Курс физики для вузов - часть 93

 какая доля энергии,

приносимой за единицу времени на еди-
ницу площади поверхности тела пада-
ющими на нее электромагнитными вол-

нами с частотами от v до  + dv, погло-
щается телом. Спектральная поглоща-
тельная способность — величина безраз-

мерная. Величины

природы тела, его термодинамической

температуры и при этом различаются
для излучений с разными частотами.

Поэтому эти величины относят к опре-

деленным Т

 (вернее, к достаточно

узкому интервалу частот от v до v +

 способное поглощать полно-

стью при любой температуре все пада-
ющее на него излучение любой часто-
ты, называется черным. Следователь-
но, спектральная поглощательиая спо-
собность черного тела для всех частот
и температур тождественно равна еди-
нице

 1). Черных тел в природе

нет, однако такие тела, как сажа, пла-
тиновая чернь, черный бархат и неко-
торые другие, в определенном интерва-
ле частот по своим свойствам близки к

Наиболее совершенной моделью

черного тела может служить замкнутая
полость с небольшим отверстием О

(рис. 289). Луч света, попавший внутрь

такой полости, испытывает многократ-
ные отражения от стенок, в результате
чего интенсивность вышедшего излуче-
ния оказывается практически равной
нулю. Опыт показывает, что при разме-
ре

 меньшего 0,1 диаметра по-

лости, падающее излучение всех частот

практически полностью поглощается.
Вследствие этого открытые окна домов

со стороны улицы кажутся черными,
хотя внутри комнат достаточно светло
из-за отражения света от стен.

Наряду с понятием черного тела ис-

пользуют понятие серого

 — тела,

поглощательная способность которого

Рис. 289

меньше единицы, но одинакова для всех
частот и зависит только от температу-
ры, материала и состояния поверхнос-
ти тела. Таким образом, для серого тела

 =

 = const < 1.

Исследование теплового излучения

сыграло важную роль в создании кван-

 теории света, поэтому необходи-

мо рассмотреть законы, которым оно
подчиняется.

§ 198. Закон Кирхгофа

Кирхгоф, опираясь на второй закон

термодинамики и анализируя условия
равновесного излучения в изолирован-
ной системе тел, установил количе-
ственную связь между спектральной
плотностью энергетической светимос-
ти и спектральной поглощательной
способностью тел. Отношение спект-
ральной плотности энергетической све-
тимости к спектральной поглощатель-
ной способности ие зависит от природы
тела; оно является для всех тел универ-
сальной функцией частоты (длины вол-
ны) и температуры (закон Кирхгофа):

(198.1)

Для черного тела

 1, поэтому

из закона Кирхгофа [см. (198.1)] следу-
ет, что

 черного тела равна

Таким образом, универсальная функ-
ция Кирхгофа

 есть

 что иное, как

спектральная плотность энергетиче-

371

 светимости черного тела. Следо-

вательно, согласно закону Кирхгофа,

для всех тел отношение спектральной

плотности энергетической светимости
к спектральной

 способ-

ности равно спектральной плотности
энергетической светимости черного те-

ла при той

 температуре и частоте.

Из закона Кирхгофа следует, что

спектральная плотность энергетичес-
кой светимости любого тела в любой
области спектра всегда меньше спект-
ральной плотности энергетической све-
тимости черного тела (при тех же зна-
чениях  и v), так как

 < 1 и поэто-

му

 Кроме того, из (198.1) вы-

текает, что если тело при данной тем-
пературе Т не поглощает электромаг-
нитные волны в интервале частот от v
до v +

 = 0),

 в

интервале частот при температуре
излучает, так как

 —

Используя закон Кирхгофа, выраже-

ние для энергетической светимости
тела (197.2) можно записать в виде

Для серого тела

где

(198.3)

— энергетическая светимость чер-

ного тела (зависит только от темпера-
туры).

Закон Кирхгофа описывает только

тепловое излучение, являясь настоль-
ко характерным для него, что может
служить надежным критерием для оп-
ределения природы излучения. Излуче-

ние, которое закону Кирхгофа не под-
чиняется, не является тепловым.

§ 199. Законы

и смещения Вина

Из закона Кирхгофа [см. (198.1)]

следует, что спектральная плотность
энергетической светимости черного
тела является универсальной функци-
ей, поэтому нахождение ее явной зави-
симости от частоты и температуры яв-
ляется важной задачей теории теплово-

го излучения.

Австрийский физик И. Стефан

(1835 — 1893), анализируя эксперимен-

тальные данные (1879), и Л.
применяя термодинамический метод

(1884), решили эту задачу лишь частич-
но, установив зависимость энергетиче-

ской светимости  черного тела от тем-
пературы. Согласно закону Стефа-
на — Больцмана,

 =

 (199.1)

т. е. энергетическая светимость черно-

го тела пропорциональна четвертой сте-

 его термодинамической темпера-

туры;  — постоянная Стефана— Больц-
мана, ее экспериментальное значение
равно 5,67 •

 К

1

).

