Ссуда в размере 1,000 д. е. предоставлена 5 февраля и должна быть погашена 5 мая с уплатой простых процентов по годовой ставке 70%. Какую сумму должен возвратить заемщик при начислении:
- обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды;
- обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды;
- точных процентов;
Решение
Дано
P = 1,000 S = P(1+in)
i = 0.7 n = t/T
S = ?
А) метод обыкновенных процентов с приближенным числом дней:
t = 24+30+30+4 = 88
T = 360
n = 0.244 1
S = 1,000(1+0.7*0.244) = 414.8 д.е
Б) метод обыкновенных процентов с точным числом дней:2
t = 24+31+30+4 = 89
T = 360
n = 0.247
S = 1,000(1+0.7*0.247) = 419.9 д.е.
В) метод точных процентов:
t = 24+31+30+4 = 89
T = 365
n = 0.244
S = 1,000(1+0.7*0.244) = 414.8 д.е.
1
Все вычисления в данной работе производятся до 3 –го знака после запятой, если другое не оговорено отдельно.
2
Во всех задачах в данной работе при вычислений n = t/T используется метод обыкновенных процентов с точным числом дней, если другое не оговорено условием задачи.
Задача №2
Вклад в сбербанк в сумме 200,000 рублей помещен под 70% годовых. Рассчитать сумму вклада и начисленные проценты:
- через 7 месяцев;
- через 2.5 года.
Чему равны множители наращения в обоих случаях?
Решение
Дано
P = 200,000 руб. 1) S = P(1+in)
n1
= 7/12 года I = S - P
n2
= 2.5 года qs
= S/P
i = 0.7 2) S = P(1+i)na
(1+nb
i)
S-?, I-?, qs
-?, qc
-? где na
+ nb
= n
na
– целая часть периода
nb
– дробная часть периода
1) при n < 1 начисляются простые проценты
S = 200,000(1+0.583*0.7) = 221620д.е.
I = 221620 – 200,000 = 21620
qs
= 221620/200,000 = 1.108
2) если n > 1 и не целое число то проценты начисляются по комбинированному способу
S = 200,000(1+0.7)2
(1+0.7*0.5) = 491300 д.е.
I = 491300 – 200,000 = 291300
qc
= 491300/200,000 = 2.457
Задача №3
Выразить при помощи эффективной ставки доходность следующих операций:
- некоторая сумма помещается на 1 – месячный депозит под 80% годовых;
- некоторая сумма помещается на 3 – месячный депозит под 90 % годовых.
Какая из двух операций эффективней?
Дано
j1
= 80% ; m1
= 12 ; n1
= 1/12
j2
= 90% ; m2
= 4 ; n2
= 0.25 ie
= (1+j/m)mn
- 1
Вычислим периодическую ставку при 1- месячном и 3-х месячном депозитах:
j1
/m1
= 80/12 = 6.667% - на месячном депозите
j2
/m2
= 90/4 = 22.5% - на 3-х месячном депозите
Непосредственное сравнение 6.667% за 1 месяц и 22.5% за 3 месяца не позволяет сравнить эффективность этих операций. Поэтому для сравнения эффективности этих операций вычислим годовую эффективную ставку для каждой из них:
Сравнив годовые эффективные ставки мы видим, что операция с одномесячным депозитом эффективнее операции с 3-х месячным депозитом при данных процентных ставках.
Задача №4
Вексель на сумму 1,200,000 д.е. со сроком уплаты 1 ноября учитывается в банке 1 сентября по учетной ставке 28 %. Какую сумму получит владелец векселя (без уплаты комиссионных )? Какова величина дисконта?
Решение
Дано
S = 1,200,000 Sk
= S - D
ds
= 0.28 где Sk
– сумма полученная
Sk
- ? , D - ? клиентом.
D = Snds
n = t/T
n = t/T = 61/360 = 0.169
D = 1,200,000*0.169*0.28 = 56,784 д.е.
Sk
= 1,200,000 – 56784 = 1,143,216 д.е.
Задача№5
За какой срок при начислении сложных процентов удваивается сумма вклада, помещенного под 25% годовых, если начисление производится:
- ежегодно;
- ежеквартально;
- ежемесячно.
Решение
Дано
i = 0.25 1) S = P(1 + i)n
, где S = 2P
n - ? 2) и 3) S = P(1 + j/m)mn
, где S = 2P
1) 2P = P(1+0.25)n
; сократим обе части уравнения на P
2 = 1.25n
; прологарифмируем обе части уравнения
lg2 = lg1.25n
= nlg1.25
n = lg2/lg1.25 = 0.301/0.097= 3.103 года
сделаем проверку: пусть P = 1000 , тогда S = 1000(1+0.25)3.103
= 1998.535
при вычислении до 4-го или 5-го знака после запятой получатся более точное значение n.
