XII Олимпиада по нанотехнологиям (с решениями) - часть 34

 

 

 

 

 

помещают  ниже  поверхности  подложки.  Совершающие  броуновское  движение 
наночастицы, попадая в лазерный пучок, движутся по направлению к его фокусу за счет силы 
оптического  захвата  (см.  рис.  2).  При  достаточной  мощности  лазера  наночастицы 
преодолевают потенциальный барьер, образуемый при сложении сил F

el

 и F

VdW

.  

 
Учитывая,  что  сила  оптического  захвата  F

opt

  прямо  пропорциональна  мощности  лазера  и 

удалению наночастицы от точки фокуса с коэффициентом пропорциональности  k = 3.75·10

–2

 

Н/(Вт·м), 

определите 

минимальную 

мощность 

лазера 

P

min

, 

достаточную 

для 

контролируемого осаждения наночастиц, находящихся вблизи от подложки, если известно, 
что  точка  фокуса  располагается  на  z

foc

 = 29  нм  ниже  поверхности  подложки.  При  расчетах 

полагать,  что  вдали  от  подложки  наночастицы  находятся  в  коллоидном  растворе  в 
равновесии, а максимальное значение результирующей силы, действующей на наночастицы 
в  отсутствие  лазерного  пучка,   

    

   

 = 12  пН  достигается  при  расстоянии  между 

наночастицами  и  подложкой  равном  z

min

 = 3  нм  (см.  рис.  1).  Ускорением  движущихся 

наночастиц, попавших в лазерный пучок, пренебречь. 
 

 

 

 

 

 

     Рис. 1 

 

 

 

 

 

     Рис. 2 

 
Всего – 20 баллов 
 

Задача 8. Эпитаксия  

 
Эпитаксия  –  явление  ориентированного  роста  одного  кристалла  на  поверхности  другого.  В 
идеальном  случае  кристаллическая  решётка  растущего  кристалла  продолжает  структуру 
подложки.  Однако  в  большинстве  случаев  параметры  элементарных  ячеек  плёнки  и 
подложки  незначительно  различаются.  В  результате  растущий  кристалл  оказывается  в 
напряжённом 

состоянии, 

а 

параметры 

ячейки 

– 

искажёнными 

относительно 

ненапряжённого  образца.  Например,  можно  эпитаксиально  вырастить  тонкие  плёнки 
Nd

2

NiMnO

6

  на  поверхности  монокристалла  перовскита  (длина  ребра  кубической 

элементарной  ячейки  a  =  3.905  Å).  Согласно  результатам  рентгеновской  дифракции  (длина 
волны  излучения  λ  =  1.54  Å),  пики  (дифракционные  максимумы),  которые  соответствуют 
направлению,  перпендикулярному  плоскости  плёнки,  смещаются  в  сторону  больших  углов 
по сравнению с пиками от объёмного монокристалла того же состава. При этом уменьшение 
толщины плёнки приводит к более сильному смещению пика (таблица). 
 
 

 

266

 

 

 

 

 

Таблица.  Положение  первого  дифракционного  максимума  для  образцов  Nd

2

NiMnO

6 

различной толщины. 
 

Толщина плёнки, нм 

Положение первого дифракционного 

максимума, градусы 

60 

11.7000 

180 

11.6135 

300 

11.5920 

Объёмный монокристалл 

11.5765 

 

1.

 

Исходя  из  приведённых  данных,  определите  параметры  элементарной  ячейки 
Nd

2

NiMnO

6 

для случаев объёмного монокристалла и тонких плёнок с толщиной 60 нм, 

180 нм и 300 нм. Известно, что объёмный монокристалл данного соединения имеет 
кубическую  структуру  (как  и  перовскит),  а  подложка  ориентирована  так,  чтобы 
определяемое  межплоскостное  расстояние  совпадало  с  параметром  ячейки.  В 
расчётах  следует  учесть,  что  параметры  ячейки,  параллельные  плоскости  подложки, 
также  будут  искажаться  для  лучшего  соответствия  параметрам  подложки  и 
сохранения объёма элементарной ячейки. (15 баллов) 
 

2.

