Экономика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 142

Тогда выигрыш фирмы от «знания о налоге» равен 

2

2

1

1

( (

)

) ( (

)

)

Q

T

Q

T











, а проигрыш 

государства равен 

1

2

T

T



.  

Требуемое неравенство тогда запишется как 

2

2

1

1

1

2

( (

)

) ( (

)

)

Q

T

Q

T

T

T











 

, 

что эквивалентно  

1

2

(

)

(

)

Q

Q







. 

Однако  последнее  неравенство  верно,  так  как 

1

(

)

Q



  —  это  значение  функции 

( )

Q



  в 

точке максимума, а 

2

(

)

Q



— это значение той же функции в какой-то точке. 

 

Ответ: см. выше. 
 
Критерии оценивания: 

Пункты (а)-(в) – критерии приведены в тексте решения. В пунктах (а)-(б) участник может 
находить  оптимум  фирмы  не  через  вершину  параболы,  а  через  равенство  предельного 
дохода и предельных издержек. Это тоже является верным способом решения. 
  
Решение пункта (г) содержит два важных компонента: 
(1)  Доказательство  того,  что  требуемое  неравенство  эквивалентно  неравенству 

)

(

)

(

2

1

Q

Q







, где  

p

(

Q

) - прибыль фирмы до уплаты налога как функция от ее выпуска. 

Этот этап оценивается в 3 балла. 
(2) Доказательство того, что неравенство  

)

(

)

(

2

1

Q

Q







 верно в силу того, что в первой 

ситуации фирма выбирает выпуск, максимизирующий функцию. Этот этап оценивается в 
4 балла. Всего за пункт (г) – 7 баллов. 
  

Примечание:

  результат,  доказываемый  в  пункте  (г),  тесно  связан  с  концепцией  «потерь 

мертвого  груза»,  возникающих  при  косвенном  налогообложении.  В  некотором  роде,  в 
данном задании требуется доказать, что такие потери неизбежно возникают, если фирма 
знает  о  налоге,  и  не  возникают,  если  она  о  нем  не  знает.  Таким  образом,  данный  пункт 
призван  подчеркнуть,  что  (единственной)  причиной  возникновения  потерь  общества  от 
налогообложения является то, что налоги «искажают» решения экономических агентов. 
Заметьте  также,  что  анализ  общественного  благосостояния  в  задаче  является  неполным: 
мы не учитываем потребителя. На самом деле, потери мертвого груза будут еще больше, 
ведь благосостояние потребителей сократится, если фирма снизит выпуск. 
  
Если  участник  в  решении пункта  (г)  не  привел  доказательства  требуемого  утверждения, 
однако  сослался  на  концепцию  потерь  мертвого  груза,  он  заслуживает  поощрительной 
оценки размером в 2 балла. 

 
 

XVIII В

СЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО ЭКОНОМИКЕ

З

АКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП

П

ЕРВЫЙ ТУР

З

АДАЧИ

Дата написания

24 марта 2013 г.

Количество заданий

5

Сумма баллов

100

Время написания

180 минут

Не пытайтесь читать задания до объявления начала написания тура.

Решения заданий выполняются на отдельном бланке.

24 марта 2013 г.

стр. 2

Задачи

Задача № 1. «Ноттингем-1»

(20 баллов)

Ноттингем, XII век. В городе есть две группы жителей: бедные и богатые. Счастье любого человека

в городе можно рассчитать по формуле

𝐻

=

𝑌

−

𝑥

2

/

2

, где

𝐻

— счастье человека,

𝑌

— его доход

(с учетом перераспределительной политики, о политике см. ниже), а

𝑥

— уровень усилий, который

человек прикладывает для получения этого дохода. Вся разница между бедными и богатыми заключается
в том, что, приложив уровень усилий

𝑥

, бедный человек зарабатывает

𝑉

×

𝑥

ден. ед., а богатый —

𝑊

×

𝑥

ден. ед., где

𝑊 > 𝑉

. В каждой группе ровно по

𝑁

человек. Каждый агент выбирает свой уровень

усилий так, чтобы его счастье было максимальным.

