Курс физики для вузов - часть 51

Подобно тому как при изучении

электростатического поля использова-
лись точечные заряды, при исследова-

нии магнитного поля пользуются зам-
кнутым плоским контуром  током

(рамка с током), линейные размеры ко-

торого малы по сравнению с расстояни-
ем до токов, образующих магнитное
поле. Ориентация контура в простран-
стве определяется направлением нор-
мали к контуру. Направление нормали
задается правилом правого винта: за
положительное направление нормали
принимается направление поступатель-
ного движения винта, головка которо-

го вращается в направлении тока, теку-
щего в рамке (рис.

Опыты показывают, что магнитное

поле оказывает на рамку с током ори-
ентирующее действие, поворачивая ее
определенным образом. Этот результат

используется для выбора направления
магнитного поля. За направление маг-
нитного поля в данной точке принима-
ется направление, вдоль которого рас-
полагается положительная нормаль к
рамке (рис. 163).

За направление магнитного поля мо-

жет быть также принято направление,
совпадающее с направлением силы, ко-
торая действует на северный полюс маг-
нитной стрелки, помещенной в данную
точку. Так как оба полюса магнитной
стрелки лежат в близких точках поля, то
силы, действующие на оба полюса, рав-
ны друг другу. Следовательно, на маг-
нитную стрелку действует пара сил, по-
ворачивающая ее так, чтобы ось стрел-
ки, соединяющая южный полюс с север-
ным, совпадала с направлением поля.

Рамкой с током можно воспользо-

ваться также и для количественного
описания магнитного поля. Так как
рамка с током испытывает ориентиру-
ющее действие поля, то на нее в магнит-
ном поле действует пара сил. Вращаю-

 163

щии момент сил зависит как от свойств
поля в данной точке, так и от свойств
рамки и определяется по формуле

(109.1)

где

 — вектор магнитного момен-

та рамки с током;

 — вектор маг-

нитной индукции (количественная ха-
рактеристика магнитного поля).

Для плоского контура с током

(109.2)

где S — площадь поверхности контура
(рамки); п — единичный вектор норма-
ли к поверхности рамки.

Таким образом, направление

 со-

впадает с направлением положитель-
ной нормали.

Если в данную точку магнитного

поля помещать рамки с различными
магнитными моментами, то на них дей-
ствуют различные вращающие момен-
ты, однако

 —

максимальный вращающий момент)
для всех контуров одно и то же и по-
этому может служить характеристи-
кой магнитного поля, называемой маг-
нитной индукцией:

Магнитная индукция в данной точ-

ке однородного магнитного поля опре-
деляется максимальным вращающим
моментом, действующим на рамку с
магнитным моментом, равным едини-
це, когда нормаль к рамке перпендику-

203

лярна направлению поля. Следует отме-
тить, что вектор  может быть выведен
также из закона Ампера (см. § 111) и из
выражения для силы Лоренца (см. § 114).

Так как магнитное поле является

силовым, то его, по аналогии с электри-
ческим, изображают с помощью линий

магнитной индукции — линий, каса-

тельные к которым в каждой точке со-
впадают с направлением вектора

 Их

направление задается правилом право-
го винта: головка винта, ввинчиваемо-
го по направлению тока, вращается в
направлении линий магнитной индук-
ции.

Линии магнитной индукции можно

«проявить» с помощью железных опи-

лок, намагничивающихся в исследуемом
поле и ведущих себя подобно маленьким
магнитным стрелкам. На рис. 164, а по-

казаны линии магнитной индукции поля
кругового тока, на

 б — линии

магнитной индукции поля соленоида
(соленоид — равномерно намотанная
на цилиндрическую поверхность про-
волочная спираль, по которой течет
электрический ток).

Линии магнитной индукции всегда

замкнуты и охватывают проводники с

током. Этим они отличаются от линий
напряженности электростатического
поля, которые являются разомкнуты-

ми [начинаются на положительных за-

рядах и кончаются на отрицательных
(см. § 79)].

На рис. 165 изображены линии магнит-

ной индукции полосового магнита; они вы-

Рис. 165

Рис. 164

ходят из северного полюса и входят в юж-

ный. Вначале казалось, что здесь наблюда-

ется полная аналогия с линиями напряжен-

ности электростатического поля и полюсы

магнитов играют роль магнитных «зарядов»

(магнитных моиополей). Опыты показали,

что, разрезая магнит на части, его полюсы

разделить нельзя, т. е. в отличие от электри-

ческих зарядов свободные магнитные заря-

ды не существуют, поэтому линии магнит-

ной индукции не могут обрываться на по-

люсах. В дальнейшем было установлено, что

внутри полосовых магнитов имеется маг-

нитное поле, аналогичное полю внутри со-

леноида, и линии магнитной индукции это-

го магнитного поля являются продолжени-

ем линий магнитной индукции вне магни-

та. Таким образом, линии магнитной индук-

ции магнитного поля постоянных магнитов

являются также замкнутыми.

