1        2         

 

 

 

 

 

 

  ЗАДАНИЕ N 1 
Тема: Асимптоты графика функции
Вертикальная асимптота графика функции  задается уравнением вида …

 

Решение:
Прямая  является вертикальной асимптотой графика функции , если эта функция определена в некоторой окрестности точки  и , или . Вертикальные асимптоты обычно сопутствуют точкам разрыва второго рода. Определим точки разрыва данной функции. Это точки, в которых знаменатель равен нулю, то есть , или , ,  Однако точки  и   не принадлежит области определения функции , имеющей вид .
Вычислим односторонние пределы функции  в точке :
 и .
Следовательно, прямая  будет вертикальной асимптотой.

 

  ЗАДАНИЕ N 2 
Тема: Область определения функции
Область определения функции  имеет вид …

 

Решение:
Данная функция определена, если определен , то есть , и подкоренное выражение в знаменателе положительно, то есть . Решив неравенство , получаем . Для решения неравенства  найдем предварительно корни уравнения , а именно  и . Тогда методом интервалов можем получить, что . Следовательно, область определения данной функции будет иметь вид .

 

  ЗАДАНИЕ N 3 
Тема: Производные первого порядка
Производная функции  равна …

 

Решение:

 

  ЗАДАНИЕ N 4 
Тема: Методы вычисления определенного интеграла
Определенный интеграл  равен …

 

Решение:
Для вычисления данного определенного интеграла произведем замену переменных: , , , и перейдем к новым пределам интегрирования: , .
Тогда
.

 

  ЗАДАНИЕ N 5 
Тема: Статистическое распределение выборки
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема :



Тогда частота варианты  в выборке равна …

			28
			63
			42
			35

 

Решение:
Вычислим предварительно относительную частоту варианты  как . Тогда из определения относительной частоты , получаем, что .

 

  ЗАДАНИЕ N 6 
Тема: Проверка статистических гипотез
Соотношением вида  можно определить …

			двустороннюю критическую область
			правостороннюю критическую область
			левостороннюю критическую область
			область принятия гипотезы

 

Решение:
Данное соотношение определяет двустороннюю критическую область, так как двусторонней называют критическую область, определяемую, например, соотношением вида , где   – положительное число, а – уровень значимости.

 

  ЗАДАНИЕ N 7 
Тема: Интервальные оценки параметров распределения
Точечная оценка вероятности биномиально распределенного количественного признака равна 0,38. Тогда его интервальная оценка может иметь вид …

 

Решение:
Интервальная оценка  вероятности  биномиально распределенного количественного признака симметрична относительно его точечной оценки, и . Таким свойствам удовлетворяет интервал  .

 

  ЗАДАНИЕ N 8 
Тема: Точечные оценки параметров распределения
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема :

Тогда выборочное среднее квадратическое отклонение равно …

 

Решение:
Выборочное среднее квадратическое отклонение вычисляется как , где
. Тогда
,
и 

 

  ЗАДАНИЕ N 9 
Тема: Полярные координаты на плоскости
В полярной системе координат дана точка . Тогда расстояние от нее до полярной оси равно …

			4
			8
			16
			2

 

Решение:
Расстояние от точки  до полярной оси определяется длиной перпендикуляра, опущенного из нее на ось. Рассмотрим прямоугольный треугольник , где  – полюс,  – основание перпендикуляра. Тогда длина перпендикуляра   будет равна: .

 

  ЗАДАНИЕ N 10 
Тема: Плоскость в пространстве
Нормальное уравнение плоскости  имеет вид …

 

Решение:
Нормальное уравнение плоскости имеет вид: 
,
где , ,  – направляющие косинусы нормали плоскости, направленной из начала координат в сторону плоскости;  – расстояние от начала координат до плоскости.
Общее уравнение плоскости  приводится к нормальному виду умножением на нормирующий множитель , знак которого берется противоположным знаку свободного члена .
Тогда  и искомое уравнение имеет вид:
.

