МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ДАВЛЕНИЙ - ЧАСТЬ 2

Решение

Длина свободного пробега молекул

λ =

1

√

2nσ

.

(15)

Сосчитаем плотность молекул n для давления 1 торр и тем-

пературы 20

0

C:

n =

P

kT

=

10

5

760

1

1.38

· 10

−23

· 293

= 3.3

·10

2

2 m

−3

= 3.3

·10

16

см

−3

.

(16)

Найдем эффективное сечение столкновений:

σ =

πd

2

4

= 1.1

· 10

−15

см

−3

.

(17)

Оценим длину свободного пробега при 1 торр:

λ =

1

1.4

· 3.3 · 10

16

· 10

−15

≈

1

50

см << D.

(18)

При давлении 1 мторр

λ =

1000

50

= 20 см >> D.

(19)

Характерная длина свободного пробега при 1 атм (число

Лошмидта L = 2.7

· 10

19

см

−3

)

λ =

1

1.4

· 2.7 · 10

19

· 10

−15

≈

1

4

· 10

4

=

10

−4

4

= 2.5

· 10

−5

см. (20)

8

1.2.

Явления переноса

Процедура откачки сосуда, то есть получение пониженного
давления, не может быть рассмотрена без учета явлений пере-
носа. Подобные явления имеют место в системах, находящихся
в неравновесном состоянии. Перенос массы называется диф-
фузией, количества движения — внутренним трением, энергии
— теплопроводностью. Соответственно потоки величин харак-
теризуются коэффициентами диффузии, вязкости и теплопро-
водности.

Количество теплоты, передаваемое в единицу времени че-

рез площадку площадью s, в соответствии с законом Фурье
равно

q =

−χ

dT

dx

s,

(21)

где коэффициент теплопроводности

χ = ρ < v > c

V

λ/3 [Вт/(м

· K)].

(22)

Данное выражение справедливо при условии, что длина

свободного пробега много меньше размеров сосуда.

Если в направлении x, перпендикулярном скорости потока

газа u, существует градиент скорости du/dx, то между слоя-
ми движущегося газа действует сила внутреннего трения F ,
определяемая выражением

F =

−η

du
dx

s,

(23)

здесь s – площадь поверхности, параллельная движению пото-
ка.

Динамическая вязкость η равна

η = ρ < v > λ/3 [кг/(м

· с)].

(24)

9

Задача 3

Трубка диаметром 1 см обернута нагревательной спиралью

так, что температура в сечении 1 составляет 100

0

C. Оценить,

в каком случае быстрее повысится температура в сечении 2,
расположенном на расстоянии 30 см от сечения 1 в воздухе:
при 1 торр или при 1 атм?

Решение

Коэффициент теплопроводности не зависит от давления га-

за в условиях, когда длина свободного пробега много меньше
характерного размера сосуда. Поэтому зависимости от давле-
ния в данном случае не будет.

С ростом давления растет число молекул, задействованных

в переносе тепла. Однако перенос идет на меньшие расстояния,
поскольку уменьшается длина свободного пробега.

Действительно, ни коэффициент теплопроводности, ни ди-

намическая вязкость не зависят от давления газа в случае, ко-
гда длина свободного пробега много меньше размеров сосуда.
Действительно, λ

∼ 1/ρ. Вслучае низких давлений и малых

сосудов χ и eta являются некоторыми эффективными коэф-
фициентами, и перенос идет тем медленнее, чем ниже давление
газа.

Диффузия в газах обусловлена переносом массы. Число мо-

лекул, переносимых через поверхность s в единицу времени в
результате диффузии, равно

G =

−D

dn
dx

s.

(25)

Вслучае, если речь идет о самодиффузии, коэффициент

диффузии D равен

D =

< v > λ

3

=



8kT

πm

·

1

3

√

2nσ

=

2
3

(kT )

3/2

√

πm

1

pσ

.

(26)

Вслучае же диффузии одного газа в другом

10

D

12

=

D

11

n

2

+ D

22

n

1

n

.

(27)

Задача 4

Экспериментатор исследует газовый разряд, инициируе-

мый импульсами с частотой f = 10 Гц в трубке диаметром
D = 0.5 см при давлении 1 торр и температуре 300 К в азо-
те. При этом он пытается провести численное моделирование
химических процессов в разряде и послесвечении, не учиты-
вая процессов гибели частиц на стенке сосуда. Корректно ли
подобное моделирование?

Решение

Впредположении, что в газе присутствует градиент кон-

центрации, оценим время диффузионного ухода на стенку как
t

∼ x

2

/D.

Эту оценку можно в принципе получить из уравнения диф-

фузии без источниковых членов:

∂n

∂t

− D

∂

2

n

∂x

2

= 0.

(28)

На самом деле для более аккуратной оценки следует рас-

сматривать распределение концентрации электронов по ради-
усу трубки. Если это функция Бесселя и цилиндр достаточно
длинный, то x

≈ R/2.4; если частицы рождаются только на

оси, то уравнение диффузии допускает точное аналитическое
решение и x = R/2. Будем считать, что можно пренебречь дан-
ным численным коэффициентом. Время диффузионного ухода

t

∼

x

2

D

=

0.25

· 0.25

D

.

(29)

Сосчитаем коэффициент диффузии:

D =

< v > λ

3

=

1
3



8RT

πµ

1

√

2nσ

.

(30)

11