Свергнув Принца Джона, к власти в городе пришел Робин Гуд. Естественно, он решил отбирать

у богатых долю

𝑡

дохода, и затем всю сумму сборов передавать бедным. Агенты выбирают уровни

усилий, зная о проводимой Робином политике.

а)

(12 баллов)

Рассчитайте суммарный уровень дохода в обществе после введения налога. Покажите,

что суммарный уровень дохода сокращается с ростом ставки налога, несмотря на то, что сумма, которую
уплачивают богатые, в точности равна сумме, которую получают бедные. Объясните данный парадокс.

б)

(8 баллов)

Пусть

𝑉

=

√

2

,

𝑊

= 3

. Какую ставку налога установит Робин Гуд, стремясь к ми-

нимальному неравенству доходов, то есть минимизируя коэффициент Джини? На сколько ден. ед.
уменьшится суммарный доход в результате проведения такой политики?

Задача № 2. «Издержки меню»

(20 баллов)

Фирма «Superapple» является собственником единственного яблоневого сада в Скалистой стране

и несет только постоянные издержки при производстве яблок. Ежемесячный спрос на яблоки имеет вид:

𝑞

= 0

,

2

−

𝑃/𝑀

, где

𝑞

— количество тонн яблок,

𝑃

— цена тонны яблок, а

𝑀

— величина денежной

массы в Скалистой стране в текущем месяце. Каждый месяц руководство фирмы устанавливает цену
на свою продукцию таким образом, чтобы максимизировать прибыль в текущем месяце.

а)

(4 балла)

Определите, при каком объеме продаж прибыль фирмы будет максимальной.

б)

(4 баллa)

Центральный банк Скалистой страны увеличил денежную массу. Скажется ли это

событие на объеме выпуска фирмы? Приведите содержательную интерпретацию полученного результата.

в)

(12 баллов)

Предположим теперь, что если фирма «Superapple» планирует поменять цену на свою

продукцию по сравнению с предыдущим месяцем, то она должна напечатать об этом объявление
в местной газете. Объявление стоит

0

,

0025

𝑀

. Может ли при новых условиях стимулирующая монетарная

политика оказать влияние на выпуск фирмы «Superapple»? Если да, определите максимальное увеличение
выпуска фирмы, которое может быть достигнуто центральным банком страны при помощи изменения
денежной массы.

Задача № 3. «Налоговый компромисс»

(20 баллов)

Функция спроса на табуретки в области N задана уравнением

𝑞

=

𝑎

−

𝑏𝑝

, а функция предложения

имеет вид

𝑞

=

𝑐𝑝

, где

𝑝

— цена одной табуретки (в рублях),

𝑞

— объем продаж,

𝑎

,

𝑏

и

𝑐

— положительные

константы. Правительство области рассматривает два варианта политики по отношению к производителям
табуреток, каждый из которых должен пополнить бюджет области на

𝑇

*

рублей (

𝑇

*

>

0

):

Вариант A:

Косвенный налог на продажу табуреток по ставке

𝑡

*

рублей на одну табуретку.

Вариант B:

Прямой аккордный (не зависящий от объема продаж) налог с продавцов табуреток в размере

𝑇

*

рублей. В этом случае все фирмы должны платить его в равных долях, причем сумма налога,

приходящаяся на каждую фирму, не заставит ее покинуть отрасль.

Зная, что и у прямых, и у косвенных налогов есть недостатки, экономический советник губернатора

предложил промежуточную меру: одновременно ввести потоварный налог по ставке

𝑡

*

/

2

и аккордный

налог по ставке

𝑇

*

/

2

(также распределив последний поровну между фирмами). По его словам, в резуль-

тате введения такой меры областной бюджет пополнится ровно на ту же общую сумму

𝑇

*

. Может ли он

оказаться прав?

24 марта 2013 г.

