Арифметические основы цифровой техники - часть 1

1. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ 

 

1.1.  Представление чисел в различных системах счисления 
Под  системой  счисления  понимают  совокупность  правил  изображения 

числа с помощью цифровых знаков. Если при записи числа значимость цифры 
зависит  от  места  (позиции),  занимаемого  в  числе,  то  система  счисления 
называется позиционной. Для представления чисел в цифровых устройствах, а 
также 

для 

представления  разнообразной  информации  в  процессе 

программирования наряду с привычной для нас десятичной системой счисления 
широко  используются  другие.  Рассмотрим  принцип  построения  наиболее 
употребительных позиционных систем счисления. 

Числа  в  таких  системах  счисления  представляются  последовательностью 

цифр (цифр разрядов), разделенных запятой на две группы: группу разрядов, 
изображающую целую часть числа, и группу разрядов, изображающую дробную 
часть числа: 

…а

2

а

1

а

0 

, а

-1

а

-2

…

 

Здесь а

0

, а

1

… обозначают цифры нулевого, первого и т.д. разрядов целой 

части  числа;  а

-1

,  а

-2

… – цифры  первого,  второго  и  т.д.  разрядов  дробной  части 

числа.. 

Единице каждого разряда приписан определенный вес p

k

, где р — основание 

системы  счисления,  k – номер  разряда,  равный  индексу  при  буквах,  изоб-
ражающих  цифры  разрядов.  Так,  представленная  запись  означает  следующее 
количество: 

...

2

2

1

1

0

0

1

1

2

2

...

+

−

⋅

−

+

−

⋅

−

+

⋅

+

⋅

+

⋅

+

=

p

a

p

a

p

a

p

a

p

a

N

 

Для представления цифр разрядов используется набор из р различных сим-

волов. Так, при р = 10 (т. е. в обычной десятичной системе счисления) для записи 
цифр разрядов используется набор из десяти символов: 0, 1, 2, ...., 9. При этом 
запись числа 729,324

10

 (здесь и в дальнейшем индекс при числе будет указывать 

основание системы счисления, в которой представлено число) означает следующее 
количество: 

  7        2      9   ,    3        2        4 

10

   =   7

⋅

10

2

 + 2

⋅

10

1

 + 9

⋅

10

0

 + 3

⋅

10

-1

 + 2

⋅

10

-2

 + 4

⋅

10

-3

 

 

    10

2

   10

1

   10

0

    10

-1

   10

-2

    10

-3

 

    Весовые коэффициенты разрядов 

Используя  такой  принцип  представления  чисел,  но  выбирая  различные 

значения основания р, можно строить разнообразные системы счисления. 

 
Двоичная  система  счисления.  Основание  системы  счисления  р=2.  Таким 

образом, для записи цифр разрядов требуется набор всего лишь из двух символов, 
в  качестве  которых  используются 0 и  1.  Следовательно,  в  двоичной  системе 
счисления число представляется последовательностью символов 0 и 1. При этом 
запись  11011,101

2

  соответствует  в  десятичной  системе  счислении  следующему 

числу: 

          1    1    0    1    1  ,  1    0    1 

2

     =      (1

⋅

2

4

 + 1

⋅

2

3

 + 0

⋅

2

2

 + 1

⋅

2

1

 + 1

⋅

2

0

 + 

                  + 1

⋅

2

-1

 + 0

⋅

2

-2

 + 1

⋅

2

-3

)

10

 = 27, 625

10

. 

 

         2

4

   2

3

   2

2

   2

1

   2

0

   2

-1

  2

-2

  2

-3

 

        Весовые коэффициенты разрядов 

 

Восьмеричная  система  счисления.  Основание  системы  р=8. 

Следовательно, для представления цифр разрядов должно использоваться 
восемь  разных  символов,  в  качестве  которых  выбраны 0, 1, 2,…, 7. 
Символы 8 и 9 здесь  не  используются  и  в  записи  чисел  встречаться  не 
должны.  Например,  записи 735,46

8

  в  десятичной  системе  счисления 

соответствует следующее число: 

7    3    5  ,   4    6 

8

  =  (7

⋅

8

2

 + 3

⋅

8

1

 + 5

⋅

8

0

 + 4

⋅

8

-1

 + 6

⋅

8

-2

)

10

 = 477, 59375

10.

