ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 38

Задание №5187

Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 87, ее большая боковая сторона равна 39 . Найдите радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 2,25

Ответ: 2,25

Задание №5285

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 138. Точка E – середина стороны BC. Рассчитайте площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=103,5

Ответ: 103,5

Задание №5847

Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 72+36√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=36

Ответ: 36

Задание №3351

В треугольнике ABC AC=12, BC=35, угол C равен 90° . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=5

Ответ: 5

Задание №5267

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 17 и 25. Найдите среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 42 / 2 = 21

Ответ: 21

Задание №4365

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, периметр = 265, стророна AB= 64 . Найдите длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=68,5

Ответ: 68,5

Задание №1502

Площадь параллелограмма ABCD равна 125. Точка E – середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=31,25

Ответ: 31,25

Задание №5020

Площадь параллелограмма ABCD равна 145. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=72,5

Ответ: 72,5

Задание №3729

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 41 и 17, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=17

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=116+34=150

Ответ: 150

Задание №5766

Дана трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 71. Рассчитайте длину средней линии трапеции

Решение

Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 71 / 4 = 17,75

Ответ: 17,75

Задание №4295

Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона AB= 95, CD= 88 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 366

Ответ: 366

Задание №3217

Основания равнобедренной трапеции равны 54 и 108. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=45

Ответ: 45

Задание №5296

Дан треугольник АВС. Его площадь равна 122. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=91,5

Ответ: 91,5

Задание №2920

Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 32, BC=8, CD=62. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=32+62-8=86

Ответ: 86

Задание №5617

Основания равнобедренной трапеции равны 36 и 48. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 30. Центр окружности лежит внутри трапеции. Вычислите высоту трапеции

Решение

Построим высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=24

HO=18

Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=24+18=42

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 42

Задание №1264

Дана окружность, вписанная в треугольник ABC, к которой проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 20, 50, 71. Найдите периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=20+50+71=141

Ответ: 141

Задание №5794

Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 15, основание равно 18 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=108

Подствавим значения и найдём полупериметр P=24

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=108/24=4,5

Ответ: 4,5

Задание №3335

Угол между соседними двумя сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 60°. Вычислите число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=60

180*n – 360 = 60 * n

n=3

Ответ: 3

Задание №5891

Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 234. Найдите диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, поэтому:

AB / 6 = P / 6 =234 / 6 = 39

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*39=78

Ответ: 78

Задание №2454

Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 37° и 121°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея)

угол противоположный углу 37 градусов равен 180-37=143 градусов

угол противоположный углу 121 градусов равен 180-121=59 градусов

Больший из неизвестных углов 143 градусов

Ответ: 143

содержание .. 36 37 38 39 ..