Астрономия (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 56

диаметр  составляет 

d

  =1



  или  0,017  радиан,  из  чего  можно  вычислить 

расстояние до туманности, равное 

r 

= (10∙2/0,017)=1145 пк.  

Вычислим  абсолютную  звездную  величину  горячей  звезды, 

подсвечивающей туманность: 

.

3

.

7

lg

5

5











r

m

M

 

Светимость этой звезды в 64000 раз превосходит светимость Солнца. 
 

Задание  6.

  Оцените  размеры  и  скорость  распространения  коронального 

выброса массы (КВМ) 8 октября 2012 года. Изображения Солнца получены 
прибором  LASCO  C2,  солнечная  космическая  обсерватория  SOHO.  Прибор 
LASCO  C2  –  внезатменный  коронограф  Large  Angle  Spectrometric 
Coronagraph,  который  получает  изображения  солнечной  короны  путѐм 
блокирования  света,  идущего  прямо  из  Солнца,  затеняющим  диском  (на 
изображении  –  тѐмный  кружок),  создавая  искусственное  затмение.    Белый 
кружок – Солнце. Дата и время – внизу, слева на каждом изображении. 
 

 

 
 

 

 

Решение задания 6. 

Примерные размеры диаметра Солнца  17 мм 
КВМ за этот промежуток времени распространился на 30 мм. 
Время 12 час 12 мин – 9 час.12 мин. = 3 час = 10800 с 
 
Составляем пропорцию 
17 мм - 2·696000 км 
30 мм – х км 
 

Расстояние 

R 

= 







17

696000

2

30

2456470 км



2,5·10

6

 км 

 

Скорость 

v

= 





с

км

10800

10

5

,

2

6

227км/с 

 
Поскольку этот метод очень неточен, то можно считать верным ответ от 200 
до 400 км/c. 
В  решении  этой  задачи  самое  главное,  что  школьники  смогут  найти  время 
расширения на изображениях и сопоставить видимое изменение с движением 
КВМ. 
 

 

1 

Решения заданий Регионального этапа и система оценивания каждого задания. 

 
9 класс 

 

1.  Условие.

  В  некоторой  точке  Земли  звезды  Дубге  и  Мерак  (



  и 



  Большой  Медведицы) 

одновременно появились над горизонтом. Чему (примерно) равна широта точки наблюдения?  

 

1.  Решение.

  Звезды  Дубге  и  Мерак  –  крайние  западные  звезды  ковша  Большой  Медведицы. 

Эти  звезды  –  основа  самого  известного  и  легкого  способа  поиска  Полярной  звезды,  так  как 

линия,  проведенная  от  Мерака  к  Дубге  и  продолженная  далее,  проходит  очень  близко  от 

Полярной звезды. 

 



















Мерак

Дубге

Полярная

Горизонт

М.Медведица

Б.Медведица

 

 

По  условию  задачи,  звезды  Дубге  и  Мерак  одновременно  появляются  над  горизонтом. 

Следовательно,  соединяющая  их  линия  совпадает  с  горизонтом,  и  Полярная  звезда  также 

наблюдается на горизонте. Это может иметь место только вблизи экватора, на широте 0



. 

 

1.  Рекомендации  для  жюри.

  Решение  задачи  разбивается  на  три  этапа.  На  первом  этапе 

участники  олимпиады  должны  указать,  что  Полярная  звезда  находится  вблизи  линии, 

соединяющей  Дубге  и  Мерак.  Этот  этап  оценивается  в  2  балла.  Далее  необходимо  сделать 

вывод, что  Полярная звезда должна находиться вблизи горизонта, что оценивается в 3 балла. 

 

2 

Окончательный вывод о широте места наблюдения оценивается еще в 3 балла. Решение может 

быть дополнено рисунком, но он не является обязательным. 

 

2.  Условие. 

Космический  аппарат  стартует  с  поверхности  Земли  со  скоростью  0.00001  (или  

10

–5

)  парсек  в  год.  Сколько  ему  потребуется  времени,  чтобы  без  последующей  работы 

двигателей достичь окрестностей звезды 



 Центавра? Расстояние до 



 Центавра составляет 4.4 

световых года. 

 

2. Решение.

