Автоматизированное проектирование и расчет шнековых машин - часть 31

(

)

∑

=

−









−

=

N

i

RGB

RGB

RGB

RGB

C

C

N

C

V

i

1

2

1

1

100

,               (6.67) 

где N – число "проб" цвета; 

RGB

C

 – среднее значение интегральной цветовой характеристики. 

Перепишем формулу (6.67) в терминах x и y и их дисперсий: 
 
 

)

,

(

100

2

1

2

2

2

2

2

1

2

1

c

λ

λ

=

σ

λ

+

σ

λ

λ

+

λ

=

=

∑

∑

f

N

y

x

V

V

y

x

i

i

i

i

RGB

.        (6.68) 

 
Для определения значений 

λ

1

 и 

λ

2

 применяли метод наименьших квадратов. Иными словами, 

пусть  некая  функция  f (x)  задана  в  виде  таблицы  (x

i

,  y

i

)  и  необходимо  найти  полином  возможно 

низшей степени m, такой, что значения Q

m 

(x

i

) будут как можно более близки к значениям функ-

ции f (x) в этих же точках. Согласно методу наименьших квадратов за меру отклонения полинома 

 

m

m

m

x

a

x

a

a

x

Q

+

+

+

=

K

1

0

)

(

                             (6.69) 

 

от данной функции f (x) на множестве точек принимают величину 

 

[

]

∑

=

−

=

n

i

i

i

m

m

x

f

x

Q

S

0

2

)

(

)

(

,                                  (6.70) 

 

равную сумме квадратов отклонений полинома Q

m

(x) от функции f (x) на заданной системе точек. 

Очевидно,  что  S

m

  есть  функция  коэффициентов 

λ

1

  и 

λ

2

.  Эти  коэффициенты  надо  подобрать 

так, чтобы величина S

m

 была наименьшей. 

Для  решения  задачи  точечного  квадратичного  аппроксимирования  можно  воспользоваться 

общим приемом дифференциального исчисления. Найдем частные производные от величины 

 

(

)

∑

=

−

+

+

+

+

=

n

i

i

m

i

m

i

i

m

y

x

a

x

a

x

a

a

S

0

2

2

2

1

0

K

,               (6.71) 

 

где y

i

 = f (x

i

) – по всем переменным a

0

, a

1

, …, a

m

. 

Приравнивая  эти  частные  производные  нулю,  получим  для  определения  неизвестных  a

0

,  a

1

, 

…, a

m

 систему m + 1 уравнений с m + 1 неизвестными: 

























=

−

+

+

+

+

=

∂

∂

=

−

+

+

+

+

=

∂

∂

=

⋅

−

+

+

+

+

=

∂

∂

∑

∑

∑

=

=

=

n

i

m

i

i

m

i

m

i

i

m

m

n

i

i

i

m

i

m

i

i

m

n

i

i

m

i

m

i

i

m

x

y

x

a

x

a

x

a

a

a

S

x

y

x

a

x

a

x

a

a

a

S

y

x

a

x

a

x

a

a

a

S

0

2

2

1

0

0

2

2

1

0

1

0

2

2

1

0

0

0

)

(

2

1

......

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

0

)

(

2

1

0

1

)

(

2

1

K

K

K

.      (6.72) 

 
 
Введем обозначения: 

 

)

,

2

,

1

,

0

(

1

0

K

K

=

+

+

+

=

k

x

x

x

s

k

n

k

k

k

,                      (6.73) 

 
 

)

,

2

,

1

,

0

(

1

1

0

0

K

K

=

+

+

+

=

k

y

x

y

x

y

x

t

n

k

n

k

k

k

.                (6.74)  

 
 

Преобразуя систему (6.72) и используя введенные обозначения, будем иметь: 

 

,

....

..........

..........

..........

..........

..........

..........