стр. 3

Задачи

Задача № 4. «Двухпериодный „Сюрприз“»

(20 баллов)

Вспомним задачу из регионального этапа олимпиады про фирму-монополиста «Сюрприз». Предпо-

ложим, что теперь ее горизонт планирования составляет не один, а два периода. В каждом периоде
спрос на продукцию фирмы описывается уравнением

𝑄

𝑑

= 21

−

𝑃

, а общие издержки — уравнением

𝑇 𝐶

=

𝑄

2

/

2

. Целью фирмы является максимизация суммарной прибыли за два периода. Специфика

продукта компании такова, что его можно хранить с нулевыми издержками.

Государство планирует обложить фирму налогом в размере 5 д. е. с каждой

произведенной во втором

периоде

единицы продукции.

а)

(0 баллов)

Призер регионального этапа легко определит, что если фирма не будет знать о налоге

вообще, то в каждом периоде она произведет и продаст 7 единиц продукции, и прибыль фирмы за два
периода после уплаты налогов будет равна 112. Мы решили не утомлять вас этими расчетами.

б)

(10 баллов)

Допустим, в начале первого периода фирма, не зная о налоге, заключила с потребите-

лями контракт на поставку 7 единиц продукции в каждом периоде. После этого (но до принятия решения
о производстве) информация о вводимом налоге все-таки стала доступна фирме. Контракты изменить
или не выполнить нельзя. Может ли фирма увеличить свою прибыль по сравнению с пунктом а)? Если
да, то определите оптимальный для фирмы план действий и максимальную прибыль фирмы.

в)

(10 баллов)

Допустим, в начале первого периода фирма, не зная о налоге, заключила с потреби-

телями контракт на поставку 7 единиц продукции в первом периоде, а контракт на второй период не
был заключен. После этого (но до принятия решения о производстве) информация о вводимом налоге
все-таки стала доступна фирме. Может ли в этой ситуации фирма получить прибыль большую, чем
в пункте б)? Если да, то определите оптимальный для фирмы план действий и максимальную прибыль.

Задача № 5. «Комбайн»

(20 баллов)

Фермер владеет двумя полями, на которых можно выращивать две давно полюбившиеся олимпиадни-

кам культуры — Икс (

𝑋

) и Игрек (

𝑌

). Информация о полях приведена в таблице:

Поле

Площадь, га

Урожайность

𝑋

Урожайность

𝑌

Первое

10

1

2

Второе

20

2

1

Под урожайностью понимается количество соответствующего продукта (в тоннах), которое можно

будет получить с одного гектара посевов в конце сезона, длящегося 100 дней. Фермер может разделить
каждое поле между двумя культурами в любой пропорции.

а)

(5 баллов)

Постройте кривую производственных возможностей фермера в координатах

(

𝑋

;

𝑌

)

.

б)

(15 баллов)

Фермер задумывается о покупке нового комбайна, использование которого позволит

увеличить урожайность культуры

𝑌

. Если комбайн проработает на некотором поле

𝑡

дней, урожайность

культуры

𝑌

на этом поле увеличится на

(0

,

02

×

𝑡

)

т/га. Комбайн не может работать на двух полях

одновременно, и если фермер купит его, то он сможет распределять время работы комбайна между
полями в любой пропорции (в частности,

𝑡

не обязательно целое число). Какова будет КПВ фермера,

если он приобретет комбайн?

XVIII В

СЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО ЭКОНОМИКЕ

З

АКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП

П

ЕРВЫЙ ТУР

З

АДАЧИ

Дата написания

24 марта 2013 г.

Количество заданий

5

Сумма баллов

100

Время написания

180 минут

Не пытайтесь читать задания до объявления начала написания тура.

Все поля ниже заполняются жюри.

Никаких пометок на титульном листе быть не должно!

Задача

1

2

3

4

5

Cумма

Баллы

Подпись

Код участника:

XVIII В

СЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО ЭКОНОМИКЕ

З

АКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП

В

ТОРОЙ ТУР

З

АДАЧИ

Дата написания

25 марта 2013 г.

Количество заданий

5

Сумма баллов

100

Время написания

180 минут

Не пытайтесь читать задания до объявления начала написания тура.

Решения заданий выполняются на отдельном бланке.