 Один парсек – это расстояние, с которого радиус орбиты Земли виден под углом 1



 

(1/206265  радиан).  Это  расстояние  равно  206265  а.е.  Скорость  0.00001  парсек  в  год 

соответствует  примерно  2  а.е.  или  300  млн  км  в  год.  Один  год  содержит  около  3



10

7

  секунд, 

поэтому стартовая скорость корабля составляет 10 км/c. Это меньше второй (и, соответственно, 

третьей) космической скорости для поверхности Земли. Поэтому корабль не сможет улететь не 

только  из  Солнечной  системы,  но  даже  из  окрестностей  Земли.  Окрестностей  звезды  



 Центавра он не достигнет никогда. 

 

2.  Рекомендации  для  жюри.

  При  решении  задания  участники  олимпиады  могут  пойти  по 

ошибочному  пути,  приняв  скорость  аппарата  постоянной  во  времени.  В  этом  случае  аппарат 

мог  бы  достигнуть  окрестностей  звезды 



  Центавра  (расстояние  4.3  световых  года  или  1.35 

парсек)  за  135  тысяч  лет.  Подобный  вариант  решения  при  условии  правильно  выполненных 

расчетов оценивается в 3 балла. 

В случае правильного хода решения перевод величины скорости в км/c оценивается в 4 

балла,  вывод  о  том,  что  эта  скорость  недостаточна,  для  того,  чтобы  покинуть  Солнечную 

систему  –  в  3  балла,  формулировка  ответа  –  в  1  балл.  Указание  того,  что  аппарат  не  сможет 

даже улететь от Земли, не является обязательным. 

 

3. Условие. 

У некоторой планеты, обращающейся вокруг далекой звезды по круговой орбите, 

есть  спутник,  его  орбита  также  круговая.  Во  время  затмений  звезды  спутником  при 

наблюдении с планеты видимые размеры звезды и спутника совпадают (как у Луны и Солнца 

на Земле), а когда спутник входит в тень планеты, его угловые размеры совпадают с угловыми 

размерами  тени.  Найдите  соотношение  геометрических  размеров  планеты  и  спутника,  считая 

их  существенно  меньшими  их  взаимного  расстояния,  а  само  расстояние  –  существенно 

меньшим расстояния до звезды. 

 

 

3 

3. Решение.

 Изобразим положение планеты и спутника во время затмений центральной звезды 

и спутника, наблюдаемых с планеты: 

 

Звезда

Спутник

Планета

L

r

R

r





 

 

Тень  спутника  представляет  собой  конус  с  углом  раствора 



,  равным  угловому  диаметру 

звезды и спутника при наблюдении из центра планеты (размеры планеты считаем существенно 

меньшими  расстояния  до  спутника).  Обозначив  радиус  спутника  через 

r

,  а  его  расстояние  от 

планеты – через 

L

, получаем связывающее их выражение: 

 

r

 = 

L

 



 / 2. 

 

Расстояние  до  звезды  существенно  больше  радиуса  орбиты  спутника,  тень  самой  планеты 

представляет  собой  конус  с  таким  же  углом  раствора.  Из  условия  равенства  размеров  тени 

планеты и спутника получаем 

 

R 

–

 r

 = 

L

 



 / 2. 

 

Отсюда 

R

 = 2

r

, планета вдвое больше своего спутника по радиусу. 

 

3.  Рекомендации  для  жюри.

  Основой  решения  задачи  является  правильное  построение 

рисунка,  показывающего  конфигурации  планеты  и  спутника  во  время  затмений  обоих  типов. 

Правильное  построение  (или  правильное  представление  этой  конфигурации,  выраженное  в 

тексте),  оценивается  в  4  балла.  Вычисление  соотношений  размеров  планеты  и  спутника 

оценивается еще в 4 балла. Оно может быть сделано как алгебраически (на основе выражений 

для видимого диаметра тени планеты), так и чисто геометрически, оба подхода могут считаться 

правильными. 

 

4.  Условие.

  В  некотором  пункте  Земли  в  ночь  на  1  января  звездное  время  совпало  с 

московским  летним  временем  (действовавшим  в  2012  году).  Какова  географическая  долгота 

этого пункта? Уравнением времени пренебречь. 

 

4 

4.  Решение. 

