Газовая и волновая динамика - часть 38

Математическое моделирование процессов

необратимого динамического деформирования,

микро- и макроразрушения твердыхтел

Киселев А. Б.

Термомеханические процессы, которые происходят в твердых телах под действи-

ем интенсивных динамических нагрузок, состоят из взаимосвязанных между собой
механических, тепловых и структурных превращений. Последние включают фор-
мирование, движение и взаимодействие дефектов в кристаллах металлов, фазовые
переходы, разрывы связей между молекулами в полимерах, накопление микрострук-
турных повреждений (пор, трещин) и т.п. Эти процессы проявляются как необрати-
мые деформации, полосы адиабатического сдвига, микроразрушения. Динамическое
разрушение является сложным многостадийным процессом, включающим появле-
ние, развитие и слияние микродефектов, формирование зародышевых микротрещин,
которые растут, объединяются, образуя макротрещины. В конечном счете тело рас-
падается на отдельные фрагменты.

Настоящая работа затрагивает довольно широкий круг вопросов, связанных как

с построением математических моделей деформируемых твердых тел, их разрушения
от стадии накопления рассеянных по телу микроповреждений до появления макро-
трещин, разработке методов расчета «нестандартных» констант моделей сред, связан-
ных с параметрами поврежденности, моделям фрагментации тонкостенных конструк-
ций и компактных элементов, так и методам численного моделирования процессов
деформирования и разрушения, которые рассматривались в последние двадцать лет
на кафедре газовой и волновой динамики МГУ им. М. В. Ломоносова.

1. Модели механики континуального разрушения

Принято выделять три основных типа динамического разрушения твердых тел: вяз-
кое, хрупкое и с образованием полос адиабатического сдвига.

Вязкое разрушение, наблюдаемое в таких металлах как алюминий и медь, твер-

дых топливах и взрывчатых веществах, характеризуется образованием и развитием
в процессе пластического деформирования пор, близким к сферическим.

Для хрупкого разрушения характерно образование в теле большого числа произ-

вольно ориентированных монетообразных микротрещин, способных расти в течение
всего времени протекания процесса деформирования. Разрушения такого типа отме-
чены в бериллии, ряде сталей, армко-железе.

При высоких скоростях деформирования процесс пластического течения является

адиабатическим. В ряде случаев выделенное тепло концентрируется в тонких обла-
стях толщиной до нескольких десятков микрон, расположенных вдоль поверхностей
максимальных касательных напряжений, что приводит к значительному увеличе-
нию пластического течения вдоль этих поверхностей. Подобные разрушения путем

156

образования полос адиабатического сдвига наблюдаются, в частности, в стальных
цилиндрах, нагруженных взрывом, при пробивании преград ударниками с плоским
передним срезом (выбивание «пробки» из преграды).

Поскольку в процессе динамического деформирования образуется большое число

несплошностей указанных выше типов, трудно рассматривать каждое такое микро-
повреждение отдельно. Поэтому в последние годы для описания процессов микрораз-
рушения развиваются подходы, согласно которым в определяющие уравнения вводят
некоторые внутренние переменные, характеризующие развитие микроповреждений.
Это направление получило название механики континуального (или рассеянного)
разрушения.

Развитие механики континуального разрушения началось с работ Качанова

Л. М. [1] и Работнова Ю. Н. [2], посвященных теории ползучести материалов, в
которых впервые был введен скалярный параметр поврежденности. Вскоре А. А.
Ильюшиным было предложено рассматривать тензорные меры поврежденности [3]
и попытки введения тензоров поврежденности предпринимаются до сих пор (см.,
например, [4]).

Введение параметров поврежденности в систему внутренних переменных и ис-

пользование термодинамических принципов механики сплошной среды делает воз-
можным построение термодинамически корректных связанных моделей повреждае-
мых твердых тел (см. [4] – [22] и приведенную там библиографию).