2) 2P = P(1+j/m)mn
2 = 1.0634n
lg2 = 4nlg1.063
n = lg2/(4lg1.063) = 2.84года
;
3) 2P = P(1+j/m)mn
2 = 1.02112n
n = lg2/(12lg1.021) = 2.79года
;
Задача №6
Какая годовая ставка сложных процентов обеспечивает удвоение вклада до востребования за 1.17 года, если проценты начисляются:
- ежеквартально;
- ежемесячно;
- ежедневно.
Решение
Дано
n = 1.17 S = P(1+j/m)mn
j - ? где S = 2P
1) 2P = P(1+j/4)4.68
2 = (1+j/4)4.68
(21/4.68
- 1)m = j
j = 4(21/4.68
- 1) = 0.64 = 64%
2) 2P = P(1+j/12)14.04
j = 12(21/14.04
- 1) = 0.605 = 60.5%
3) 2P = P(1+j/360)427.05
j = 360(21/427.05
- 1) = 0.506 = 50.6%
(вычисления производились до 4-го знака после запятой).
Задача №7
По первоначальному варианту соглашения 1 сентября должно быть уплачено 20,000,000 д.е., 1 декабря еще 10,000,000 д.е. Стороны договорились объединить эти платежи одним. Консолидированный платеж должен быть произведен 1 ноября. Какой должна быть его сумма, если соглашение предусматривает начисление простых процентов из расчета 70% годовых.
Решение
Дано S1
S2
S1
= 20,000,000 1.09 1.10 1.11 1.12
S2
= 10,000,000
n1
= 2/12 S
n2
= 1/12
S - ? 1.11
S = S1
(1+n1
i) + S2
(1+n2
i)-1
S = 20,000,000(1+2/12*0.7) + 10,000,000(1+1/12*0.7)-1
= 31880000д.е.
Задача №8
Два векселя: на сумму 2000000 д.е. (срок платежа 10.09) и 5000000 д.е. (срок платежа 01.11) заменяются одним с пролонгацией до 15.11. Найти сумму нового векселя, учетная ставка при пролонгации 28%.
Прогноз годового индекса цен Ip
= 2.2. Рассчитать соответствующее значение уровня инфляции за год и в среднем за месяц (в процентах).
Решение
Дано
Ip
= 2.2 p = Ip
– 1
p - ? pср.мес
= Ipмес
– 1
pср.мес
- ? Ipмес
= Ip1/m
где m число месяцев в изучаемом периоде.
p = 2.2 - 1 = 1.2 = 120%
Ipмес
= 2.21/12
= 1.067
pср.мес
= 1.067 - 1 = 0.067 = 6.7%
Задача №10
Во сколько раз возрастут цены за год, если инфляция в среднем за месяц ( в процентах) будет иметь значение pср.мес
= 4%.
Решение
Дано
pср.мес
= 0.04 pср.мес
= Ip1/m
- 1
Ip
- ?
Ip1/m
= 1+pср.мес
Ip
= (1+pср.мес
)m
Ip
= (1+0.04)12
= 1.601 раз
Задача №11
Рассчитать реальную покупательную способность 1,000,000 руб., помещенных на 0.5 года под 108% годовых с ежеквартальным начислением, если среднемесячный уровень инфляции ожидается 4%. Рассчитать реальную доходность данной операции в виде годовой ставки.
Решение
Дано
P = 1,000,000 Sr
= S/Ip
j = 1.08 ir
= (1+j/m)mn
/Ip
m = 4 Ip
= (pср.мес
+1)m
n = 0.5
pср.мес
= 0.04
Sr
- ?, ir
- ?
Sr
= 1,000,000(1+1.08/4)2
/ 1.046
= 1275019.76руб.
Ir
= [(1+1.08/4)4
/1.0412
] - 1 = 0.625 = 62.5%
Задача №12
Рассчитать значение номинальной ставки, которая обеспечит реальную доходность операции, равную 30% годовых, от размещения некоторой суммы на 0.5 года с ежеквартальным начислением, если среднемесячный уровень инфляции ожидается равным 4%.
Решение
Дано
ir
= 0.3 j = m[(Ip
(1+ir
))1/m
-1 ]
pмес
= 0.04 Ip
= (p мес
+ 1)12
m = 4
j - ?
