МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ДАВЛЕНИЙ - ЧАСТЬ 1

1.

Физика разреженных газов и техника
получения вакуума

Сегодняшний семинар открывает цикл из трех семинаров, по-
священных измерению давления газа. На первом семинаре мы
обсудим ряд вопросов физики разреженного газа и различные
способы получения вакуума. На втором — будем говорить о
технике измерения давлений. На третьем — будут рассмотре-
ны теоретические основы процесса откачки. Внастоящее время
трудно представить себе современные технологии без вакуум-
ных приложений. Это изготовление полупроводниковых при-
боров, напыление тонких пленок, оптическая промышленность,
металлургия (дегазация стали, электродуговая переплавка, ва-
куумная металлургия для получения особо чистых материа-
лов и сплавов), химическая, медицинская промышленность. В
научных исследованиях низкие давления используются очень
широко в самых различных областях.

1.1.

Элементы кинетическойтеории. Газовые
законы

Для решения большинства задач по теории разреженных газов
следует вспомнить определение идеального газа. Идеальным
называют газ при условии, что

• его молекулы можно представить как упругие материаль-

ные частицы;

• силы межмолекулярного взаимодействия отсутствуют;

• объем, занимаемый молекулами, пренебрежимо мал по

сравнению с объемом, свободным от молекул.

Разреженные газы весьма близки к идеальным, поэтому в

дальнейшем при решении задач мы будем пользоваться осно-
вами молекулярно-кинетической теории.

4

Основное уравнение состояния идеального газа (уравнение

Менделеева—Клапейрона) описывает зависимость между дав-
лением, объемом и температурой:

P V =

m

µ

RT.

(1)

Для одного моля газа

P V

m

= RT,

(2)

где N

A

= 6.02

· 10

23

моль

−1

— число Авогадро, V

m

— молярный

объем.

Учитывая, что постоянная Больцмана k = R/N

A

, а плот-

ность частиц n = N

A

/V

m

, получим

P = nkT.

(3)

Распределение молекул газа по абсолютным скоростям под-

чиняется закону Максвелла: число молекул dN , таких, что мо-
дуль их скорости лежит между v и v + dv, равно

dN = 4πN

m

2πkT



3/2

v

2

exp

−

ε

kT



dv.

(4)

Наиболее вероятная скорость — скорость, при которой

функция (4) имеет максимум. Она равна

v

m

=



2kT

m

=



2RT

µ

.

(5)

Средняя скорость молекул определится как

< v >=



v

dN

N

=



8kT

πm

.

(6)

Среднюю квадратичную скорость найдем из соотношений

5

mv

2

s

2

=

3
2

kT,

v

s

=



3kT

m

.

(7)

Очевидно, что все три скорости близки по порядку величи-

ны и могут быть использованы для оценки скорости молекул
в газе. Велика ли типичная скорость молекул?

Задача 1

Найти средние квадратичные скорости движения молекул

водорода и азота при температурах 273 и 293 K. Сравнить их
со скоростью звука. R = 8.31 Дж/(моль К).

Решение

Скорость звука равна

V =



γ

P

ρ

=



γ

νRT

V ρ

=



γ

RT

µ

.

(8)

Средняя квадратичная скорость равна

v

s

=



3kT

m

=



3RT

mN

A

=



3RT

µ

.

(9)

Показатель адиабаты γ для воздуха (азота) равен 1.4. Сле-

довательно, среднеквадратичная скорость в



3

1.4

≈ 1.464 раза

выше скорости звука (для азота V

≈ 337 м/c):

v

s

=



3

1.4

V = 1.464

· 337 м/с = 493 м/с.

(10)

Или, вычисляя по формуле (9),

v

s

=



3RT

µ

=



3

· 8.31 · 273
28

· 10

−3

= 493 м/с.

(11)

При температуре 293 К получим

6

v

s

=



3

· 8.31 · 293
28

· 10

−3

= 511 м/с.

(12)

Сосчитаем среднюю квадратичную скорость молекул водо-

рода при T = 273 К:

v

s

=



3RT

µ

=



3

· 8.31 · 273

2

· 10

−3

= 1845 м/с,

(13)

то есть у водорода скорость движения молекул почти в четыре
раза выше, чем у азота.

Подобная скорость молекул устанавливается как в резуль-

тате столкновений со стенками сосуда, так и в результате
столкновений с самими молекулами газа. Пусть молекула за
какое-то время проходит расстояние l. При этом она испыты-
вает z столкновений: z = V n = σln, где σ — сечение столкнове-
ния, n — число молекул в единице объема. Отсюда следует, что
расстояние между двумя столкновениями (или длина свобод-
ного пробега молекулы) равно λ = 1/(nσ). Более аккуратный
подход с учетом взаимного движения молекул даст выражение

λ =

1

√

2nσ

,

(14)

то есть значение длины свободного пробега практически не бу-
дет отличаться от сделанной оценки. Велика ли длина свобод-
ного пробега? Решим следующую задачу.

Задача 2

Втрубке диаметром D = 5 см горит разряд в азоте при

давлении 1 торр. Найти длину свободного пробега молекул и
сопоставить ее с диаметром разрядной трубки. Выполнить ту
же процедуру для давления 1 мторр. Оценить длину свобод-
ного пробега молекулы в воздухе при нормальных условиях.
Постоянная Больцмана k = 1.38

· 10

−23

Дж/К. Эффективный

диаметр молекулы азота принять равным 3.74

· 10

−8

см.

7