За  10  дней  до  наступления  Нового  года,  21-22  декабря,  происходит  зимнее 

солнцестояние. Прямое восхождение Солнца в это время составляет 18 часов, а звездное время 

в солнечную полночь – 6 часов. Если пренебречь уравнением времени, то каждый день прямое 

восхождение Солнца увеличивается на 4 минуты. В новогоднюю ночь оно будет равно 18 часов 

40  минут.  Звездное  время  в  солнечную  полночь 

S

0

  составит  6  часов  40  минут.  Понятия 

истинного  и  среднего  солнечного  времени  мы  не  вводим,  так  как  пренебрегаем  уравнением 

времени,  и  данные  временные  шкалы  совпадают.  Обозначим  местное  солнечное  время  в 

указанном в условии пункте через 

T

. Тогда звездное время будет равно 

 

S

 = 

S

0

 + 

T

. 

 

Время 

T

 связано со Всемирным временем 

UT

 соотношением 

 

T

 = 

UT

 + 



, 

 

где 



 – географическая долгота пункта. Московское летнее время (в часах) равно 

 

T

M

 = 

UT

 + 4. 

 

По условию задачи, величины 

S

 и 

T

M

 совпадают. Отсюда 

 

S

0

 + 

T 

= 

T – 



 + 4, 



 = 4 – 

S

0

. 

 

Долгота места равна –2ч40м или 40



 западной долготы. 

 

4.  Рекомендации  для  жюри.

  При  решении  задачи  допускается  перестановка  действий  и 

изменение  используемой  терминологии.  К  примеру,  можно  вычислять  величины  звездного  и 

местного  времени  на  меридиане  Гринвича,  и  только  в  конце  решения  перейти  к  нужному 

значению  долготы.  При  проверке  решения  нужно  отметить  в  нем  базовые  факты,  которые 

могут  отмечаться  как  отдельно,  так  и  по  ходу  выкладок  в  решении.  Первый  из  них  – 

вычисление  прямого  восхождения  Солнца  и/или  звездного  времени  в  новогоднюю  полночь. 

Этот вывод оценивается в 2 балла. Связь звездного времени и солнечного времени оценивается 

еще  в  1  балл.  Следующие  два  базовых  элемента  –  связь  местного  солнечного  и  московского 

времени  со  Всемирным  временем.  Эти  элементы  оцениваются  по  1  баллу.  Возможен  прямой 

 

5 

вывод  связи  солнечного  и  московского  времени,  который  оценивается  теми  же  2  баллами. 

Сочетание всех фактов и вычисление долготы оценивается еще в 3 балла. 

 

5.  Условие.

  6  мая  2012  года  средства  массовой  информации  сообщили  о  «суперлунии»  – 

полнолунии,    совпавшем  с  прохождением  Луны  через  перигей  орбиты.  Сообщалось,  что 

наблюдаемые  размеры  и  яркость  Луны  в  этот  день  значительно  больше  обычных  значений. 

Найдите, насколько в реальности отличался в это время видимый размер Луны и освещенность, 

создаваемая ей на поверхности Земли, от среднего полнолуния и от полнолуния в апогее.  

 

5.  Решение.

  Эксцентриситет  лунной  орбиты 

e

  составляет  0.055.  Эта  величина  несколько 

меняется со временем, что не оказывает принципиального влияния на ответ задачи. Расстояние 

от Земли до Луны в перигее орбиты равно 

 

r

P

 = 

a

 (1 – 

e

), 

 

где 

a

  –  большая  полуось  орбиты  Луны,  она  же  –  среднее  расстояние  от  Луны  до  Земли. 

Видимый диаметр Луны 

d

  обратно пропорционален расстоянию, и в момент  «суперлуния»  он 

будет больше среднего значения 

 

.

e

)

e

(

a

a

d

d

P









1

1

0

 

 

Полная  Луна  в  «суперлунии»  будет  иметь  видимый  поперечник,  на  5.5%  больший,  чем  у 

«средней»  полной  Луны.  Если  же  сравнивать  «суперлуние»  с  полнолунием  в  апогее,  на 

расстоянии 

a

 (1+

e

), то соотношение диаметров будет равно 

 

e

)

e

(

a

)

e

(

a

d

d

A

P

2

1

1

1











 

 

или 1.11, то есть разница составит 11%. 

