
Задание №4011
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 144. Точка E – середина стороны BC. Вычислите площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=108 Ответ: 108
Задание №5828
Площадь параллелограмма ABCD равна 142. Середины его сторон - это вершины параллелаграмма A′B′C′D′. Вычислите площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=71 Ответ: 71
Задание №4255
В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 17 и 7, считая от вершины, противолежащей основанию. Вычислите периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=7 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=48+14=62 Ответ: 62
Задание №4594
В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 25, основание равно 30 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=300 Подствавим значения и найдём полупериметр P=40 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=300/40=7,5
Ответ: 7,5
Задание №3676
Площадь треугольника АВС равна 145. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=108,75 Ответ: 108,75
Задание №4714
Периметр правильного шестиугольника равен 246. Найдите диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =246 / 6 = 41 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*41=82 Ответ: 82
Задание №3335
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона AB= 101, CD= 95 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 392 Ответ: 392
Задание №1874
У равнобедренного прямоугольного треугольника катеты равны 52+26√2 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=26 Ответ: 26
Задание №5015
Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 21, BC=6, CD=48. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=21+48-6=63 Ответ: 63
Задание №1663
Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 28 и 15 . Вычислите среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 43 / 2 = 21,5 Ответ: 21,5
Задание №1235
Дана равнобедренная трапеция. Основания трапеции равны 10 и 24. Радиус описанной окружности равен 13. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции
Решение
Проведем высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=12 HO=5 Отсюда следует, высота трапеции равна KH=KO+HO=12+5=17 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 17
Задание №2059
Основания равнобедренной трапеции равны 60 и 300. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=200 Ответ: 200
содержание .. 38 39 40 41 ..