Закон

 опре-

деляя зависимость

 от температуры,

не дает ответа относительно спектраль-
ного состава излучения черного тела.
Из экспериментальных кривых зависи-

 функции

 \

 различных темпера-

X"

турах (рис. 290) следует, что распреде-
ление энергии в спектре черного тела
является неравномерным.

 кривые

имеют явно выраженный максимум,

372

 290

 по мере повышения темпера-

туры смещается в

 более корот-

ких длин волн. Площадь, ограниченная
кривой зависимости

 X и осью аб-

сцисс, пропорциональна энергетичес-
кой светимости

 черного тела и, сле-

довательно, по закону Стефана— Больц-

мана, четвертой степени температуры.

Немецкий физик

 —

1928), опираясь на законы термо- и

электродинамики, установил зависи-
мость длины волны

 соответству-

ющей максимуму функции

 от тем-

пературы Т. Согласно закону смеще-
ния Вина,

(199.2)

т. е. длина волны

 соответствующая

максимальному значению спектраль-

ной плотности энергетической свети-
мости

 черного тела, обратно про-

порциональна сто термодинамической
температуре; Ь — постоянная Вина;
ее экспериментальное значение равно
2,9 • 1СГ

3

 м • К. Выражение (199.2) пото-

му называют законом смещения Вина,
что оно показывает смещение положе-

ния максимума функции

 по мере

возрастания температуры в область ко-
ротких длин волн. Закон Вина объяс-
няет, почему при понижении темпера-
туры нагретых тел в их спектре все силь-
нее преобладает длинноволновое излу-
чение (например, переход белого кале-
ния в красное при остывании металла).

§ 200. Формулы

 и Планка

Из рассмотрения законов Стефана —

 и Вина следует, что термо-

динамический подход к решению зада-
чи о нахождении универсальной функ-

ции Кирхгофа

 дал желаемых ре-

зультатов. Следующая строгая попыт-

ка теоретического вывода зависимости

 английским ученым

Д.Рэлею и Д. Джинсу

 1946), ко-

торые применили к тепловому излуче-
нию методы статистической физики,
воспользовавшись классическим зако-
ном равномерного распределения энер-

гии по степеням свободы.

Формула Рэлея

 для спек-

тральной плотности
светимости черного тела имеет вид

 (200.1)

где

 — кТ — средняя энергия осцил-

лятора с

 частотой у. Для

осциллятора, совершающего колебания,
средние значения кинетической и потен-
циальной

 одинаковы (см. § 50),

поэтому средняя энергия каждой коле-
бательной степени свободы (е) = к.Т.

Как показал опыт, выражение

согласуется с экспериментальными
данными только в

 достаточно

малых частот и больших температур.

В области больших частот формула

Рис.291

373

Рэлея —

 резко расходится с эк-

спериментом, а также с законом смеще-
ния Вина (рис.

 Кроме того, оказа-

лось, что попытка получить закон Сте-

 [см. (199.1)] из фор-

мулы Рэлея

 приводит к аб-

сурду. Действительно, вычисленная с
использованием (200.1) энергетическая
светимость черного тела [см. (198.3)]

в то время как по закону Стефана —

Больцмана

 четвер-

той степени температуры. Этот резуль-
тат получил название «ультрафиолето-
вой катастрофы». Таким образом, в
рамках классической физики не уда-
лось объяснить законы распределения
энергии в спектре черного тела.

В области больших частот хорошее

согласие с опытом дает формула Вина

(закон излучения Вина), полученная им
из общих теоретических соображений:

где

 спектральная плотность энер-

гетической светимости черного тела;

 А — постоянные величины.

В современных обозначениях с ис-

пользованием постоянной Планка, ко-
торая в то время еще не была известна,
закон излучения Вина может быть за-
писан в виде

Правильное, согласующееся с опыт-

ными данными выражение для спект-
ральной плотности энергетической све-
тимости черного тела было найдено в

1900 г. немецким физиком М. Плапком.

Для этого ему пришлось отказаться от

установившегося положения класси-
ческой физики, согласно которому

энергия любой системы может изме-
няться непрерывно, т.е. может прини-
мать любые сколь угодно близкие зна-
чения.

Согласно выдвинутой

 кван-

товой гипотезе, атомные осциллято-
ры излучают энергию не непрерывно, а
определенными порциями — квантами,
причем энергия кванта пропорциональ-

на частоте колебания [см. (170.3)]:

где h — 6,625 •

 Дж • с— постоян-

ная Планка.

Так как излучение испускается пор-

циями, то энергия осциллятора г может
принимать лишь определенные диск-

ретные значения, кратные целому чис-

лу элементарных порций энергии

 = nhv (n = 0,1,2,...).

В данном случае среднюю энер-

гию (г) осциллятора нельзя принимать
равной  Т. В приближении, что распре-
деление осцилляторов
дискретным состояниям подчиняется
распределению Больцмана (см. § 45),
средняя энергия осциллятора

а спектральная плотность энергетичес-
кой светимости черного тела

Таким образом, Планк вывел для

универсальной функции Кирхгофа

формулу

, (200.3)

374