Математика, статистика, логика, тригонометрия. Тесты с ответами (2020 год) - вариант 3

 ЗАДАНИЕ N 1 
Тема: Операции над высказываниями
Отрицание высказывания «» равносильно высказыванию …

			«»
			«»
			«»
			«»

 

  ЗАДАНИЕ N 2 
Тема: Отношения между множествами
Даны множества  и , тогда количество пар, удовлетворяющих бинарному отношению  равно …

			6
			4
			7
			12

 

Решение:
Так как , то  V содержит 6 пар.

 

  ЗАДАНИЕ N 3 
Тема: Неориентированные графы
Эйлеровым является граф …

 

Решение:
Эйлеровым называют граф содержащий эйлеров цикл. Цикл называется эйлеровым, если он простой и содержит все ребра графа.
Критерий эйлеровости графа: граф называется Эйлеровым тогда и только тогда, когда степени всех его вершин четные.
Из представленных графов только граф

имеет четные степени всех вершин.

 

  ЗАДАНИЕ N 4 
Тема: Отображения
Отображение  действует по правилу . Тогда  имеет вид …

			[0; 1]
			[0; sin 2]
			[0; sin 2)
			(0; 1)

 

Решение:
На отрезке  функция  непрерывна и монотонно возрастает от 0 до 1. На промежутке  данная функция принимает положительные значения, не превосходящие единицу. Поэтому [0; 1].

 

  ЗАДАНИЕ N 5 
Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Решение задачи Коши , , имеет вид …

 

Решение:
Решим систему дифференциальных уравнений методом исключения. 
Из второго уравнения находим производную  и после подстановки в первое уравнение системы получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами . 
Характеристическое уравнение  имеет два действительных корня: . 
Таким корням соответствует общее решение однородного дифференциального уравнения . Дифференцируя полученное решение, находим . 
Тогда общее решение системы уравнений имеет вид .
Найдем значения произвольных постоянных  и , соответствующих исходной задаче Коши, подставляя начальные условия в общее решение. Получим систему уравнений  или . 
Решая эту систему, находим значения постоянных величин . 
Поэтому решение задачи Коши имеет вид .

 

  ЗАДАНИЕ N 6 
Тема: Типы дифференциальных уравнений
Уравнение  является …

			уравнением в полных дифференциалах
			уравнением с разделяющимися переменными
			линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка
			однородным относительно  и  дифференциальным уравнением первого порядка

 

Решение:
Данное уравнение можно представить в виде . 
Обозначим , . 
Тогда , то есть . 
Следовательно, это уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

 

  ЗАДАНИЕ N 7 
Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка
Частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию , имеет вид …

 

Решение:
Введем замену ; . Тогда уравнение  примет вид , или . 
Пусть . Тогда . Подставим найденное значение  в уравнение . Получим: , то есть  и . 
Общее решение примет вид . Подставив начальное условие, получим . 
Откуда  и частное решение будет иметь вид .

 

  ЗАДАНИЕ N 8 
Тема: Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
Частное решение дифференциального уравнения  может иметь вид …

 

Решение:
Проинтегрируем последовательно обе части уравнения три раза: , , .
То есть общее решение примет вид . Тогда частное решение может иметь вид , при .

 

  ЗАДАНИЕ N 9 
Тема: Прямая линия в пространстве
Параметрические уравнения прямой, параллельной оси  и проходящей через точку  имеют вид …

 

Решение:
Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку  с направляющим вектором , имеют вид . 
За направляющий вектор прямой можно взять . 
Тогда  или .

 

  ЗАДАНИЕ N 10 
Тема: Полярные координаты на плоскости
Полярные координаты точки, симметричной точке  относительно полюса, равны …

 

Решение:
Полярные координаты  точки, симметричной точке  относительно полюса, отличаются полярным углом и записываются в виде , или .

 

  ЗАДАНИЕ N 11 
Тема: Плоскость в пространстве
Плоскость проходит через точку  и отсекает на осях абсцисс и ординат в положительных направлениях отрезки длины 3 и 5 соответственно. Тогда общее уравнение плоскости имеет вид …

 

Решение:
Уравнение плоскости «в отрезках» имеет вид , где  – длины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях ,  и  соответственно. Подставим в это уравнение значения ,  и координаты точки : . 
Тогда  и общее уравнение плоскости примет вид .

 

  ЗАДАНИЕ N 12 
Тема: Кривые второго порядка
Радиус окружности  равен …

			2
			4

 

Решение:
Окружность радиуса  с центром в точке  задается на плоскости уравнением вида . Выделим в уравнении  полные квадраты: , или . 
Тогда радиус окружности равен 2.

 

  ЗАДАНИЕ N 13 
Тема: Группы и подгруппы
Группу по сложению образует множество …

			целых чисел
			натуральных чисел
			натуральных чисел с нулем
			действительных чисел без нуля

 

Решение:
Множество целых чисел с введенной операцией сложения образует группу. Множество натуральных чисел не группа, так как, например,  не имеет противоположного элемента. А на множестве действительных чисел без нуля нет нулевого элемента.