25 марта 2013 г.

стр. 2

Задачи

Задача № 6. «Ноттингем-2»

(20 баллов)

Ноттингем, XXI век. На рынке гаджетов действуют сто фирм, воспринимающие цену как заданную.

У половины фирм функция индивидуального предложения имеет вид

𝑄

𝑠

=

𝑃

−

2

. Назовем эту группу

фирм

первой

. Остальные 50 фирм (назовем эту группу

второй

) используют чуть более совершенную

технологию, и функция предложения каждой из них имеет вид

𝑄

𝑠

=

𝑃

−

1

. Естественно, прибыль

у второй группы фирм в равновесии немного больше. Вспомнив о славном прошлом города, государство
решило провести политику, включающую в себя:

(i) Предоставление каждой фирме в первой группе потоварной субсидии по ставке

𝑠

= 2

;

(ii) Введение потоварного налога на каждую из фирм во второй группе по ставке

𝑡

= 2

.

Вам предлагается проанализировать последствия описанной «перераспределительной» политики. Функ-
ция рыночного спроса описывается уравнением

𝑄

𝑑

= 1850

−

100

𝑃

.

а)

(6 баллов)

Докажите, что суммарный выпуск фирм не изменится после вмешательства государства.

Был бы этот вывод верен при любой другой убывающей функции спроса?

б)

(9 баллов)

Казалось бы, если равновесный выпуск остался без изменений, то и общественное

благосостояние не должно было измениться в результате проведения политики. Чтобы разобраться
в ситуации, определим величину общественного благосостояния

𝑊

как

𝑊

=

𝐻

+

𝜋

+

𝑇

−

𝑆.

Благосостояние потребителей (

𝐻

) не изменилось в результате проведения политики, так как они

покупают столько же и по той же цене. Определив суммарную прибыль фирм (

𝜋

), налоговые поступления

в бюджет (

𝑇

) и затраты государства на субсидию (

𝑆

) до и после проведения политики, сделайте вывод,

повлияла ли политика государства на общественное благосостояние.

в)

(5 баллов)

Если у вас получилось, что политика государства повлияла на общественное благо-

состояние, объясните, почему это произошло. Приведите содержательное экономическое объяснение.

Задача № 7. «Потребление или сбережения?»

(20 баллов)

Семен Кузнецов планирует свои расходы на ближайшие два года. К моменту начала 2013 года у него

нет ни долгов, ни сбережений. Его доход в 2013 году составит 440 тыс. тугриков, а в 2014-м — 286 тыс.
тугриков.

Семен может потратить в 2013 году весь свой доход на потребление, а может сберечь его часть,

поместив деньги в банк под 20 % годовых, а также может потратить больше, чем 440 тыс. тугриков, взяв
кредит под 30 % годовых. Максимальный объем кредита составляет 100 тыс. тугриков, и в 2014 году он
должен быть полностью погашен. В 2014 году дополнительных кредитов Семен брать не может.

а)

(8 баллов)

Обозначим потребление Семена в 2013 и в 2014 году как

𝐶

1

и

𝐶

2

соответствен-

но. Изобразите на графике в координатах

(

𝐶

1

;

𝐶

2

)

все доступные Семену комбинации потребления

в 2013 и в 2014 годах. Не забудьте указать на своем рисунке координаты всех ключевых точек.

б)

(4 балла)

Предположим, что предпочтения Семена устроены следующим образом: он хотел бы,

во-первых, иметь одинаковый уровень потребления в 2013 и в 2014 годах, а во-вторых, он хотел
бы полностью потратить за эти два года свои доходы (то есть по итогам 2014 года он не хочет
иметь ни долгов, ни накоплений). Какой уровень потребления следует выбрать Семену в каждом
из рассматриваемых периодов?

