|
|
|
17 плоскость, перпендикулярную плоскости ) , ( v u , такую, что линия пересече- ния плоскостей составляет с осью u угол ϕ . В сечении этой плоскости со ) , ( v u F получается некоторая одномерная функция, зависящая от положения точки на этой прямой (например, от расстояния до ω , то координаты точки этой прямой в плоскости ) , ( v u равны ϕ ω = cos u , ϕ ω = sin v Следовательно, дан- ная функция одной переменной получается из функции двух переменных ) , ( v u F путём подстановки u и v . Теорема о центральном сечении говорит, что если функция ) , ( y x f и ее радоновский образ ) , ( ϕ s R имеют преобразования Фурье, то одномерное преобразование Фурье радоновского образа ) , ( ϕ s R по переменной s равно функции, описывающей центральное сечение двумерного преобразования ϕ , при котором вычисляется пре- образование Фурье функции ) , ( ϕ s R . С учетом введенных обозначений математическая формулировка теоре- мы о центральном сечении имеет вид: ) , ( ) , ( v u F S = ϕ ω
(5) Задача восстановления изображения базируется на теореме о централь- ном сечении. Функцию ) , ( y x f можно найти по двумерному преобразова- нию Фурье ) , ( v u F : ∫ ∫ ∞ ∞ − ∞ ∞ − + π − = dudv e v u F y x f vy ux i ) ( 2 ) , ( ) , ( (6) Перейдём в плоскости
) , ( v u к полярным координатам
ϕ ω, : ϕ ω = cos u , ϕ ω = sin v . Тогда уравнение (6) будет иметь вид: ∫ ∫ π ∞ ϕ + ϕ πω ϕ ω ϕ ω ϕ ω ω = 2 0 0 ) sin cos ( 2 ) sin , cos ( ) , ( d d e F y x f y x i (7) ∫ ∫ π ∞ ϕ + ϕ πω ϕ ω ϕ ω ω = 2 0 0 ) sin cos ( 2 ) , ( ) , ( d d e R y x f y x i
(8) Равенство (8) является искомой формулой обращения, позволяющей найти функцию ) , ( y x f . Однако данная форма записи равенства из-за ис- пользуемой в нем области интегрирования оказывается не очень удобной ϕ изменяется от 0 до π и от π до 2π, поскольку тогда можно использовать свойство: ) , ( ) , ( ϕ ω = π + ϕ ω F F
(9) Алгоритм фоновой проекции относительно прост для параллельной схе- мы сканирования, но реконструкция занимает много времени. Веерное ска- |