 

Объясните  зависимость  параметров  элементарной  ячейки  плёнок  от  их  толщины.  
(5 баллов) 

 
Для справки. Формула Брэгга-Вульфа для первого дифракционного максимума: 2d·sinθ = λ. 
 
Всего – 20 баллов 
 
 
 
 

 

267

 

 

 

 

 

 

Физика для школьников 7 – 11 класса (очный тур) 
Решения. Простые задачи (вариант 3) 

 

Решение задачи 1. Сверхпрочная паутина 
 

1.

 

Запишем  закон  Гука  для  растягивающей  силы:          ,  в  котором  коэффициент 
жесткости  k  можно  выразить  через  модуль Юнга  E  следующим  образом:     

  

 

,  где 

S/L  –  отношение  площади  поперечного  сечения  нитей  к  их  исходной  длине  (по 
условию – величина постоянная для обеих нитей). Приравнивая приложенные силы и 
сокращая  на  S/L,  для  двух  нитей  имеем:   

CNT

    

CNT

   

o

    

o

,  откуда    

CNT

 

 

o

 

CNT

 

  

o

 

 

  

    

o

         (Δl

o

, таким образом, больше).  

Искомая разница равна:       

o

    

CNT

        . 

 

2.

 

Для  ответа  на  второй  вопрос  посчитаем  площадь  поперечного  сечения  нити 
усиленной углеродными нанотрубками паутины: 
 

   

  

 

 

           

   

  

 

 

 
Предел  прочности  σ

0

  есть  отношение  предельной  силы  растяжения  к  площади 

поперечного сечения. В качестве силы выступает сила тяжести груза, следовательно, 
максимально допустимая масса груза равна: 
 

 

   

 

 

 

 

 

 

        

 

               

   

  

 

       

 

        

  

          

 

Решение задачи 2. Ротор из ДНК 
 

1.

 

Так  как  ротор  заряжен  равномерно  по  длине,  все  силы  можно  заменить 
равнодействующей, приложенной к его середине, т.е. плечо составит 15 нм, а полный 
заряд 1.28 10

–19

 Кл. Таким образом момент сил будет равен: 

     

 

 

    

 

 

           

   

         

  

           

   

Н   м 

 

2.

 

Из  условия  равенства  моментов,  для  осевой  силы  F

axis

,  в  точке  приложения 

блокирующей силы запишем соотношение: 

 

 
 

  

    

 

 
 

   

268

 

 

 

 

 

Отсюда: 

 

    

 

 
 

   

 
 

             

   

  

 

Решение задачи 3. Примесь в нанопроводе  

 

1.

 

Сила взаимодействия:    

 

    

 

 

 

 

 

. Проекция:  

 

          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 или иначе 

 

 

 

 

    

 

   

 

 

 

        

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

Отвечая на вопрос 1, сравниваем 

      

 

 

 

 

 

 

 

  

 

  

 

 

  

 

 для случаев 1) и 2) 

1)

 

a = d   

 

 

 

        

 

    

 

 

2)

 

a = d/4  

 

 

 

        

  

    

 

 

 
Больше во втором случае. 
 

2.

 

Отвечая на вопрос 2, удобнее анализировать проекцию силы, как функцию угла: 
 

           

 

                     

 

                           

 

     

 
Функция достигает максимума при         

 

  

. 

 

   

 

 

      

 

      

         

 

Решение задачи 4. Конденсация алканов 

 

Молярный объём конденсата 



M

V

m



. Уравнение Томсона-Кельвина принимает вид: 

r

P

P

M

RT

c







cos

2

ln

0





















 

 

Подставляя данные из условия задачи, находим: 
 

3

0

3

0

кг

Дж

1

Н

601.26  

8.314 

300К

2 11.3 10

cos(0)

м

моль К

1.15

м

ln

кг

0.058  

моль

P

P

r

























 













 

r = 6.25 нм, d = 12.5 нм. 

 
 
 

269

 

 

 

 

 

Решение задачи 5. Нанотехнологии для косметологии 

 

1.

 

Наночастицы углерода попадают в фолликулы и поглощают лазерное излучение. Это 
приводит к поглощению и нагреву на нужной глубине, а следовательно и к удалению 
фолликул. 
 

2.

 

Для импульсного лазера  
 

             , 

 

где   – ослабление на глубине 5 мм, Δt = 1 сек. 
 