 

  ЗАДАНИЕ N 14 
Тема: Алгебраические операции
Бинарной операцией на множестве квадратных матриц порядка n является …

			сложение матриц
			вычисление определителя
			нахождение ранга матрицы
			умножение матрицы на число

 

Решение:
Операция называется бинарной на множестве , если любым двум элементам множества  ставится в соответствие один и только один элемент множества .«Вычисление определителя», «нахождение ранга матрицы», «умножение матрицы на число» являются отображениями, но не являются операциями. А «сложение матриц» – это операция над двумя матрицами, в результате которой получается матрица. То есть «сложение матриц» является бинарной операцией.

 

  ЗАДАНИЕ N 15 
Тема: Основные алгебраические структуры
 является подалгеброй алгебры …

 

Решение:
 является подалгеброй алгебры , так как  и каждая главная операция является ограничением соответствующей операции на .

 

  ЗАДАНИЕ N 16 
Тема: Линейные отображения
Пусть  – базис пространства . Операторы  и этого пространства заданы матрицами ; . Тогда матрица оператора  равна …

 

Решение:

.

 

  ЗАДАНИЕ N 17 
Тема: Отображение множеств
Образом отрезка  при отображении  является отрезок …

 

Решение:
Образом множества  при отображении  являются те точки, в которые при данном отображении попадают точки отрезка . Так как , то  переводит исходный отрезок в отрезок .

 

  ЗАДАНИЕ N 18 
Тема: Мера плоского множества
Мера плоского множества , где  А= и  равна …

			4
			0
			1

 

Решение:
Мера плоского множества  равна площади соответствующей фигуры, то есть квадрата со стороной 2. Мера плоского множества  равна площади соответствующей фигуры, то есть круга с радиусом 1. Так как круг целиком лежит внутри квадрата, то искомая мера равна .

 

  ЗАДАНИЕ N 19 
Тема: Метрические пространства
Не может служить метрикой пространства  функция …

 

Решение:
Функция  не удовлетворяет аксиоме тождества, а значит, не может служить метрикой пространства ; все остальные функции являются частными случаями метрики  при ,  и .

 

  ЗАДАНИЕ N 20 
Тема: Элементы теории множеств
Даны два множества:  и . Тогда количество целых значений , принадлежащих разности множеств \, равно …

4 |

 

Решение:
Разностью множеств  и  является объединение промежутков  и , которое содержит четыре целых числа.

 

  ЗАДАНИЕ N 21 
Тема: Точечные оценки параметров распределения
В результате измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 15; 18; 21; 24. Тогда выборочная дисперсия равна …

			11,25
			19,5
			15
			21,25

 

Решение:
Выборочная дисперсия вычисляется по формуле
, где  . Вычислив предварительно , получаем
.

 

  ЗАДАНИЕ N 22 
Тема: Статистическое распределение выборки
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема , полигон относительных частот которой имеет вид:


Тогда число вариант  в выборке равно …

			37
			63
			100
			36

 

Решение:
Вычислим предварительно относительную частоту варианты  как . Тогда из определения относительной частоты , получаем, что .

 

  ЗАДАНИЕ N 23 
Тема: Проверка статистических гипотез
Для проверки нулевой гипотезы  при заданном уровне значимости  выдвинута конкурирующая гипотеза . Тогда область принятия гипотезы может иметь вид …

 

Решение:
Область принятия гипотезы в данном случае определяется соотношением вида . Таким соотношением является, например .

 

  ЗАДАНИЕ N 24 
Тема: Интервальные оценки параметров распределения
Дан доверительный интервал  для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда точечная оценка математического ожидания равна …

			36,62
			36,52
			9,12
			73,24

 

Решение:
Интервальная оценка математического ожидания нормально распределенного количественного признака представляет собой интервал, симметричный относительно точечной оценки. Тогда точечная оценка будет равна .

 

  ЗАДАНИЕ N 25 
Тема: Асимптоты графика функции
Наклонная  асимптота графика функции  задается уравнением вида …

			, при
			, при
			, при
			, при

 

Решение:
Прямая  является наклонной асимптотой графика функции  при  (), если существуют конечные пределы:
,  , или, соответственно:
,  .
Вычислим эти пределы:
, 
.
Следовательно, прямая   является наклонной асимптотой графика данной функции при .
, 
То есть при  наклонной асимптоты у графика данной функции нет.

 

  ЗАДАНИЕ N 26 
Тема: Методы вычисления определенного интеграла
Несобственный интеграл  …

			равен
			равен
			расходится
			равен

 

Решение:
Для вычисления данного несобственного интеграла применим обобщенную формулу Ньютона – Лейбница вида: , где  – первообразная функции  . 
Вычислим предварительно неопределенный интеграл:
.
Тогда
.

 

  ЗАДАНИЕ N 27 
Тема: Область определения функции
Область определения функции  имеет вид …

 

Решение:
Данная функция определена, если, во-первых,  определен , а во-вторых, знаменатель дроби не равен нулю, то есть  . Тогда

Окончательно получаем: .