В частности, построена термоупруговязкопластическая модель с двумя парамет-

рами поврежденности, которая позволяет описывать микроразрушение как накопле-
нием микродефектов типа пор в областях интенсивного растяжения, их залечивания
при сжатии, так и разрушение сдвигом [19, 20]. При этом был введен симметричный
тензор поврежденности ω

ij

. Поскольку модель была предназначена для описания

микроразрушений двух типов: вязкого с образованием микропор сферической формы
и с образованием полос адиабатического сдвига, то в качестве параметров повре-
жденности были выбраны два инварианта тензора ω

ij

: скаляры ω = ω

kk

/3 – объем-

ную поврежденность и α =



ω

ij

ω

ij

- интенсивность девиатора тензора поврежден-

ности ω

ij

= ω

ij

− ωδ

ij

. При этом считалось, что параметр ω описывает накопление

повреждений типа микропор в областях интенсивного растяжения, которые могут
залечиваться при сжатии, а параметр α описывает сдвиговое разрушение. Будем ин-
терпретировать параметр ω, как и в классических теориях [1, 2], как относительное
сокращение эффективной несущей нагрузку площади площадки вследствие появле-
ния распределенных внутри образца микропор. Параметр ω можно считать объем-
ным содержанием микропор в материале. В неповрежденном материале ω = α = 0, с
накоплением повреждений ω и α растут, оставаясь меньшими 1.

Система определяющих уравнений модели среды имеет следующий вид [19, 20]:

ε

kk

=

σ

K

+ α

v

(T

− T

0

) + Λ

ω



0

∂ϕ

∂σ

dω,

e

e
ij

=

S

ij

2µ

+ A

α



0

∂ψ

∂σ

ij

dα,

157

˙ε

p
ij

=

S

ij

2η

S

u

−



2

3

Y

S

u

H(S

u

−



2
3

Y ),

˙ω = ϕ(ω, σ) = B(

σ

1

− ω

− σ

∗

)H(

σ

1

− ω

− σ

∗

) + ω

σ

− σ

+

4η

0

H(σ

− σ

+

) + ω

σ

− σ

−

4η

0

H(σ

−

− σ),

σ

+

=

−

2
3

Y

0

ln ω,

σ

−

=

2
3

Y

0

ln ω,

˙

α = ψ(ω, α, S

u

) = C(

S

u

(1

− ω)(1 − α)

− S

∗

u

)H(

S

u

(1

− ω)(1 − α)

− S

∗

u

),

K = K

0

(1

− ω),

µ = µ

0

(1

− ω)(1 − α),

η = η

0

(1

− ω)(1 − α),

Y = Y

0

(1

− ω)(1 − α),

ρc

σ

˙

T + α

v

˙σT = τ

ij

˙ε

p
ij

+ Λ ˙ω

2

+ A ˙

α

2

− divq,



q =

−κ gradT,

S

u

=



S

ij

S

ij

,

τ

ij

= S

ij

+ Γε

p
ij

.

Здесь приняты следующие обозначения: σ

ij

, ε

e

ij

и ε

p
ij

– напряжения, упругие и неупру-

гие (вязкопластические) деформации соответственно (σ

ij

= σδ

ij

+S

ij

, σ = σ

kk

/3); при

этом полные деформации ε

ij

складываются из упругих ε

e

ij

и неупругих ε

p
ij

и вязкопла-

стическое течение несжимаемо: ε

ij

= ε

e

ij

+ ε

p
ij

, ε

p
kk

= 0; T – абсолютная температура;



q – тепловой поток; ρ – плотность; Γ

≥ 0 – параметр деформационной анизотро-

пии материала; A, D, C, Λ, σ

∗

, S

∗

u

– константы материала, связанные с параметрами

поврежденностями; K

0

, µ

0

, η

0

, Y

0

- объемный модуль, модуль сдвига, динамическая

вязкость и статический предел текучести при простом растяжении для неповрежден-
ного материала соответственно; c

σ

– тепломкость при постоянных напряжениях; α

v

– коэффициент объемного расширения; κ – коэффициент теплопроводности; H(x) –
единичная функция Хевисайда; точка над символом означает материальную произ-
водную по времени.