По  графику  определяем  приблизительное  значение     на  глубине  5  мм  для  разных 
длин волн. 
 

   

 
 

 для λ = 1064 нм,    

 
 

 для λ= 980 нм,    

 

   

 для λ= 650 нм. 

 

Для лазера №1  

                  

  

  

 

     

 

    

 
 

          .  

 
Длительность  импульса  позволяет  оценить  мгновенную  мощность,  но  обычно  для 
сравнения выражают среднюю мощность за весь интервал времени (в задаче это Δt = 
1 сек). 
 
Для непрерывного лазера  
 

        , 

 

где   – ослабление на глубине 5 мм, Δt = 1 сек. 
 
Для лазера №2 

                

 
 

              

Для лазера №3 

                 

 

   

              

 
Лазер №1 предпочтительнее. 
 
 
 
 

 

 

270

 

 

 

 

 

 

Физика для школьников 7 – 11 класса (очный тур) 
Решения. Более сложные задачи 

 

Решение задачи 6. Наноконтейнер в кровотоке 

 
Исходя  из  сохранения  суммарного  потока  жидкости  (неразрывность  струи),  сначала 
рассчитаем скорость движения потока в капиллярах, v

cap

: 

 

     

 

 

 

 

 

 

   

   

 

   

 

 

   

              

  

 

 

            

  

   

  

 

 

 

   

 

 

где N

v,cap

 – число вен и капилляров, d

v,cap

 – их диаметр. Отсюда искомое v

cap

 = 2.5 мкм/сек. 

 
На  частицу  в  кровотоке  действуют  три  силы:  сила  вязкого  трения,  увлекающего  частицу  в 
поток F

flow

, сила Архимеда и сила тяжести. Для шара радиуса r получим: 

 

  

 

  

 

 

     

 
 

  

 

, 

 

где  – разность плотностей частицы и крови (формула для разности силы тяжести и силы 
Архимеда). Отсюда находим выражение для критического радиуса: 
 

   

   

 

     

 

 
Таким образом, для вены получаем 
 

 

 

 

       

 

             

      мм 

(1) 

 
Для капилляров: 
 

 

   

 

             

  

 

 

             

          

   

 м 

(2) 

 
Итого, с учетом того, что радиус капилляра составляет 5 мкм, искомый диапазон частиц – от 
1.9 10

–13

 м до 5 мкм. 

 

Решение задачи 7. Лазерное позиционирование наночастиц 

 
Для  захвата  и  осаждения  наночастиц  сила  притяжения  F

opt

  в  точке  z

min

  должна  быть  не 

меньше  (по  модулю)  силы  отталкивания   

    

   

,  в  частности,  равна  ей  для  случая 

минимальной мощности лазера (в пренебрежении ускорением наночастиц).  
 
Отсчитывая  расстояние  от  точки  фокуса,  из  прямой  пропорциональности  F

opt

 = k·P·z  при 

z

1

 = z

foc 

+ z

min

 = 32 нм для произведения k·P

min

 имеем:  

 

k·P

min

 =  

    

   

 / z

1

 = 0.375·10

–3

 Н/м. 

 

271

 

 

 

 

 

Отсюда:  

 

   

 

 

    

   

 

 

 

 

            

  

         

  

 

                   

 

Решение задачи 8. Эпитаксия 

 

1.

 

Расчёт  параметров  следует  проводить  по  формуле  Брэгга-Вульфа  2d·sinθ  =  λ,  где  λ  – 
длина 

волны 

использованного 

излучения, 

θ 

– 

угол, 

соответствующий 

дифракционному  максимуму,  d  –  межплоскостное  расстояние,  которое  в  данном 
случае равно параметру элементарной ячейки (как для подложки, так и для плёнки, 
потому что она растёт эпитаксиально).  Важно отметить, что параметры ячейки будут 
совпадать  между  собой  только  у  объёмного  монокристалла,  имеющего  кубическую 
структуру.  В  случае  тонких  плёнок  это  работать  не  будет,  так  как  они  находятся  в 
напряжённом  состоянии:  параметры  в  плоскости  подложки  будут  несколько 
растянуты,  чтобы  лучше  соответствовать  параметру  подложки,  а  перпендикулярное 
им  направление  будет сжато,  так  как  объём  ячейки  должен  оставаться  постоянным. 
Поэтому  параметры  плёнки  в  плоскости  подложки  следует  рассчитывать,  исходя  из 

постоянства объёма ячейки, а не по соотношению Брэгга-Вульфа: 





a

a

a

3

0

, где а

0

 – 

параметр объёмного монокристалла.  
 
