Арифметические основы цифровой техники - часть 3

Таблица 1.2 

R

2

′′′

 

R

2

′′

 

R

2

′

 

R

1

 

 

0 0 1 0 

0 0 1 1 

  0 1 0 1 

 

Исходное состояние 

0 0 0 1 

0 0 0 1 

1 

Сдвиг 

 

 

_1 0 1 0 
  0 0 1 1 

 

Коррекция 

 

 

  0 1 1 1 

 

 

0 0 0 0 

1 1 

Сдвиг 

 

 

_ 1 0 0 0 

    0 0 1 1 

_1 0 1 1 
  0 0 1 1 

 

Коррекция 

 

  0 1 0 1  

 

1 0 0 0 

 

 

0 0 0 0 

  0 0 1 0 

0 1 1 

Сдвиг 

 

 

_1 1 0 0 
  0 0 1 1 

 

Коррекция 

  

 

 

1 0 0 1 

 

 

0 0 0 0 

 0 0 0 1 

  0 1 0 0 

1 0 1 1 

Сдвиг 

0 0 0 0 

 0 0 0 0 

0 1 0 1 1 

Сдвиг 

 

 

_1 0 1 0 
  0 0 1 1 

 

Коррекция 

 

 

  0 1 1 1 

 

 

0 0 0 0 

 0 0 0 0 

  0 0 1 1 

1 0 1 0 1 1  

Сдвиг 

0 0 0 0 

 0 0 0 0 

  0 0 0 1 

1 1 0 1 0 1 1 

Сдвиг 

0 0 0 0 

 0 0 0 0 

  0 0 0 0 

1 1 1 0 1 0 1 1 

Сдвиг 

 
На  рис.  1.2  и  1.3  показаны  алгоритмы  преобразования  чисел 

рассмотренным способом из двоичной системы счисления в десятичную и 
обратно. 

 

    Рис. 1.2  

 

 

 

      Рис. 1.3 

1.3.  Упражнения и задания 

Таблица 1.3 

Номер 

варианта 

А B  C 

D 

1 

5170,236

8

 A39,FB4

16

 4037,587

10

 

1001111100,110111

2

 

2 6304,352

8

 FBA,975

16

 3987,654

10

 

1011111000,101110

2

 

3 2736,503

8

 EFO,B94

16

 3095,743

10

 

1000111101,110111

2

 

4 

1651

8

 

1D7, 6C

16

 260

10

 

10111101

2

 

Над числами A-D, представленными в таблице 1.3, провести следующие 

операции: 

•

 

преобразование восьмеричных чисел в двоичную систему счисления; 

•

 

преобразование шестнадцатеричных чисел в двоичную систему счисления; 

•

 

преобразование двоичных чисел в восьмеричную систему счисления; 

•

 

преобразование двоичных чисел в шестнадцатеричную систему счисления; 

•

 

преобразование восьмеричных чисел в десятичную систему счисления; 

•

 

преобразование  шестнадцатеричных  чисел  в  десятичную  систему 
счисления; 

•

 

преобразование двоичных чисел в десятичную систему счисления; 

•

 

преобразование  десятичных  чисел  в  шестнадцатеричную  систему 
счисления. 

 

2. ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ  

В ЦИФРОВЫХ УСТРОЙСТВАХ 

 
2.1. Целые числа 
Числа в цифровых устройствах могут  представляться в форме целых 

чисел, чисел с фиксированной запятой и чисел с плавающей запятой. 

При  решении  задач  целые  числа  встречаются  в  случаях  представления 

индексов переменных, подсчета числа повторений каких-либо действий и т. д. 
Для хранения целых чисел в ячейке памяти предусматривается распределение 
разрядов  (разрядная  сетка),  показанное  на  рис. 2.1,  а.  Один  из  п  разрядов 
отводится под знак числа, остальные разряды отводятся под модуль числа. 

Обычно  применяют  следующий  способ  кодирования  знака  числа: "+" 

обозначают  цифрой 0 в  знаковом  разряде, "—" – цифрой  1  в  знаковом 
разряде. 

Модуль  числа  занимает  в  разрядной  сетке  ее  младшие  разряды, 

свободные  старшие  разряды  заполняются  нулями.  Например,  число  –13

10

, 

представленное  в  двоичной  системе  счисления  значением  –1101

2

,  в 8-

разрядной сетке имеет вид, показанный на рис. 2.1, б. 