 

 

        8

2

  8

1

   8

0

     8

-1

  8

-2

 

   Весовые коэффициенты разрядов

 

 
Шестнадцатеричная  система  счисления.  Основание  системы 

счисления  р=16  и  для  записи  цифр  разрядов  должен  использоваться  набор  из 
шестнадцати символов: 0, 1, 2,...,  9, А, В, С, D, Е, F. В нем используются десять 
арабских цифр, и до требуемых шестнадцати их дополняют шестью начальными 
буквами  латинского  алфавита.  При  этом  символ  А  соответствует  количеству,  в 
десятичной системе счисления равному 10, В – 11, С – 12, D – 13, Е – 14 и F – 15. 

Запись  АВ9,С2F

16

  соответствует  следующему  числу  в  десятичной 

системе счисления: 

 A      B      9  ,  C       2     F 

16

  =  (10

⋅

16

2

 + 11

⋅

16

1

 + 9

⋅

16

0

 + 12

⋅

16

-1

 +  

                                                    + 2

⋅

16

-2

 + 15

⋅

16

-3

)

10

 = 2745, 7614745…

10

 

        
        16

2

   16

1

   16

0

   16

-1

  16

-2

  16

-3

 

            Весовые коэффициенты разрядов

 

 

Хранение n-разрядных чисел в цифровой аппаратуре можно осуществить с 

помощью  устройств,  содержащих  n  элементов,  каждый  из  которых  запоминает 
цифру  соответствующего  разряда  числа.  Наиболее  просто  осуществляется  хра-
нение  чисел,  представленных  в  двоичной  системе  счисления.  Для  запоминания 
цифры каждого разряда двоичного числа могут использоваться устройства с двумя 
устойчивыми  состояниями  (триггеры).  Одному  из  этих  устойчивых  состояний 
ставится в соответствие цифра 0, другому – цифра 1. 

При  хранении  десятичных  чисел  каждая  цифра  десятичного  числа 

предварительно  представляется  в  двоичной  форме.  Такая  форма  представления 
чисел называется двоично-кодированной десятичной системой. Например, число 
765,93

10

 в двоично-кодированной десятичной системе представляется в следующем 

виде: 

765, 93

10

 =  0111  0110  0101  ,  1001  0011 

2-10

 

   

 

 

 

     7         6         5           9         3 

. 

Заметим,  что,  несмотря  на  внешнее  сходство  двоично-кодированного 

десятичного числа с двоичным числом, оно не является двоичным. В этом можно 
легко  убедиться.  Если  целую  часть  приведенной  выше  записи  в  правой  части 
равенства рассматривать как двоичное число, то оно при переводе в десятичную 
систему счисления означало бы 1893

10

, что не совпадает с целой частью исходного 

числа 765. 

Рассмотренный способ двоичного представления (кодирования) десятичных 

цифр использует так называемый код 8421 (название кода составлено из весовых 
коэффициентов разрядов в двоичной системе счисления). 

 
1.2.  Преобразование чисел из одной системы счисления в другую 
Основания  восьмеричной  и  шестнадцатеричной  систем  счисления 

выражаются  целой  степенью  двух (8=2

3

;  16=2

4

).  Этим  объясняется  простота 

преобразования чисел  между этими системами и двоичной системой счисления. 

Для перевода чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную 

достаточно  каждую  цифру  восьмеричного  числа  заменить  соответствующим 
трехразрядным двоичным числом. Например, 

 

762, 35

8

 =  111  110  010  ,  011  101 

2.

 

   

 

 

 

          7       6       2         3      5 

Перевод  в  двоичную  систему  счисления  шестнадцатеричных  чисел 

достигается 

заменой 

цифр 

шестнадцатеричного 

представления 

четырехразрядными двоичными числами. Например, 

 

А7В, С7

16

 =  1010  0111  1011  ,  1100  0111 

2.