Полученные значения представлены в таблице 1. 

 

Таблица 1. Параметры элементарной ячейки 

 

Толщина плёнки, нм 

Параметр ячейки 

a

, Å 

Параметр ячейки 



a

, Å 

60 

3.857 

3.797 

180 

3.843 

3.825 

300 

3.840 

3.832 

Объёмный монокристалл 

3.837 

3.837 

 

2.

 

Параметры  элементарной  ячейки  тонкой  плёнки  отличаются  от  объёмного 
монокристалла,  так  как  плёнка  находится  в  напряжённом  состоянии.  Однако  с 
увеличением  её  толщины  происходит  релаксация  механических  напряжений, 
поэтому  параметры  ячейки  стремятся  к  значению,  соответствующему  объёмному 
монокристаллу.  Соответственно,  параметры  в  плоскости  подложки  уменьшаются,  а 
перпендикулярный параметр возрастает. 

 
Система оценивания 
Параметры ячейки – 15 баллов: объёмный монокристалл – 3 балла, каждая плёнка – 4 балла 
(по 2 за каждый параметр). 
Объяснение зависимости параметров ячейки от толщины плёнки – 5 баллов. 
 

 

 

 

272

 

 

 

 

 

 

Химия для школьников 7 – 11 класса (очный тур) 
Простые задачи (вариант 1) 

 

Задача 1. Синтез нанопленки 
 

Одно из веществ, из которых получают нанопленки, состоит из двух соседних элементов 5-го 
периода,  мольные  доли  которых  отличаются  в  1.5  раза.  Пленку  получают 
электрохимическим  восстановлением  смеси  двух  соединений  этих  элементов.  Молярная 
масса  вещества  равна  626.3  г/моль.  Установите  формулу  вещества  и  предположите,  какие 
исходные соединения взяли для синтеза. 
 
Всего – 8 баллов 
 

Задача 2. Люминесцентный материал 

 
Для  создания  люминесцентного  материала  нанокристаллы  люминофора  X  равномерно 
распределили в объеме полимера. Для этого к 100 мл жидкого мономера добавили 5.0 мл 
раствора  X  в  гексане  (концентрация  20  мг/мл),  полученную  смесь  полимеризовали  под 
действием  света  и  растворитель  испарили.  Оцените,  сколько  наночастиц  содержится  в 
одном кубическом сантиметре полимера. Средняя масса нанокристалла 4.010

–18

 г. Примите, 

что полимеризация происходит без изменения объема. 
 
Всего – 8 баллов 
 

Задача 3. Оксид графена 

 
Установите  простейшую  формулу  оксида  графена,  в  котором  15%  атомов  находятся  в  sp

3

 

гибридном  состоянии.  Примите,  что  кислород  входит  только  в  состав  эпоксидных  групп 

. (4 балла) Сколько граммов сверхкритического пропанола-2 потребуется для полного 

восстановления одного грамма оксида графена? (4 балла) 
 
Всего – 8 баллов 
 

Задача 4. Нанопорошок 

 
Нанопорошок  неизвестного  оксида  металла  не  растворяется  в  воде,  распределяясь  на 
границе  раздела  воды  и  воздуха.  Он  также  не  взаимодействует  с  растворами  щелочей, 
однако  медленно  растворяется  в  соляной  кислоте,  окрашивая  раствор  в  бледный  зелено-
голубой  цвет.  В  твердом  виде  нанопорошок  реагирует  с  металлическим  магнием  и 
алюминием,  восстанавливаясь  до  металла.  На  полное  восстановление  0.100  г  оксида 
тратится 0.036 г алюминия. Размер частиц порошка составляет 10-30 нм. Определите состав 
неизвестного нанопорошка. (4 балла) Запишите уравнения описанных реакций. (4 балла) 
 
Всего – 8 баллов 
 

 

 

273