Освещенность от Луны обратно пропорциональна квадрату расстояния до Луны или, что 

то  же  самое,  пропорциональна  квадрату  видимого  диаметра.  Сравнивая  «суперлуние»  со 

средним полнолунием, получаем 

 

,

e

)

e

(

a

a

d

d

E

E

P

P

2

1

1

2

2

2

2

0

0























 

 

6 

 

а с полнолунием в апогее: 

.

e

)

e

(

a

)

e

(

a

d

d

E

E

A

P

A

P

4

1

1

1

2

2

2

2

2

























 

 

Разница составляет 11% и 22% соответственно. 

 

5.  Рекомендации  для  жюри.

  Основой  решения  задачи  является  представление  о  том,  как 

меняется расстояние до Луны вследствие эллиптичности ее орбиты. Правильное выражение для 

расстояния до Луны в перигее (апогее) орбиты оценивается в 2 балла. Корректное вычисление 

изменения видимого диаметра Луны оценивается в 4 балла (по 2 балла за сравнение со средним 

полнолунием  и  полнолунием  в  апогее).  Еще  2  балла  выставляется  за  правильное  вычисление 

изменения освещенности (по 1 баллу для каждого случая). Записывать приближенные формулы 

с  учетом  малости  величины 

e

  не  обязательно,  вычисления  могут  быть  сделаны  на  основе 

точных формул. 

 

6.  Условие.

  На  рисунке  показан  трек  планеты  Солнечной  системы  (положение  среди  звезд  в 

разные  моменты  времени).  Положения,  отмеченные  кружками,  отстоят  друг  от  друга  на  10 

дней, даты подписаны через 30 дней. Что это за планета? 

 

16h 24m

16h 12m

16h 00m

15h 48m

15h 36m

-14

-16

-18

-20

-22

1.III

3 .III

1

30.IV

30.V

29.VI

29.VII

28.VIII

СКОРПИОН

ВЕСЫ

С

кл

о

не

ни

е

Прямое восхождение

 

 

7 

6.  Решение.

  Трек  показывает  видимое  перемещение  планеты  в  течение  полугода  (с  марта  по 

август). За это время планета вначале движется в прямом направлении, затем разворачивается и 

движется попятно, а затем вновь прямо. В середине дуги попятного движения, в мае, планета 

оказывается на границе созвездий Весов и Скорпиона, противоположно Солнцу (в чем можно 

убедиться также по координатам, указанным на карте). Следовательно, это внешняя планета, и 

в середине дуги попятного движения она вступила в противостояние с Солнцем.  

Используя  шкалу  склонений,  приведенных  на  карте,  можно  определить  ее  масштаб,  а 

также  видимую  (угловую)  скорость  перемещения  планеты  вблизи  противостояния  во  второй 

половине мая. Угловое расстояние между положениями планеты 20 и 30 мая составляет 0.75



, 

то есть угловая скорость равна 0.075



 в день. 

Пусть  радиус  орбиты  планеты  равен 

r

,  а  радиус  орбиты  Земли  – 

r

0

.  В  момент 

противостояния  планета  располагается  на  расстоянии  (

r 

– 

r

0

)  от  Земли.  Скорости  Земли 

r

0

  и 

планеты 

v

  сонаправлены  (наклон  и  эллиптичность  орбиты  планет  не  вносит  существенного 

отклонения), и видимая угловая скорость планеты равна 

 

.

r

r

v

v

0

0









 

 

Из  III  закона  Кеплера  или  из  выражения  для  первой  космической  скорости  можно  получить 

соотношение скоростей планеты и Земли: 

 

.

r

r

v

v

0

0



 

 

Подставляя вторую формулу в первую, получаем: 

 

.

)

r

r

(

r

v

)

r

r

(

r

v

)

r

r

(

)

r

r

(

r

v

2

1

0

0

2

1

0

0

0

2

1

0

0

1

1

1

1





















 

 

Обозначим  отношение  (

r

/

r

0

)  –  радиус  орбиты  в  астрономических  единицах  –  через 

a

.  Тогда 

последнее соотношение примет вид: 

 

.

a

a

a

a

r

v













1

1

0

0

0





 

 

 

8 

Здесь 



0

  –  угловая  скорость  орбитального  вращения  Земли,  равная  0.986



  в  сутки.  Мы 

получаем квадратное уравнение 

 

.

a

a

0

0













 

 

Это уравнение имеет один действительный корень: 

 

.

a

2

0

2

1

4

1

























 

 

Подставляя измеренное по графику значение 



, получаем радиус орбиты планеты: 10 а.е. Это 

планета Сатурн.  