в)

(8 баллов)

Рассмотрим экономику страны Фишерландии, в которой живет много потребителей,

точно таких же, как Семен Кузнецов. Политика, проводимая центральным банком этой страны, не
влияет на доходы потребителей, однако может воздействовать на процентные ставки. Центральный банк
Фишерландии хотел бы стимулировать уровень частных сбережений ее граждан в 2013 году, увеличив
его на 5 % по сравнению с тем уровнем сбережений, который наблюдается при нынешних процентных
ставках. Следует ли центральному банку для достижения этой цели увеличивать или уменьшать ставку
процента по сбережениям? До какого уровня? Дайте содержательную интерпретацию полученного
результата.

25 марта 2013 г.

стр. 3

Задачи

Задача № 8. «КПВ и монополия»

(20 баллов)

В странах А и В, составляющих мировую экономику, могут производиться только два товара (X и Y).

Эти товары потребляются в комплектах: на единицу X всегда нужна единица Y, по отдельности товары
бесполезны. В стране А альтернативная стоимость единицы X всегда равна 20 единицам Y, а в стране B
альтернативная стоимость единицы Y всегда равна 0,2 единицам X. Страна А может произвести не более
420 единиц Y, а страна B — не более 42 единиц X. Страна А является монополистом: она предлагает
стране B цену единицы товара X (в единицах Y, цена должна быть целым числом), по которой она
готова его покупать или продавать, а потом страна B по этой цене продает стране А или покупает
у нее столько товара X, сколько хочет. При этом сделка происходит, если каждая из стран оказывается
в выигрыше, то есть может потребить больше комплектов из единицы X и единицы Y, чем без сделки.

а)

(4 балла)

Найдите количество потребленных комплектов в каждой стране, если бы каждая страна

функционировала в режиме закрытой экономики.

б)

(8 баллов)

Найдите функцию предложения страны В, то есть зависимость количества товара,

который она в равновесии будет продавать, от цены, предложенной страной А. Приведите содержательное
экономическое объяснение вида этой зависимости.

в)

(8 баллов)

Какую цену за единицу X назначит страна А? Сколько комплектов потребят жители

каждой из стран в результате торговли?

Задача № 9. «Кривая Лаффера при монополии»

(20 баллов)

Продукцию монополиста могут покупать две группы потребителей, функции спроса которых имеют

вид

𝑞

1

= 36

−

3

𝑝

и

𝑞

2

= 20

−

𝑝

.

𝑝

— цена товара (в евро за килограмм),

𝑞

— количество товара

(в кг). Функция общих издержек монополиста имеет вид:

𝑇 𝐶

= 2

𝑞

. Правительство вводит налог

с производителей в виде фиксированной суммы за каждый килограмм проданного товара.

Запишите аналитически вид зависимости суммы налоговых поступлений от ставки налога, постройте

ее график. Определите ставку налога, при которой поступления в государственный бюджет будут
максимальными, а также рассчитайте их величину. Считайте, что при безразличии между двумя
уровнями выпуска фирма выбирает тот, который больше.

Задача № 10. «Манипулятор»

(20 баллов)

Совет директоров ЗАО «Манипулятор» состоит из трех человек — Васи, Пети и Маши (Маша —

председатель совета). Они должны принять решение о том, какие рекомендации по распределению
полученной компанией прибыли дать общему собранию акционеров. Существует три альтернативы:

Альтернатива A:

Выплатить всю прибыль в виде дивидендов акционерам.

Альтернатива B:

Вложить всю прибыль в покупку новейшего оборудования.

Альтернатива C:

Выплатить половину прибыли в виде дивидендов, а вторую половину вложить

в усовершенствование имеющегося оборудования.

Предпочтения членов совета относительно альтернатив представлены в таблице:

Вася

Петя

Маша

Самая лучшая

A

B

C

Средняя

B

C

A

Самая худшая

C

A

B

На голосование выставляются все три альтернативы, и каждый член совета должен проголосовать

ровно за одну из них. Если есть альтернатива, которая набрала больше одного голоса, то она реализуется,
в противном случае реализуется та альтернатива, за которую проголосовала председатель Маша.
Голосование открытое и последовательное: сначала свой выбор объявляет вслух один член совета
директоров, после него — второй и, наконец, третий.

Порядок голосования определяет председатель Маша. Какой порядок она выберет?