содержание .. 11 12 13 14 ..
ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 13
Задание №4067
Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 35, BC=11, CD=82. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=35+82-11=106 Ответ: 106
Задание №5358
Основания равнобедренной трапеции равны 40 и 30. Радиус описанной окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции
Решение
Сделаем построение, проведем высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=20 HO=15 Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=20+15=35 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 35
Задание №3253
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 66. Найдите длину средней линии трапеции
Решение
Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 66 / 4 = 16,5 Ответ: 16,5
Задание №2032
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона CD= 53, AB= 61 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 228 Ответ: 228
Задание №2549
Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 60°. Вычислите число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=60 180*n – 360 = 60 * n n=3 Ответ: 3
Задание №5013
В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 44 и 17, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=17 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=122+34=156 Ответ: 156
Задание №2303
Площадь параллелограмма ABCD равна 136. Точка E – середина стороны CD. Рассчитайте площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=34 Ответ: 34
Задание №4349
Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 110, основание равно 132 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=5808 Подствавим значения и найдём полупериметр P=176 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=5808/176=33
Ответ: 33
Задание №2613
Площадь параллелограмма ABCD равна 141. Середина стороны BC - точка E. Рассчитайте площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=105,75 Ответ: 105,75
Задание №5193
Площадь параллелограмма ABCD равна 112. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Вычислите площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=56 Ответ: 56
Задание №4341
Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 426. Найдите диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, значит: AB / 6 = P / 6 =426 / 6 = 71 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*71=142 Ответ: 142
Задание №1247
Основания равнобедренной трапеции равны 150 и 30. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=100 Ответ: 100
Задание №2832
Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 71, ее большая боковая сторона равна 28 . Рассчитайте радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 3,75 Ответ: 3,75
Задание №2238
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона AB= 55, периметр P= 232 . Вычислите длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=61 Ответ: 61
Задание №4880
Дана окружность, вписанная в треугольник ABC, к которой проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 30, 67, 100. Рассчитайте периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=30+67+100=197 Ответ: 197
Задание №4569
Площадь треугольника АВС равна 122. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=91,5 Ответ: 91,5
Задание №5120
Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 36° и 104°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов угол противоположный углу 36 градусов равен 180-36=144 градусов угол противоположный углу 104 градусов равен 180-104=76 градусов Больший из неизвестных углов 144 градусов Ответ: 144
Задание №1183
В треугольнике ABC AC=14, BC=48, угол C равен 90° . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=6 Ответ: 6
Задание №2598
У трапеции, описанной около окружности, боковые стороны равны 21 и 35 . Вычислите среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 56 / 2 = 28 Ответ: 28
Задание №1168
Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 14+7√2 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=7 Ответ: 7
содержание .. 11 12 13 14 ..