Математика, статистика, логика, тригонометрия. Тесты с ответами (2020 год) - вариант 2

 

 ЗАДАНИЕ N 1 
Тема: Особые точки функции комплексного переменного
Для функции  точка  является …

			полюсом второго порядка
			полюсом третьего порядка
			полюсом первого порядка
			существенно особой точкой

 

  ЗАДАНИЕ N 2 
Тема: Определение функции комплексного переменного
Если  и  – комплексно-сопряженные числа, то действительная часть функции , при , будет равна …

 

Решение:
Если , то . Тогда ,
и действительная часть будет равна .

 

  ЗАДАНИЕ N 3 
Тема: Области на комплексной плоскости
Все точки  комплексной плоскости, принадлежащие множеству , изображенному на рисунке:



удовлетворяют условию …

 

Решение:
Множество , изображенное на рисунке, ограничено прямыми . 
Для комплексного числа  угол наклона прямой  к оси  равен . Следовательно, комплексные числа , принадлежащие множеству , должны удовлетворять условиям .

 

  ЗАДАНИЕ N 4 
Тема: Комплексные числа и их представление
Комплексное число задано в тригонометрической форме . Тогда его показательная форма записи имеет вид …

 

Решение:
Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид , а показательная – . Так как ,
а главное значение аргумента , то .

 

  ЗАДАНИЕ N 5 
Тема: Интервальные оценки параметров распределения
Дан доверительный интервал  для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда точность этой оценки равна …

			1,12
			0,01
			2,24
			13,56

 

Решение:
Точность интервальной оценки  определяется как , то есть .

 

  ЗАДАНИЕ N 6 
Тема: Статистическое распределение выборки
Статистическое распределение выборки имеет вид

Тогда объем выборки равен …

			67
			40
			5
			107

 

Решение:
Объем выборки вычисляется по формуле , где   – частота варианты . Тогда .

 

  ЗАДАНИЕ N 7 
Тема: Проверка статистических гипотез
Соотношением вида  можно определить …

			левостороннюю критическую область
			правостороннюю критическую область
			двустороннюю критическую область
			область принятия гипотезы

 

Решение:
Данное соотношение определяет левостороннюю критическую область, так как левосторонней называют критическую область, определяемую соотношением , где  – положительное число, а – уровень значимости.

 

  ЗАДАНИЕ N 8 
Тема: Точечные оценки параметров распределения
В результате измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 15; 18; 21; 24. Тогда выборочная дисперсия равна …

			11,25
			19,5
			15
			21,25

 

Решение:
Выборочная дисперсия вычисляется по формуле
, где  . Вычислив предварительно , получаем
.

 

  ЗАДАНИЕ N 9 
Тема: Прямая линия в пространстве
Параметрические уравнения прямой, параллельной оси  и проходящей через точку  имеют вид …

 

Решение:
Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку  с направляющим вектором , имеют вид . 
За направляющий вектор прямой можно взять . 
Тогда  или .

 

  ЗАДАНИЕ N 10 
Тема: Кривые второго порядка
Уравнением кривой второго порядка  на плоскости определяется …

			эллипс
			гипербола
			парабола
			пара пересекающихся прямых

 

Решение:
Выделим в уравнении  полный квадрат по переменной : , или . Разделив обе части этого уравнения на 10, получим уравнение вида: , которое на плоскости определяет эллипс.

 

  ЗАДАНИЕ N 11 
Тема: Плоскость в пространстве
Уравнение плоскости, проходящей через точку  параллельно векторам  и , имеет вид …

 

Решение:
Уравнение плоскости, проходящей через точку  с нормальным вектором , имеет вид: . В качестве нормального вектора плоскости возьмем векторное произведение векторов  и . Тогда , или . Подставляя в уравнение плоскости координаты точки  и вектора , получим:  или .

 

  ЗАДАНИЕ N 12 
Тема: Полярные координаты на плоскости
Точка  задана в прямоугольной системе координат. Тогда ее полярные координаты равны …

			,
			,
			,
			,

 

Решение:
Полярные координаты  точки , заданной прямоугольными координатами  находятся по формулам , . То есть , , учитывая, что точка  лежит в четвертой четверти.

 

  ЗАДАНИЕ N 13 
Тема: Типы дифференциальных уравнений
Уравнение  является …

			линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка
			однородным относительно  и  дифференциальным уравнением первого порядка
			уравнением Бернулли
			дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными

 

Решение:
Уравнение  может быть сведено к уравнению вида . Действительно, , поэтому данное уравнение является дифференциальным линейным уравнением первого порядка.

