ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 14

Задание №2722

Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 44 и 36 . Рассчитайте среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 80 / 2 = 40

Ответ: 40

Задание №2970

Дана трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 103. Рассчитайте длину средней линии трапеции

Решение

Периметр - сумма сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 103 / 4 = 25,75

Ответ: 25,75

Задание №2896

Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 456. Рассчитайте диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, значит:

AB / 6 = P / 6 =456 / 6 = 76

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*76=152

Ответ: 152

Задание №5736

Дана равнобедренненная трапеция. Её основания равны 96 и 24. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Рассчитайте боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=60

Ответ: 60

Задание №2119

Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 76+38√2 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=38

Ответ: 38

Задание №1039

Дан равнобедренный треугольник. Окружность, вписанная в треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 39 и 11, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=11

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=100+22=122

Ответ: 122

Задание №5477

Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 41° и 136°. Рассчитайте больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов

угол противоположный углу 41 градусов равен 180-41=139 градусов

угол противоположный углу 136 градусов равен 180-136=44 градусов

Больший из неизвестных углов 139 градусов

Ответ: 139

Задание №4822

В треугольнике ABC AC=12, BC=35, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=5

Ответ: 5

Задание №2247

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 152. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Рассчитайте площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=76

Ответ: 76

Задание №4963

Площадь параллелограмма ABCD равна 141. Точка E – середина стороны CD. Вычислите площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=35,25

Ответ: 35,25

Задание №3301

Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 85, большая боковая сторона равна 38 . Рассчитайте радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 2,25

Ответ: 2,25

Задание №1620

Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, периметр = 284, стророна AB= 69 . Найдите длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=73

Ответ: 73

Задание №3134

Основания равнобедренной трапеции равны 48 и 40. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции

Решение

Построим высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=15

HO=7

Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=15+7=22

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 22

Задание №4217

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона CD= 103, AB= 111 . Вычислите периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 428

Ответ: 428

Задание №3619

Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 24, BC=6, CD=46. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=24+46-6=64

Ответ: 64

Задание №1884

Площадь параллелограмма ABCD равна 126. Точка E – середина стороны BC. Рассчитайте площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=94,5

Ответ: 94,5

Задание №2988

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 150, основание равно 180 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=10800

Подствавим значения и найдём полупериметр P=240

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=10800/240=45

Ответ: 45

Задание №3301

Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 156°. Найдите число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=156

180*n – 360 = 156 * n

n=15

Ответ: 15

Задание №3648

Дана окружность, вписанная в треугольник ABC, к которой проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 20, 51, 74. Рассчитайте периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=20+51+74=145

Ответ: 145

Задание №1110

Площадь треугольника АВС равна 148. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Вычислите площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=111

Ответ: 111

содержание .. 12 13 14 15 ..