 

  ЗАДАНИЕ N 11 
Тема: Прямая линия в пространстве
Прямая  пересекает ось  при значении параметра m, равном …

			– 4
			6
			4
			– 6

 

Решение:
Искомая точка имеет координаты  и удовлетворяет системе .
Подставляя координаты точки  в данную систему, получаем .

 

  ЗАДАНИЕ N 12 
Тема: Кривые второго порядка
Фокусы эллипса имеют координаты  и , а его эксцентриситет равен 0,6. Тогда каноническое уравнение эллипса имеет вид …

 

Решение:
Каноническое уравнение эллипса имеет вид ; фокусы эллипса имеют координаты  и , где , а эксцентриситет . 
Тогда , , . 
Следовательно, получаем уравнение .

 

  ЗАДАНИЕ N 13 
Тема: Неориентированные графы
Из представленных графов полным является граф …

 

Решение:
Полным называют граф без петель и кратных ребер, в котором любые две вершины соединены ребром, то есть, например, граф

 

  ЗАДАНИЕ N 14 
Тема: Отношения между множествами
Бинарному отношению кратности элементов, заданному на множестве чисел  соответствует орграф…

 

Решение:
Так как множество состоит из восьми элементов, то орграф имеет 8 вершин, соответствующих элементам множества, то есть вершина  соответствует элементу 2, …, вершина  соответствует элементу 9. Дуга от вершины  к вершине , означает 4 кратно 2, причем каждый элемент кратен себе, значит, каждая вершина имеет петлю. Тогда соответствующий орграф имеет вид:

 

  ЗАДАНИЕ N 15 
Тема: Операции над высказываниями
На вопрос, кто из трех учащихся изучал логику, был получен правильный ответ: если изучал первый, то изучал и второй, но неверно, что если изучал третий, то изучал и второй. Тогда логику …

			изучал третий учащийся
			изучал второй учащийся
			изучал первый учащийся
			никто из учащихся не изучал

 

Решение:
Обозначим через  a, b, c  высказывания, состоящие соответственно в том, что первый, второй, третий учащиеся изучали логику. Запишем условие задачи с помощью  a, b, c  и логических операций. Получим выражение . Известно, что это высказывание истинно. Составим таблицу истинности полученного выражения:

Только в предпоследней строке получившееся выражение принимает истинное значение, а все остальные значения ложны. При этом высказывания a и b ложны, а c – истинно. Значит, логику изучал только третий учащийся.

 

  ЗАДАНИЕ N 16 
Тема: Отображения
Пусть , . Тогда геометрический образ представляет собой …

			окружность
			синусоиду
			прямую
			параболу

 

Решение:
Так как , и , то образ представляет собой единичную окружность с центром в начале координат.

 

  ЗАДАНИЕ N 17 
Тема: Определение вероятности
Игральная кость бросается два раза. Тогда вероятность того, что сумма выпавших очков – десять, равна …

			0

 

Решение:
Для вычисления события  (сумма выпавших очков будет равна десяти) воспользуемся формулой , где  – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события  A. В нашем случае возможны  элементарных исходов испытания, из которых благоприятствующими являются исходы вида ,  и , то есть . Следовательно, .

 

  ЗАДАНИЕ N 18 
Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
В первой урне 6 черных шаров и 4 белых шара. Во второй урне 2 белых и 8 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар, который оказался белым. Тогда вероятность того, что этот шар вынули из первой урны, равна …

 

Решение:
Предварительно вычислим вероятность события  A (вынутый наудачу шар – белый) по формуле полной вероятности: . Здесь  – вероятность того, что шар извлечен из первой урны;  – вероятность того, что шар извлечен из второй урны;  – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если он извлечен из первой урны;  – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если он извлечен из второй урны.
Тогда .
Теперь вычислим условную вероятность того, что этот шар был извлечен из первой урны, по формуле Байеса:
.