 

  ЗАДАНИЕ N 14 
Тема: Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
Общее решение дифференциального уравнения  имеет вид …

 

Решение:
Проинтегрируем последовательно обе части уравнения четыре раза: ;
;
;

То есть общее решение можно записать в виде 

 

  ЗАДАНИЕ N 15 
Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка
Решение задачи Коши , имеет вид …

 

Решение:
Запишем уравнение в виде . Проинтегрировав обе части, получим: . 
Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид . Для вычисления значения  подставим в найденное общее решение начальное условие . 
Тогда  и . Следовательно, частное решение имеет вид .

 

  ЗАДАНИЕ N 16 
Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Решение задачи Коши , , имеет вид …

 

Решение:
Решим систему дифференциальных уравнений методом исключения. 
Из второго уравнения находим , откуда и после подстановки в первое уравнение системы получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами . Характеристическое уравнение  имеет кратные действительные корни:. Таким корням соответствует общее решение однородного дифференциального уравнения .
Дифференцируя полученное решение, находим 
Тогда общее решение системы уравнений имеет вид .
Найдём значения произвольных постоянных  и , соответствующих исходной задаче Коши, подставляя начальные условия в общее решение. Получим систему уравнений  или . 
Решая эту систему, находим значения постоянных величин . 
Поэтому решение задачи Коши имеет вид: .

 

  ЗАДАНИЕ N 17 
Тема: Мера плоского множества
Мера плоского множества, изображенного на рисунке,
 
равна …

			0

 

Решение:
Мера плоского множества равна площади соответствующей фигуры, то есть для ее определения из площади квадрата со стороной 4 нужно вычесть площадь четвертой части круга радиуса 4. Следовательно, мера этого множества равна .

 

  ЗАДАНИЕ N 18 
Тема: Метрические пространства
Функция , где  – действительные числа, …

			удовлетворяет всем трем аксиомам метрического пространства
			не удовлетворяет аксиоме тождества
			не удовлетворяет аксиоме симметрии
			не удовлетворяет аксиоме треугольника

 

Решение:
Функция , где  – действительные числа, удовлетворяет всем трем аксиомам метрического пространства.

 

  ЗАДАНИЕ N 19 
Тема: Элементы теории множеств
Даны два множества:  и . Тогда количество целых значений , принадлежащих объединению множеств  и , равно …

8 |

 

Решение:
Объединением множеств  и  является промежуток , который содержит восемь целых чисел.

 

  ЗАДАНИЕ N 20 
Тема: Отображение множеств
Образом отрезка  при отображении  является отрезок …

 

Решение:
Образом множества  при отображении  являются те точки, в которые при данном отображении попадают точки отрезка . Так как , то  переводит исходный отрезок в отрезок .

 

  ЗАДАНИЕ N 21 
Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Дискретная случайная величина  задана законом распределения вероятностей:

Тогда вероятность  равна  …

			0,8
			0,3
			0,7
			0,4

 

Решение:
.

 

  ЗАДАНИЕ N 22 
Тема: Числовые характеристики случайных величин
Дискретная случайная величина  X  задана законом распределения вероятностей:

Тогда ее математическое ожидание равно …

			4,6
			5,0
			3,0
			4,9

 

Решение:
Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле . Тогда  .

 

  ЗАДАНИЕ N 23 
Тема: Определение вероятности
Игральная кость бросается два раза. Тогда вероятность того, что сумма выпавших очков – семь, а разность – три, равна …

			0

 

Решение:
Для вычисления события  (сумма выпавших очков будет равна семи, а разность – трем) воспользуемся формулой , где n – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события  A. В нашем случае возможны  элементарных исходов испытания, из которых благоприятствующими являются исходы вида  и , то есть . Следовательно, .

 

  ЗАДАНИЕ N 24 
Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
В первой урне 5 черных и 6 белых шаров. Во второй урне 3 белых шара и 6 черных шаров. Из первой урны переложили один шар во вторую урну. Тогда вероятность того, что шар, вынутый наудачу из второй урны, будет черным, равна …

 

Решение:
Для вычисления вероятности события  A (вынутый наудачу шар – черный) применим формулу полной вероятности: . Здесь  – вероятность того, что из первой урны переложили во вторую урну белый шар;  – вероятность того, что из первой урны переложили во вторую урну черный шар;  – условная вероятность того, что вынутый шар черный, если из первой урны во вторую был переложен белый шар;  – условная вероятность того, что вынутый шар черный, если из первой урны во вторую был переложен черный шар.
Тогда .

 

  ЗАДАНИЕ N 25 
Тема: Алгебраические операции
Унарной операцией является …

			дополнение
			объединение
			пересечение
			симметрическая разность

 

Решение:
Операция называется унарной на множестве , если любому элементу множества  ставится в соответствие один и только элемент множества . Например, «дополнение», – это операция над множеством, в результате которой получается множество. «Объединение», «пересечение» и «симметрическая» разность – это бинарные операции, так как в результате этих операций двум множествам ставится в соответствие одно множество, являющееся результатом данной операции.