До сих пор мы рассматривали мак-

роскопические токи, текущие в провод-
никах. Однако, согласно предположе-
нию французского физика А. Ампера

(1775— 1836), в любом теле существу-

ют микроскопические токи, обусловлен-
ные движением электронов в атомах и
молекулах. Эти микроскопические мо-
лекулярные токи создают свое магнит-

ное поле и могут поворачиваться в маг-
нитных полях макротоков. Например,
если вблизи какого-то тела поместить
проводник с током (макроток), то под

действием его магнитного поля микро-

токи во всех атомах определенным об-
разом ориентируются, создавая в теле
дополнительное магнитное поле. Век-
тор магнитной индукции  характери-
зует результирующее магнитное поле,
создаваемое всеми макро- и микрото-
ками, т.е. при одном и том же токе и

204

прочих равных условиях вектор

 раз-

личных средах будет иметь разные зна-

чения.

Магнитное поле макротоков описы-

вается вектором напряженности Н.
Для однородной изотропной среды век-
тор магнитной индукции связан с век-
тором напряженности следующим со-
отношением:

(109.3)

где

 — магнитная постоянная;  — без-

размерная величина — магнитная про-

ницаемость среды, показывающая, во
сколько раз магнитное поле макрото-
ков Я усиливается за счет поля
токов среды.

Сравнивая векторные характеристи-

ки

 D)  маг-

нитного

 и Я) полей, укажем, что ана-

логом вектора напряженности электро-

статического поля Е является вектор
магнитной индукции

 так как векто-

ры

 определяют силовые действия

этих полей и зависят от свойств среды.
Аналогом вектора электрического сме-
щения D является вектор напряженно-
сти Я магнитного поля.

§ 110. Закон Био—Савара—

Лапласа и его применение

к расчету магнитного поля

Магнитное поле постоянных токов

различной формы изучалось француз-
скими учеными Ж. Био (1774 —1862) и

Ф.Саваром (1791-1841). Результаты

этих опытов были обобщены выдаю-
щимся французским математиком и

физиком П.Лапласом.

Закон Био — Савара — Лапласа для

проводника с током /, элемент dl ко-
торого создает в некоторой точке А

(рис. 166) индукцию поля dB, записы-

вается в виде

где dl — вектор, по модулю равный дли-
не dl элемента проводника и совпада-
ющий по направлению с током;  — ра-
диус-вектор, проведенный из элемента
dl проводника в точку Л поля;  — мо-
дуль радиуса-вектора

Направление dB перпендикулярно

 и  т. е. перпендикулярно плоскости,

в которой они лежат, и совпадает с ка-
сательной к линии магнитной индук-
ции. Это направление может быть за-
дано по правилу нахождения линий маг-
нитной индукции (правилу правого вин-
та): направление вращения головки
винта дает направление d  если посту-
пательное движение винта соответству-
ет направлению тока в элементе.

Модуль вектора dB определяется

выражением

(110.2)

где а — угол между векторами

 и

Для магнитного поля, как и для элект-

рического, справедлив принцип супер-
позиции: вектор магнитной индукции
результирующего поля, создаваемого
несколькими токами или движущими-
ся зарядами, равен векторной сумме маг-
нитных индукций складываемых полей,
создаваемых каждым током или движу-
щимся зарядом в отдельности:

Рис. 166

205

Рис. 167

Расчет характеристик магнитного

поля

 по приведенным форму-

лам в общем случае сложен. Однако
если распределение тока имеет опреде-
ленную симметрию, то применение за-

кона Био — Савара —Лапласа совмест-
но с принципом суперпозиции позволя-
ет просто рассчитать конкретные поля.

Рассмотрим два примера.

1. Магнитное поле прямого тока —

тока, текущего по тонкому прямому
проводу бесконечной длины (рис. 167).

В произвольной точке А, удаленной от

оси проводника на расстояние R, век-
торы dB от всех элементов тока имеют

одинаковое направление, перпендику-

лярное плоскости чертежа («к нам»).

Поэтому сложение векторов

 можно

заменить сложением их модулей.

В качестве постоянной интегрирова-

ния выберем угол а (угол между век-
торами d/ и

 выразив через него все

остальные величины. Из рис. 167 сле-
дует, проводника

(радиус дуги CD вследствие малости d/

равен  поэтому угол FDC можно счи-
тать прямым). Подставив эти выраже-
ния в (110.2), получим, что магнитная

Рис. 168

индукция, создаваемая одним элемен-
том проводника, равна

(110.4)

Так как угол а для всех элементов

прямого тока изменяется в пределах от
О до

 то, согласно (110.3) и (110.4),

Следовательно, магнитная индук-

ция поля прямого тока

(110.5)

2. Магнитное поле в центре круго-

вого проводника с током (рис. 168).

Как следует из рисунка, все элементы

кругового проводника с током создают
в центре магнитные поля одинакового
направления — вдоль нормали от вит-
ка. Поэтому сложение векторов dB
можно заменить сложением их мо-

дулей. Так как все элементы проводни-

ка перпендикулярны радиусу-вектору
(sin a = 1) и расстояние всех элементов
проводника до центра кругового тока
одинаково и равно R, то, согласно
(110.2),

Тогда

Следовательно, магнитная индук-

ция поля в центре кругового проводни-
ка с током

206