Кинетическое уравнение для объемной поврежденности ω состоит из трех слага-

емых. Первое имеет вид уравнения Тулера – Бучера и описывает стадию зарожде-
ния и начального роста объемной поврежденности ω. Затем, по мере накопления ω,
включается второй член, который описывает вязкий рост пор в областях растяже-
ния материала. Последний третий член описывает вязкопластическое затекание пор
при сжатии материала [12]. Отметим, что кинетическое уравнение для ω без первого
члена получается из решения задачи динамики одной сферической поры внутреннего
радиуса a и внешнего радиуса b в вязкопластическом несжимаемом материале при
ω = (a/b)

3

.

Предел текучести Y

0

, модуль сдвига µ

0

и динамическая вязкость η

0

могут зависеть

от температуры, давления, других параметров состояния, например, как в модели
Штейнберга – Гуинана [9, 12].

Представленная выше модель является развитием модели упруговязкопластиче-

ской среды типа Соколовского – Пэжины и учитывает появление и накопление повре-
ждений в областях интенсивного растяжения и их залечивание при сжатии, а также
накопление повреждений при сдвиге, тепловые эффекты. Механические, структур-
ные и тепловые процессы являются взаимосвязанными.

158

Выпишем другой вариант модели повреждаемой среды – модели повреждаемой

термоупругопластической среды, в основу которой положена модель течения типа
Прандтля – Рейса с условием пластичности Мизеса. В этом случае третье уравнение
из выше выписанной системы заменяется на следующие:

(τ



ij

)

∇

+ λτ



ij

= 2µ

0

˙e

ij

,

τ



ij

τ



ij

≤

2
3

Y

2

0

,

а остальные уравнения такие же, как в первой модели. Значком

∇ обозначена Яу-

мановская производная по времени.

2. Критерий начала макроразрушения

Развитие интенсивного пластического течения, накопление микроструктурных по-
вреждений является предразрушением материала. В качестве начала макроразруше-
ния (появления трещин в материале - новых свободных поверхностей) предлагается
энтропийный критерий предельной удельной диссипации [9, 23]:

D =

t

∗



0

1
ρ

(d

M

+ d

F

+ d

T

)dt = D

∗

;

d

M

= τ

ij

˙ε

p
ij

,

d

F

= Λ ˙ω

2

+ A ˙

α

2

,

d

T

= κ(gradT )

2

/T,

где t

∗

– время начала разрушения, D

∗

– константа материала (предельная удель-

ная диссипация); d

M

– механическая диссипация, d

F

– диссипация континуального

разрушения, d

T

– термическая диссипация (в случае использования классического

уравнения теплопроводности Фурье).

В случае появления в теле зон больших растягивающих напряжений, как, напри-

мер, в задаче плоского соударения пластин с откольным разрушением [9], основной
вклад в диссипацию D дает член Λ ˙ω

2

из d

F

и d

M

. В случае развитого сдвигово-

го пластического течения по типу образования полос адиабатического сдвига, как
в задаче выбивания «пробки» из преграды ударником с плоским передним срезом,
основной вклад в диссипацию D дают члены A ˙

α

2

из d

F

, d

M

и d

T

. Когда критерий

разрушения выполняется в некоторой точке материала, там должна зародиться мак-
ротрещина, новая свободная поверхность, которая будет распространяться по телу,
и задача расчета дальнейщего деформирования и разрушения становится самостоя-
тельной проблемой вычислительной механики деформируемого твердого тела.

3. Методы расчета констант моделей повреждаемыхсред

В модели таких сред [8] – [22] входят «нестандартные» константы, связанные с
параметрами поврежденности и подлежащие экспериментальному определению. В
моделях с одним параметром поврежденности [9, 12] таких констант три. Кроме
того, четвертой неизвестной константой является предельная удельная диссипация

159