 

  ЗАДАНИЕ N 28 
Тема: Производные первого порядка
Производная функции  равна …

 

Решение:
Предварительно прологарифмируем данную функцию:
, и продифференцируем обе части полученного равенства
. 
Тогда .

 

  ЗАДАНИЕ N 29 
Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
Имеются три урны, содержащие по 5 белых и 5 черных шаров, и семь урн, содержащих по 6 белых и 4 черных шара. Из наудачу взятой урны вытаскивается один шар. Тогда вероятность того, что этот шар белый, равна …

			0,57
			0,43
			0,55
			0,53

 

Решение:
Для вычисления вероятности события  A (вынутый наудачу шар – белый) применим формулу полной вероятности: . Здесь  – вероятность того, что шар извлечен из первой серии урн;  – вероятность того, что шар извлечен из второй серии урн;  – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из первой серии урн;  – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из второй серии урн.
Тогда .

 

  ЗАДАНИЕ N 30 
Тема: Числовые характеристики случайных величин
Непрерывная случайная величина  задана функцией распределения вероятностей:

Тогда ее дисперсия равна …

 

Решение:
Эта случайная величина распределена равномерно в интервале . Тогда ее дисперсию можно вычислить по формуле . То есть .

 

  ЗАДАНИЕ N 31 
Тема: Определение вероятности
Из урны, в которой находятся 6 белых шаров и 4 черных шара, вынимают одновременно 4 шара. Тогда вероятность того, что среди отобранных 3 шара будут белыми, равна …

 

Решение:
Для вычисления события  (среди отобранных шаров три шара будут белыми) воспользуемся формулой , где n – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A. В нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь четыре шара из десяти имеющихся, то есть . А общее число благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три белых шара из шести и один черный шар из четырех, то есть . Следовательно,  

 

  ЗАДАНИЕ N 32 
Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Дискретная случайная величина  задана законом распределения вероятностей:

Тогда значения  a  и  b  могут быть равны …

 

Решение:
Так как сумма вероятностей возможных значений  равна 1, то . Этому условию удовлетворяет ответ: .

 

  ЗАДАНИЕ N 33 
Тема: Области на комплексной плоскости
Все точки  комплексной плоскости, принадлежащие множеству , изображенному на рисунке:



удовлетворяют условию …

 

Решение:
Множество , изображенное на рисунке, ограничено прямыми  и . Для комплексного числа  угол наклона прямой  к оси  равен , а прямой , равен . Следовательно, комплексные числа , принадлежащие множеству , должны удовлетворять условиям .

 

  ЗАДАНИЕ N 34 
Тема: Комплексные числа и их представление
Главное значение аргумента комплексного числа  равно …

 

Решение:
Если комплексное число записано в форме , то аргумент  определяется из системы уравнений: . 
В нашем случае  и . Тогда 
 и главное значение аргумента равно .

 

  ЗАДАНИЕ N 35 
Тема: Определение функции комплексного переменного
Если , то мнимая часть логарифма  равна …

 

Решение:
Если , то логарифм . Тогда , где главное значение аргумента  находится из системы . В нашем случае , то есть .

 

  ЗАДАНИЕ N 36 
Тема: Особые точки функции комплексного переменного
Для функции  точка  является …

			полюсом второго порядка
			полюсом третьего порядка
			полюсом первого порядка
			существенно особой точкой

 

Решение:
Порядок полюса функции вида  равен порядку нуля . 
Имеем , 
поэтому точка  будет полюсом второго порядка.

 

  ЗАДАНИЕ N 37 
Тема: Дифференциальная геометрия кривых
Траектория движущейся точки задается уравнением 
Тогда значение касательного ускорения в момент   равно …

			0
			2

 

Решение:
Касательное ускорение на параметрически заданной кривой вычисляется как 
. 
Вычислим производные первого и второго порядка.
 

Найдем , при любых значениях .

 

  ЗАДАНИЕ N 38 
Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей
Точка с координатами  на поверхности  является …

			гиперболической точкой
			параболической точкой
			эллиптической точкой
			точкой уплощения

 

Решение:
Тип точки на поверхности определяется по виду соприкасающегося параболоида в этой точке к поверхности.
Построим соприкасающийся параболоид:
.
Вычислим частные производные второго порядка:
;  ;  .
В точке  ;  ;  .
Тогда соприкасающийся параболоид , или  является гиперболическим параболоидом, а сама точка относится к гиперболическому типу.

 

  ЗАДАНИЕ N 39 
Тема: Основные понятия топологии
Тривиальная топологическая структура на множестве  задается множеством …

 

Решение:
Множество  подмножеств данного множества задает топологию, если выполняются следующие свойства:
– пустое множество и данное множество входят в ;
– объединение любого числа и пересечение конечного числа подмножеств из  снова принадлежит .
А тривиальная топологическая структура состоит из пустого множества и самого множества , то есть верным будет ответ: .

 

  ЗАДАНИЕ N 40 
Тема: Кривизна плоской кривой
Если  кривизна эллипса  в точке , а  – в точке , то произведение  равно …

 

Решение:
В точке  кривизна эллипса равна; .
А в точке  -
.
Тогда .