 

  ЗАДАНИЕ N 19 
Тема: Числовые характеристики случайных величин
Дискретная случайная величина  X  задана законом распределения вероятностей:

Тогда ее дисперсия равна …

			7,56
			3,2
			3,36
			6,0

 

Решение:
Дисперсию дискретной случайной величины  можно вычислить по формуле . Тогда .

 

  ЗАДАНИЕ N 20 
Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Дискретная случайная величина  задана законом распределения вероятностей:

Тогда ее функция распределения вероятностей имеет вид …

 

Решение:
По определению .
Тогда
а) при  ,  ,
б) при  ,  ,
в) при  ,  ,
г) при  ,  .
Следовательно, 

 

  ЗАДАНИЕ N 21 
Тема: Группы и подгруппы
Группу по умножению образует множество …

			действительных чисел без нуля
			действительных чисел
			целых чисел
			натуральных чисел с нулем

 

Решение:
Группу образует множество действительных чисел без нуля с введенной операцией умножения чисел. Все остальные множества групп не образуют, так как, например, нуль не имеет обратного элемента.

 

  ЗАДАНИЕ N 22 
Тема: Основные алгебраические структуры
Для кольца   множество , рассматриваемое с одной алгебраической операцией сложения, представляет собой …

			абелеву группу
			поле
			целостное кольцо
			область целостности

 

Решение:
Для кольца   множество , рассматриваемое с одной алгебраической операцией сложения, представляет собой абелеву группу.

 

  ЗАДАНИЕ N 23 
Тема: Линейные отображения
Образом вектора  при линейном преобразовании, заданном матрицей , является вектор …

 

Решение:
Так как образ  вектора  определяется по формуле: , то .

 

  ЗАДАНИЕ N 24 
Тема: Алгебраические операции
Бинарной операцией на множестве квадратных матриц порядка n является …

			сложение матриц
			вычисление определителя
			нахождение ранга матрицы
			умножение матрицы на число

 

Решение:
Операция называется бинарной на множестве , если любым двум элементам множества  ставится в соответствие один и только один элемент множества .«Вычисление определителя», «нахождение ранга матрицы», «умножение матрицы на число» являются отображениями, но не являются операциями. А «сложение матриц» – это операция над двумя матрицами, в результате которой получается матрица. То есть «сложение матриц» является бинарной операцией.

 

  ЗАДАНИЕ N 25 
Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей
Уравнение касательной плоскости к эллиптическому параболоиду  в точке  имеет вид …

 

Решение:
Для функции вида  уравнение касательной плоскости имеет вид 
Найдем частные производные функции :
;
Тогда уравнение касательной плоскости примет вид:

Получим

 

  ЗАДАНИЕ N 26 
Тема: Основные понятия топологии
Тривиальная топологическая структура на множестве  задается множеством …

 

Решение:
Множество  подмножеств данного множества задает топологию, если выполняются следующие свойства:
– пустое множество и данное множество входят в ;
– объединение любого числа и пересечение конечного числа подмножеств из  снова принадлежит .
А тривиальная топологическая структура состоит из пустого множества и самого множества , то есть верным будет ответ: .

 

  ЗАДАНИЕ N 27 
Тема: Кривизна плоской кривой
Количество точек распрямления кривой  принадлежащих отрезку  равно …

			3
			0
			2
			1

 

Решение:
Точки, в которых кривизна равна нулю называют точками распрямления кривой.
Вычислим кривизну этой кривой; 
Так как , то
 и .
Получаем точки .
Следовательно, на отрезке  имеем три точки: ; ; .

 

  ЗАДАНИЕ N 28 
Тема: Дифференциальная геометрия кривых
Уравнение касательной к циклоиде  в точке  имеет вид …

 

Решение:
В точке  . Найдем производные:  
Тогда  
Подставляя полученные данные в уравнение касательной , получим , или .

 

  ЗАДАНИЕ N 29 
Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка
Решение задачи Коши , имеет вид …

 

Решение:
Запишем уравнение в виде . Проинтегрировав обе части, получим: . 
Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид . Для вычисления значения  подставим в найденное общее решение начальное условие . 
Тогда  и . Следовательно, частное решение имеет вид .