 
 
 

Рис. 2.1 

 

Если  количество  значащих  разрядов  модуля  числа  превышает  n

–

1, 

происходит  потеря  старших  разрядов  модуля.  Это  явление,  называемое 
переполнением разрядной сетки, приводит к ошибке в представлении числа. 

Диапазон  модулей  чисел,  которые  могут  быть  представлены  в       

n-разрядной сетке, от 0 (при цифре 0 во всех разрядах модуля) до 2

n-1

 – 1 

(при цифре 1 во всех разрядах модуля). 

В универсальных ЭВМ обычно используется два формата целых чисел: 

короткий  с  числом  разрядов  n=16  и  длинный  с  n=32.  При  этом 
максимальные значения модулей чисел соответственно 

 

).

32

при

(

10

2

10

2

1

2

2

1

2

),

16

при

(

10

32

1

1024

32

1

2

2

1

2

9

3

,

0

30

30

31

3

10

5

15

=

⋅

=

⋅

≈

−

⋅

=

−

=

⋅

≈

−

⋅

=

−

⋅

=

−

⋅

n

n

 

 

2.2.  Числа с фиксированной точкой 
При  этой  форме  обычно  запятая,  отделяющая  целую  часть  числа  от  ее 

дробной  части,  фиксируется  перед  старшим  разрядом  модуля  числа  (рис. 
2.2).  Таким  образом,  значение  модуля  числа  всегда  оказывается  меньше 
единицы.  Это  условие  путем  выбора  определенных  масштабных 
коэффициентов должно выполняться для исходных данных задачи и всех 
промежуточных результатов вычислений. 

 

  

… 

  

 

   Знаковый разряд   

        Разряды модуля числа

 

   

   Место запятой 

Рис. 2.2 

 

При  занесении  числа  в  ячейку  памяти  свободные  младшие  разряды 

заполняются нулями, а если число значащих разрядов модуля больше п

–

1, 

то  младшие  разряды  модуля,  которые  не  поместились  в  разрядной  сетке, 
теряются. Это приводит к погрешности, значение которой меньше единицы 
младшего разряда разрядной сетки, т. е. 

ε

абс

 < 2

-(n-1)

.  

При n=16  

ε

абс

 < 2

-15

 = 1/(32

⋅

10

3

),  при n=32   

ε

абс

 < 2

-31

 = 1/(2

⋅

10

9

). 

Если  число  имеет  целую  часть,  то  для  ее  хранения  в  разрядной  сетке 

места нет, она теряется, число в разрядной сетке оказывается ошибочным. 

Достоинство  представления  чисел  в  форме  с  фиксированной  запятой 

состоит  в  простоте  выполнения  арифметических  операций;  недостатки – в 
необходимости  выбора  масштабных  коэффициентов  и  в  низкой  точности 
представления чисел с малыми значениями модуля (нули в старших разрядах 
модуля приводят к уменьшению количества разрядов, занимаемых значащей 
частью модуля числа). 

 
2.3.  Числа с плавающей точкой 
Для  научно-технических  расчетов  необходимо  представлять  числа  в 

широком  диапазоне  и  с  достаточно  большой  точностью.  Указанным  требо-
ваниям отвечают числа с плавающей точкой (рис. 2.3). 

Рис. 2.3 

 
Число  состоит  из  мантиссы,  старший  разряд  которой  определяет  знак 

числа,  и  порядка  со  знаком.  Значение  модуля  мантиссы  представляется 
двоичным  дробным  числом,  т.  е.  запятая  фиксируется  перед  старшим 
разрядом  модуля  мантиссы,  порядок  представляется  целым  числом. 
Порядок  указывает  действительное  положение  запятой  в  числе.  Код  в 
приведенном 

формате 

представляет 

значение 

числа 

в 

полулогарифмической форме:  

П

M

N

2

⋅

=

, 

где М и П – мантисса и порядок числа. 

Точность  представления  значений  зависит  от  количества  значащих 

цифр  мантиссы.  Для  повышения  точности  числа  с  плавающей  запятой 
представляются в нормализованной форме, при которой значение модуля 
мантиссы  лежит  в  пределах 0,5

≤

 

|

М

|

 

<

1.  Признаком  нормализованного 

числа  служит  наличие  единицы  в  старшем  разряде  модуля  мантиссы.  В 
нормализованной форме могут быть представлены все числа из некоторого 
диапазона за исключением нуля.