Технология машиностроения (лабораторный практимум) - часть 2

На оси абсцисс откладывают величину поля рассеяния и разбивают его на 

несколько интервалов. Число интервалов k = 8-10. На оси ординат откладывают 
количество деталей, попавших в эти интервалы, или частости, m

i

. Соединяя об-

разовавшиеся  точки,  получают  ломаную  линию,  которая  называется  опытной 
кривой распределения или полигоном распределения деталей по размерам, ри-
сунок 1.1. 

 

 

Рисунок 1.1 - Опытная кривая распределения или полигон распределения 

 

Плотность  вероятности  или  дифференциальная  функция  распределения 

непрерывной  случайной  величины,  подчиняющейся  закону  нормального  рас-
пределения, имеет следующий вид: 

 

,

2

1

)

(

2

_

2

)

(

σ

π

σ

x

x

e

x

y

−

−

=

 

(1.2) 

 
где 

х

 - переменная случайная величина; 

σ

 - стандартное отклонение случайной величины; 

_

x

 - среднее значение (центр группирования) величины 

x

; 

е

 - основание натуральных логарифмов. 

 
Дифференциальная функция нормального распределения графически вы-

ражается в виде симметричной кривой – кривой Гаусса (рисунок 1.2). 

Стандартное  отклонение  случайной  величины 

σ

  является  мерой рассея-

ния случайной величины и определяется 

 

n

m

x

x

k

i

i

i

/

)

(

1

2

_













−

=

∑

=

σ

, 

(1.3) 

 

где x

i

 

– координата соответствующей середины интервала; 

 

 

 

Рисунок 1.2 - Дифференциальная функция нормального распределения 

Симметричность кривой относительно ординаты точки 

_

x  свидетельству-

ет  о  том  что  равновероятны  одинаковые  положительные  и  отрицательные  от-
клонения от центра группирования. С изменением 

σ

 изменяется форма кривой. 

При его уменьшении кривая становится более вытянутой и узкой, с увеличени-
ем 

σ

  максимальная  ордината  кривой  уменьшается,  а  ширина  увеличивается. 

Изменение центра группирования приводит к смещению кривой (рисунок 1.3). 

 

2

_

1

_

x

x

<

     

2

1

σ

σ

<

 

Рисунок 1.3 – Влияние параметров кривой Гаусса на ее форму и положение 
Интегральный закон нормального распределения выражается в o6щем виде так 

 

∫

∫

−

−

=

=

2

1

2

1

2

2

_

.

2

1

)

(

)

(

2

)

(

x

x

x

x

x

x

dx

e

dx

x

y

x

F

σ

π

σ

 

(1.4) 

 

Величина F(x) определяет вероятность попадания случайной величины в 

интервал 

2

1

x

x

x

<

>

.  Если  случайная  величина 

х  следует  нормальному  закону, 

то  достоверно,  что  она  может принимать любые численные значения в преде-
лах 

∞

± ,  то  есть  вероятность  попадания  случайной  величины  в  интервал 

+∞

<

>

∞

−

x

 равна единице 

.

1

2

1

)

(

2

2

_

2

)

(

=

=

+∞

>

<

−∞

∫

∞

+

∞

−

−

−

dx

e

x

P

x

x

σ

π

σ

 

 
Для облегчения вычислений формулу интегрального закона нормального 

распределения с помощью нормирующего множителя t =х/

Œ

 можно привести к 

виду 

 

).

(

2

1

)

(

2

1

2

2

2

1

t

dt

e

x

x

x

P

t

t

t

Φ

=

=

<

<

∫

−

π

 

(1.5) 

 

Интеграл 

1

2

2

1

2

2

π

e dt

t

t

t

−

∫

= Ф(t) называют нормированной функцией Лапласа 

и его значения для различных t приводят в таблицах значений функции Лапла-
са. При использовании этих таблиц решение задачи по определению вероятно-
сти того, что случайная величина х находится в пределах x

1

 - х

2

, сводится к на-

хождению разности между двумя значениями функции Лапласа: 

 

P x

x x

t

t

(

)

( )

( )

1

2

2

1

< <

=

−

Φ

Φ

. 

(1.6) 

 

Для  практических  применений  зона  рассеяния  случайной  величины  х, 

подчиняющейся  закону  нормального  распределения,  ограничивают  пределами 
± 3

Œ

 и составляет 6

Œ

. При этом t

1

 =

 -3 и t

2

 = 3. 

Следовательно, P[-3

Œ

 < x < +3

Œ

)] =  Ф(3)- - Ф(-3) = 2Ф(3). По таблицам 

функции Лапласа, 2Ф(3) = = 0,9973. Это означает, что вероятность нахождения 
случайной  величины  вне  указанного  интервала  q = 1-0,9973 = 0,0027, то  есть 
очень мала. 

Распределение  случайной  величины  по  нормальному  закону  является 

следствием действия многих факторов, носящих случайный характер, имеющих 
примерно одинаковую степень активности и независящих или слабо зависящих 
один  от  другого.  Такой  комплекс  условий  не  всегда  оказывается  полным.  Его 
нарушение приводит к отклонению закона распределения от нормального. 

Одной из форм таких отклонений может быть несимметричность кривой 

рассеяния (рисунок 1.4), характеризуемая коэффициентом асимметрии 

α

, учи-

тывающим смещение центра группирования  относительно середины поля рас-
сеяния 

Š

x

: 

 

x

x

x

ω

ω

α

5

,

0

/

)

(

_

∆

−

=

 . 

(1.7) 

 

 

 

Рисунок 1.4 - Несимметричное распределение случайной величины 
 
Практическое значение в технологии машиностроения имеют также закон 

равной вероятности и закон Симпсона. 

Распределение  по  закону  равной  вероятности  встречается,  когда  наряду 

со  случайными  факторами,  вызывающими  рассеяние,  действует  доминирую-
щий  систематический  фактор,  непрерывно  и  равномерно  изменяющий  во  вре-

мени  положение  центра  группирования 

_

x .  Графически  такое  распределение 

случайной величины отображается прямоугольником (рисунок 1.5). 
 

 

 
Рисунок 1.5 - Распределение  случайной  величины  по  закону  равной 

вероятности 
 

Дифференциальный закон распределения или плотность вероятности