 

  ЗАДАНИЕ N 30 
Тема: Типы дифференциальных уравнений
Уравнение  является …

			уравнением Бернулли
			линейным дифференциальным уравнением первого порядка
			дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными
			однородным относительно  и  дифференциальным уравнением первого порядка

 

Решение:
Уравнение  можно представить в виде , где . 
Действительно, . Поэтому данное уравнение является уравнением Бернулли.

 

  ЗАДАНИЕ N 31 
Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Общее решение системы дифференциальных уравнений  имеет вид …

			,
			,
			,
			,

 

Решение:
Продифференцируем дважды первое уравнение системы по : . Подставив  из второго уравнения, получим линейное однородное дифференциальное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами . Характеристическое уравнение  имеет два действительных корня  и два комплексно сопряженных корня . 
Таким корням соответствует общее решение однородного дифференциального уравнения . 
Найдя производные первого и второго порядков и подставив в уравнение , получим: .
Значит, общее решение системы уравнений имеет вид: , .

 

  ЗАДАНИЕ N 32 
Тема: Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
Общее решение дифференциального уравнения  при  имеет вид …

			,
			,
			,

 

Решение:
Для решения дифференциального уравнения  необходимо сделать замену , . Тогда порядок этого уравнения понизится на одну единицу и оно примет вид , . 
Решим это уравнение: , , ,  и , где . 
Следовательно, .

 

  ЗАДАНИЕ N 33 
Тема: Мера плоского множества
Плоская мера множества  равна …

			0
			32
			8
			18

 

Решение:
Множество  задает дугу кривой, ее плоская мера равна нулю.

 

  ЗАДАНИЕ N 34 
Тема: Метрические пространства
Функция , где   и , …

			не удовлетворяет аксиоме треугольника
			не удовлетворяет аксиоме симметрии
			не удовлетворяет аксиоме тождества
			удовлетворяет всем трем аксиомам метрического пространства

 

Решение:
Функция , где   и ,  не удовлетворяет аксиоме треугольника, например, для точек (-1, -1), (0, 0) и (1, 1).

 

  ЗАДАНИЕ N 35 
Тема: Отображение множеств
Прообразом множества  при отображении  является …

 

Решение:
Прообразом множества  при отображении  являются те точки , которые при данном отображении попадают в . В нашем случае это множество .

 

  ЗАДАНИЕ N 36 
Тема: Элементы теории множеств
Даны три множества: ,  и . Тогда число элементов множества  равно …

5 |

 

Решение:
Выполним операцию в скобках, то есть определим множество . Теперь выполним объединения , в результате которого получится множество чисел . Таким образом, множество  содержит пять элементов.

 

  ЗАДАНИЕ N 37 
Тема: Особые точки функции комплексного переменного
Для функции  точка  является …

			полюсом третьего порядка
			полюсом второго порядка
			полюсом первого порядка
			существенно особой точкой

 

Решение:
Порядок полюса функции вида  равен порядку нуля .
Так как , то точка  будет полюсом третьего порядка.

 

  ЗАДАНИЕ N 38 
Тема: Комплексные числа и их представление
Комплексное число задано в тригонометрической форме . Тогда его показательная форма записи имеет вид …

 

Решение:
Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид , а показательная – . Так как ,
а главное значение аргумента , то .

 

  ЗАДАНИЕ N 39 
Тема: Области на комплексной плоскости
Все точки  комплексной плоскости, принадлежащие множеству , изображенному на рисунке:



удовлетворяют условию …

 

Решение:
Множество , изображенное на рисунке, ограничено прямыми . 
Для комплексного числа :  – действительная часть ,  – мнимая часть , угол наклона прямой  к оси  равен . 
Следовательно, комплексные числа , принадлежащие множеству , должны удовлетворять условиям .

 

  ЗАДАНИЕ N 40 
Тема: Определение функции комплексного переменного
Дана функция . Тогда  равно …

 

Решение:
Если ,то . Тогда .