 

   

 

 

 

        А        7         В           С       7 

При обратном переводе чисел из двоичной системы в восьмеричную или 

шестнадцатеричную  систему  счисления  необходимо  разряды  двоичного  числа, 
отсчитывая  их  от  запятой  влево  и  вправо,  разбить  на  группы  по  три  разряда        
(в случае перевода в восьмеричную систему) или на группы по четыре разряда    
(в случае перевода в шестнадцатеричную систему счисления). Неполные крайние 
группы  дополняются  до  полных  нулями.  Затем  каждая  двоичная  группа 
представляется  цифрой  той  системы  счисления,  в  которую  переводится  число. 
Например, 

 
001  111  ,  101  010 

2

 = 17, 52

8

; 

   0101  1100  ,  1101  0110 

2

 = 5С, D6

16.

 

   1     7          5      2                                     5        С          D        6 
Большую сложность представляет перевод чисел между десятичной и двоич-

ной системами счисления. Метод, используемый для такого перевода, зависит от 
того,  в  какой  системе  счисления  представлены  числа,  над  которыми 
проводятся  необходимые  для  перевода  чисел  арифметические  операции.  Если 
перевод  производится  человеком,  то,  очевидно,  операции  будут  выполняться 
над числами в десятичной системе счисления; если же перевод осуществляется 
цифровым  устройством,  арифметические  операции  удобнее  выполнять  над 
числами в двоичной системе счисления. Рассмотрим эти два случая. 

Перевод  чисел с  выполнением операций над десятичными  числами.  Так 

как  преобразование  чисел  между  двоичной  и  шестнадцатеричной  системами 
счисления  не  представляет  труда,  то  для  простоты  выкладок  будем  в 
дальнейшем  рассматривать  перевод  чисел  между  шестнадцатеричной  и 
десятичной системами счислении. 

Пусть требуется перевести число из шестнадцатеричной в десятичную 

систему  счисления.  В  качестве  примера  выберем  число 9A5F,C83B

16

.  С  учетом 

весов  разрядов  шестнадцатеричной  системы  счисления  запишем  это  число  в 
десятичной системе счисления: 

9A5F, C83B

16

 = 

= (9

⋅

16

3

 + 10

⋅

16

2

 + 5

⋅

16

1

 +  15

⋅

16

0

  + 12

⋅

16

-1

 + 8

⋅

16

-2

 + 3

⋅

16

-3

 + 11

⋅

16

-4

)

10

 = 

 

    A     

         F   

  C     

 

          B 

Целая часть   

 

Дробная часть 

= 

(

(

(9

⋅

16 + 10)

⋅

16 +5

)

⋅

16 + 15 + 16

-1

⋅

(

12 + 16

-1

⋅

(

8 + 16

-1

⋅

(3 + 16

-1

⋅

11)

)

)

)

10

. 

                  
                  Целая часть  

 

 

Дробная часть 

Здесь путем группировки членов вычисление полиномов представлено в 

форме  так  называемой  схемы  Горнера,  удобной  для  программирования  и 
обеспечивающей минимальное число выполняемых операций умножения. 

Вычисления в приведенном примере дают следующий результат: 

9A5F, C83B

16

 = 39519, 7821502

10

. 

Целая часть числа преобразуется точно, дробная часть — приближенно. В 

приведенном примере вычисления при нахождении дробной части выполнялись с 
точностью, определяемой семью десятичными разрядами. 

Рассмотрим обратный перевод чисел из десятичной в шестнадцатеричную 

систему  счисления.  Воспользуемся  приведенным  выше  примером.  Теперь 
будем  считать  заданным  десятичное число 39519, 7821502

10

  и  будем  искать  его 

представление  в  шестнадцатеричной  системе  счисления.  Преобразуем  целую 
часть числа. Из равенства 

39519

10

 = 

(

(9

⋅

16+10)

⋅

16+5

)

⋅

16+15 

 

           A                     F 

можно  вывести  следующее  правило  получения  цифр  шестнадцатеричного 
представления.  Деление  правой  части  равенства  (т.  е.  целой  части  заданного 
числа)  на  16  дает  в  частном (9

⋅

16+10)

⋅

16+5  и  в  остатке  15 (т.  е. F); деление 

полученного  частного  на  16  даст  частное  9

⋅

16+10  и  остаток 5; деление 

последнего  частного  приведет  к  частному 9 и  остатку  10 (т.  е.  А).  Таким 
образом,  последовательно  деля  на  16  целую  часть  десятичного  числа  и 
образующиеся частные, получаем в последнем частном и остатках цифры всех 
разрядов  шестнадцатеричного  представления  целой  части  числа.  Покажем  эти