 

  ЗАДАНИЕ N 26 
Тема: Линейные отображения
Образом вектора  при линейном преобразовании, заданном матрицей , является вектор …

 

Решение:
Так как образ  вектора  определяется по формуле: , то .

 

  ЗАДАНИЕ N 27 
Тема: Группы и подгруппы
Подгруппой группы целых чисел с введенной операцией сложения является множество …

			четных целых чисел
			нечетных целых чисел
			натуральных чисел
			натуральных чисел с нулем

 

Решение:
Данное подмножество должно быть замкнуто относительно операций сложения и взятия противоположного элемента. Этим условиям удовлетворяет, например, множество четных целых чисел.

 

  ЗАДАНИЕ N 28 
Тема: Основные алгебраические структуры
Элемент  называется обратным к элементу  в группе G с единичным элементом , если …

			,

 

Решение:
Элемент  называется обратным к элементу  в группе G с единичным элементом e, если справедливо равенство: 

 

  ЗАДАНИЕ N 29 
Тема: Отношения между множествами
Даны множества  и , тогда количество пар, удовлетворяющих бинарному отношению  равно …

			6
			4
			7
			12

 

Решение:
Так как , то  V содержит 6 пар.

 

  ЗАДАНИЕ N 30 
Тема: Операции над высказываниями
Формулой, равносильной формуле , является …

 

Решение:
.

 

  ЗАДАНИЕ N 31 
Тема: Отображения
Отображение  действует по правилу . Тогда  имеет вид …

			[0; 1]
			[0; sin 2]
			[0; sin 2)
			(0; 1)

 

Решение:
На отрезке  функция  непрерывна и монотонно возрастает от 0 до 1. На промежутке  данная функция принимает положительные значения, не превосходящие единицу. Поэтому [0; 1].

 

  ЗАДАНИЕ N 32 
Тема: Неориентированные графы
Матрица инцидентности графа, изображенного на рисунке


имеет вид …

 

Решение:
Пусть  – помеченный граф, имеющий  вершин и  ребер. Вершины и ребра помеченного графа пронумерованы. Пусть  – вершины графа, а  – его ребра. Отношение инцидентности можно определить матрицей , имеющей n строк и  m столбцов. Столбцы соответствуют ребрам графа, а строки – вершинам. Если неориентированное ребро (звено)  инцидентно вершине , то . Если ребро   (неважно, что это – звено, дуга или петля) не инцидентно вершине , то . Матрица, полученная таким образом, называется матрицей инцидентности графа. Согласно определению составляем матрицу инцидентности: .

 

  ЗАДАНИЕ N 33 
Тема: Область определения функции
Область определения функции  имеет вид …

 

Решение:
Область определения данной логарифмической функции определяется как решение системы неравенств:

то есть .

 

  ЗАДАНИЕ N 34 
Тема: Производные первого порядка
Производная функции  равна …

 

Решение:
Предварительно прологарифмируем данную функцию:
, и продифференцируем обе части полученного равенства
. 
Тогда .

 

  ЗАДАНИЕ N 35 
Тема: Методы вычисления определенного интеграла
Определенный интеграл  равен …

 

Решение:
Для вычисления данного определенного интеграла произведем замену переменных: , , , и перейдем к новым пределам интегрирования: , . 
Тогда
.

 

  ЗАДАНИЕ N 36 
Тема: Асимптоты графика функции
Горизонтальная асимптота графика функции  задается уравнением вида …

 

Решение:
Прямая  является горизонтальной асимптотой графика функции  при  (), если существует  ().
Вычислив предел 
,
получаем уравнение горизонтальной асимптоты , или .

 

  ЗАДАНИЕ N 37 
Тема: Основные понятия топологии
Границей множества  в топологическом пространстве  с топологией  является …

			пустое множество

 

Решение:
Граничной точкой к множеству  называется точка, пересечение любой окрестности которой с  и с дополнением к  – непусты. Таким образом, границей множества  в данном случае будет.

 

  ЗАДАНИЕ N 38 
Тема: Кривизна плоской кривой
Кривизна кривой  в точке  равна …

 

Решение:
Вычислим производные первого и второго порядков: , ,
и определим их значения при : , .
Тогда кривизна данной кривой в точке  равна: .

 

  ЗАДАНИЕ N 39 
Тема: Дифференциальная геометрия кривых
Уравнение нормали к кривой  в точке  имеет вид …

 

Решение:
Представим неявно заданную кривую в виде функции . 
Так как уравнение нормали кривой, заданной неявно, имеет вид , вычислим частные производные функции :

Их значения в точке  равны:

Тогда, подставляя полученные данные в уравнение нормали, получим , или .

 

  ЗАДАНИЕ N 40 
Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей
Огибающая семейства сфер  имеет вид …

 

Решение:
Из системы  следует, что
, .
Таким образом, огибающая имеет вид . Это цилиндр.