2

2

2

1

1

0

2

2

4

2

3

1

2

0

1

1

3

2

2

1

1

0

0

2

2

1

1

0

0

















=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

+

+

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

t

s

a

s

a

s

a

s

a

t

s

a

s

a

s

a

s

a

t

s

a

s

a

s

a

s

a

t

s

a

s

a

s

a

s

a

K

K

K

K

                 (6.75) 

 
 

где 

n – количество 

узлов, 

в 

которых 

известны 

значения 

функции; 

s

0

 

=  

= n + 1. 

В результате описанных выше действий получим систему линейных алгебраических уравне-

ний (6.75), которую можно решать как аналитическими, так и численными методами. 

При выборе структуры и количества "проб" цвета проверялись три способа: 

• 

просмотр всех точек отсканированного образца; 

• 

разбиение изображения на квадраты ("пробы" цвета) и определение значений малых цве-

товых координат x и y в центре "пробы"; 

• 

то же, но с усреднением значений x и y по каждой "пробе". 

Как  показывают  результаты,  наилучшим  (в  смысле  соответствия  расчетных  и  эксперимен-

тальных данных) является третий способ. 

Обработав  по  изложенной  методике  отсканированные  образцы  перерабатываемой  компози-

ции, получим данные о неоднородности последней на различных стадиях смешения. 

Сравнение данных, полученных при измерении коэффициента неоднородности по отработан-

ным методикам, изложенной в [17] и с помощью описанного выше способа, дает возможность сде-
лать  вывод,  что  разработанная  методика  экспресс-анализа  позволяет  достаточно  точно  опреде-
лять коэффициент неоднородности композиции (разброс составляет не более 5 %). При этом ко-
личество "проб" цвета должно быть не менее 400 (для отсканированных изображений размером 
240 

× 240 точек и разрешением 72 точки/дюйм). 
Описанные методики использованы для экспериментального определения коэффициента не-

однородности  композиции  в  зависимости  от  конфигурации  смесительных  кулачков,  частоты 
вращения рабочих органов и начальной концентрации перерабатываемой композиции. 

Результаты этой серии экспериментов представлены на рис. 6.20 – 6.22. 
Как видно из приведенных графиков, прослеживается определенная зависимость: требуемое 

значение коэффициента неоднородности смеси концентрацией 80 % в зоне с шестеренчатыми на-
садками достигается за меньшее время, чем в зонах с другими насадками, то есть их целесообраз-
но прежде всего использовать для растворения так называемых "бобов", т.е. агломератов нерас-
творившегося полимера. Для смеси концентрацией 50 % лучше "работают" эксцентриковые на-
садки, а при низких концентрациях (20 %) – эллиптические. 

Разработанные методики определения качества смешения полимерных композиций реализо-

ваны  в  программном  обеспечении [88] и  дают  возможность  проводить  оценку  интенсивности 
процесса смешения для широкого класса смесителей (вальцы, роторные и лопастные смесители, 
периодического и непрерывного действия и др.). 

 

6.3. МЕТОДИКА И ПРИМЕР ИНЖЕНЕРНОГО РАСЧЕТА МИНИМАЛЬНОЙ ДЛИНЫ 

РАБОЧИХ ОРГАНОВ СМЕСИТЕЛЯ  

ТИПА СН 

 
Предложена методика инженерного расчета минимальной длины рабочих органов двухшнеко-

вых смесителей. 

1.  Исходные данные, необходимые для расчета: m

0

, n

, 

ρ – реологические константы и плот-

ность высоковязкой композиции при температуре переработки T

пер.

; V

cн

 и V

cк

 – начальный и конеч-

ный  коэффициенты  неоднородности  смеси; 

ω  –  угловая  скорость  вращения  шнеков;  геометриче-

ские 

параметры 

напорных 

(диаметр 

шнека 

D, 

глубина  

нарезки H, ширина гребня B, шаг нарезки t, угол наклона винтовой линии 

ϕ, угол сопряжения α) и 

смесительных насадок (табл.  6.1); зависимости динамики коэффициента неоднородности от вре-
мени  пребывания  для  смеси  различных  концентраций  и  коэффициента  уменьшения  производи-
тельности от перепада давлений по длине рабочих органов. 