Ip
= 1.0412
= 1.601
j = 4(1.6491/4
-1 ) = 0.804 = 80.4%
Раздел 2. Финансовая рента (аннуитет)
Задача №13
Клиенту банка открыта кредитная линия на 2 года, дающая возможность в начале каждого квартала получать по 5,000,000 д.е., на которые ежегодно начисляются 12%. Рассчитать общую доходность к концу срока.
В 1984 году в индийском городе Бхопал произошла катастрофа на химическом заводе американской компании ``Union Carbide``, приведшая к гибели около 2000 человек. Компания предложила выплатить семьям погибших в общей сложности 200 млн. $, производя эти выплаты ежегодно равными суммами в течение 35 лет. Если бы индийская сторона приняла эти условия, то какую сумму фирме следовало поместить в банк для обеспечения в течение указанного срока ежегодных выплат, если на средства соответствующего фонда ежеквартально начисляются проценты по ставке 12% годовых.
Решение
Дано
S = 200,000,000 S = R[(1+j/m)mn
–1] / [(1+j/m)m
–1]
n = 35 A = R[1 – (1+j/m)-mn
] / [(1+j/m)m
–1 ]
j = 0.12
m = 4
A-?
R = [(1+j/m)m
–1] / [(1+j/m)mn
–1] S = 0.126/61.692*200,000,000 = 411818.54
A = 411818.54* 0.984 / 0.126 = 3216106.6 $
Задача №15
Определить размер ежегодных взносов, вносимых в конце года, в следующих случаях:
- для создания через пять лет фонда в размере 50 млн. д.е.;
- для погашения в течение 5-ти лет текущей задолженности, равной 50 млн. д.е.
Определить срок, за который текущая задолженность в 100 млн. д.е. может быть погашена ежегодными срочными уплатами по 25 млн. д.е., вносимыми в конце года, если проценты на остаток долга начисляются ежеквартально по ставке 12%. Рассчитать критическое значение величины срочной уплаты такое, при котором платежи лишь погашают проценты, не позволяя погасить основной долг.
Решение
Дано
A = 100,000,000 1) A = R[(1 – (1+j/m)-mn
] / [(1+j/m)m
–1]
R = 25,000,000 2) S = P + I где I = (1+j/m)mn
m = 4 P = A, n = 1
n - ?
1) A = R[(1 – (1+j/m)-mn
] / [(1+j/m)m
–1]
A[(1+j/m)m
–1] / R = 1 – (1+j/m)-mn
A * 0.126 / R –1 = - (1.03-4
)n
0.504 –1 = - 0.888n
-0.496 = -0.888n
lg0.496= nlg0.888
n = -0.305 / -0.052 = 5.6 года
2) S = 100,000,000 * 1.939 = 193900000
I = 93900000
Rкрит
= Sкрит
[(1+j/m)m
–1] / [(1+j/m)mn
]; где Sкрит
= I
Rкрит
= Sкрит
= 93900000 д.е.
Раздел 3. Элементы прикладного финансового анализа.
Задача №18
Облигации ГКО номиналом 10,000 руб. продаются за 6 месяцев до погашения по курсу 83. Рассчитать абсолютную величину дохода от покупки 10 облигаций и доходность инвестиций в них по схеме простых и сложных процентов.
Облигация номиналом 1000 д.е. погашается через 10 лет по номиналу. Она приносит 8% ежегодного дохода. Рассчитать оценку, курс и текущую доходность облигации для условной ставки сравнения 6%.
1
В задачах №18 и №19 3-го раздела t – число дней от приобретения ценной бумаги до ее погашения.
Задача №20
Приведены исходные данные по трем инвестиционным проектам. Оценить целесообразность выбора одного из них, если финансирование может быть осуществлено за счет ссуды банка под 8% годовых.
Динамика денежных потоков
Решение
Для обоснования целесообразности выбора одного из трех предложенных инвестиционных проектов, произведем оценку их эффективности по следующим показателям:
Речь о целесообразности проекта может быть только при следующих значениях вышеперечисленных показателей: NPV >IC, PI >1, PP – чем меньше, тем лучше, IRR=>i.
При других значениях этих показателей речь об эффективности инвестиционного проекта не ведется. Расчеты всех вышеперечисленных показателей приведены в таблице приложения 1. Из таблицы видно, что наиболее эффективным и более стабильным является проект 2
. О стабильности проекта так же можно судить по диаграмме дисконтированного потока чистых денег.