2.  Постановка задачи расчета. 
В а р и а н т  1:  Разработка производства высоковязких полимерных композиций и проектиро-

вание нового оборудования. 

В а р и а н т  2:  Модернизация существующего процесса и оборудования при производстве 

высоковязких полимерных композиций. 

3.  По уравнениям пп. 6.1 и 6.2 с помощью программного обеспечения [68] определяются: 
в а р и а н т  1 – геометрические параметры рабочих органов (D, H, B, t, 

ϕ, α), оптимальная 

компоновка и длины участков со смесительными насадками различной конфигурации, минималь-
ная длина рабочих органов; 

в а р и а н т  2 – оптимальная компоновка и длины участков со смесительными насадками раз-

личной конфигурации, минимальная длина рабочих органов. 

В  качестве  примера  рассчитаем  минимальную  длину  рабочих  органов  двухшнекового  смеси-

теля для производства резинового клея. 

Исходные  данные  (вариант 2): на  основании  данных  исследований  процесса  приготовления 

клеевой композиции в смесителе непрерывного действия типа СН-40 были экспериментально оп-
ределены длины участков с различными смесительными насадками; длина рабочих органов (до оп-
тимизации) без учета длины напорных шнековых насадок L

0

 = 728 мм (рис. 6.25); скорость враще-

ния шнеков 

ω = 4,2 с

–1

; начальный коэффициент неоднородности смеси V

cн

 = 0,85; коэффициент 

неоднородности конечного продукта V

cк

 = 0,05; геометрические параметры насадок (рис. 6.4) при-

ведены в табл. 6.3. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Таблица 6.3 

 

Виды наса-

док 

Геометрические параметры 

Напорные  
винтовые 

D = 0,038 м,   H = 0,005 м,   B = 0,004 м,  

t = 0,012 м,   

ϕ = 0,21 рад,   α = 1,12 рад 

Смеситель-
ные  
эллиптиче-
ские 

a

эл

 = 0,019 м,   b

эл

 = 0,014 м 

Смеситель-
ные  
эксцентри-
ковые 

r

эксц

 = 0,017 м 

Смеситель-
ные  
зубчатые 

r

зуб

 = 0,015 м;   n

зуб

 = 17;   a

зуб

 = 0,002 м;  

b

зуб

 = 0,004 м;   h = 0,004 м 

 
 

В  соответствии  с  приведенными  выше  рекомендациями  принимаем  следующую  компоновку 

(порядок расположения насадок в направлении выходного отверстия смесителя): напорные червяч-
ные насадки 

→ зубчатые кулачки → обратные червячные насадки → эксцентриковые кулачки → 

эллиптические кулачки 

→ обратные червячные насадки. Последние использованы для того, чтобы 

увеличить время пребывания композиции в зонах смешения. 

Такая компоновка смесительных элементов выбрана, исходя из результатов проведенных экс-

периментальных исследований процесса приготовления высоковязкой клеевой композиции на ос-
нове натурального каучука "смокед-шитс" и растворителя нефраса C2-80/120. Треугольные кулач-
ки  в  данной  компоновке  не  использованы,  так  как  смесительный  эффект,  оказываемый  ими  на 
смесь концентрацией 50 %, сравним с действием эксцентриковых кулачков и несколько им уступа-
ет, а для смеси концентрацией 80 % и 20 % лучше "работают" соответственно зубчатые и эллипти-
ческие кулачки. 

Рассчитаем по формуле (6.12) производительность смесителя, оснащенного только шнековыми 

рабочими органами:  

 

7

10

7

−

⋅

=

V

Q

 м

3

/с. 

 

Найдем далее производительность смесителя с учетом наличия смесительных кулачков (6.10).