 

6.  Рекомендации  для  жюри.

  Приведенное  решение  является  одним  из  способов  точно 

определить  радиус  орбиты  планеты,  из  чего  можно  выяснить,  какая  именно  это  планета. 

Существуют  другие  как  точные,  так  и  приближенные  методы,  оценивать  которые  следует, 

исходя из их адекватности.  

В  частности,  для  дальних  внешних  планет,  к  которым  относится  Сатурн,  можно 

определить  длину  дуги  попятного  движения  (6.8



)  и  приравнять  ее  к  удвоенному  значению 

наибольшей  элонгации  Земли  при  наблюдении  с  планеты.  Этот  метод  по  сути  пренебрегает 

орбитальным движением планеты и дает завышенную оценку ее расстояния от Солнца – 16 а.е. 

Вывод, что мы наблюдаем планету Уран, в этом случае оценивается 2 баллами, а указание, что 

оценка завышена, и мы наблюдаем Сатурн – 6 баллами. 

При  использовании  метода,  описанного  выше,  измерение  угловой  скорости  по  треку 

оценивается в 2 балла, составление уравнения для этой величины – в 3 балла, его решение – в 2 

балла и указание названия планеты – в 1 балл. 

Если  правильный  ответ  (Сатурн)  дан  без  каких-либо  корректных  обоснований, 

участнику олимпиады выставляется 3 балла. 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 

 

1.  Решение.

  Равенство  высоты  вертикального  предмета  и  длины  его  тени  на  горизонтальной 

поверхности  означает,  что  высота  Солнца 

h

  составляет  45



.  Так  как  картина  наблюдается  в 

солнечный  полдень,  Солнце  располагается  в  верхней  кульминации.  Его  высота  в  это  время 

равна 

 

h

 = 90



 – 



 + 



, если Солнце располагается к югу от зенита (



 > 



), 

h

 = 90



 – 



 + 



, если Солнце располагается к северу от зенита (



 < 



). 

 

Данные соотношения можно написать в виде одной формулы: 

 

h

 = 90



 – |



 – 





22  июня  (в  летнее  солнцестояние)  склонение  Солнца 



  положительно  и  равно  углу  наклона 

экватора  к  эклиптике 



  (23.4



).  Из  предыдущих  формул  получаем  выражение  для  широты 

места: 

 



 = 



 



 (90



 – 

h

). 

 

Указанная картина могла наблюдаться на широтах –21.6



 и +68.4



. 

 

1.  Рекомендации  для  жюри.

  Первым  этапом  решения  задания  является  вывод  о  значении 

величины  высоты  Солнца  над  горизонтом.  Этот  этап  оценивается  в  2  балла.  Запись 

соотношения  для  высоты  Солнца  в  верхней  кульминации  может  быть  сделана  участником 

олимпиады  как  в  виде  двух  формул,  так  и  одной  формулой  с  применением  модуля.  Вместо 

высоты  можно  использовать  соотношения  для  зенитного  расстояния  Солнца,  каждый  из  этих 

подходов считается правильным и оценивается в 2 балла (в случае двух формул – по 1 баллу за 

каждую).  Решение  уравнения  и  формулировка  ответа  оценивается  в  4  балла  –  по  2  балла  за 

каждое  из  возможных  решений.  Таким  образом,  если  в  решении  идет  поиск  только  одного 

значения широты, итоговая оценка не может превышать 5 баллов. 

 

2. Условие. 

 Масса атмосферы Венеры составляет 4.8·10

20 

кг. 

 

В ней на каждые 1000 молекул 

приходится 965 молекул  углекислого газа  CO

2

  и  35  молекул  азота  N

2

. 97% массы атмосферы 

Титана  приходится  на  долю  азота  и  3%  –  на  долю  метана  CH

4

.  Атмосферное  давление  на 

. 

 

 

10 класс 

 

1.  Условие.

  22  июня  в  солнечный  полдень  наблюдатель,  стоящий  вертикально  на  ровной 

поверхности,  обнаружил,  что  его  тень  имеет  длину,  равную  его  росту.  На  какой  широте 

располагался наблюдатель? 

 

10 

поверхности Титана в полтора раза превышает атмосферное давление на поверхности Земли. В 

какой из атмосфер масса азота больше и во сколько раз? 

 

2.  Решение. 

Рассчитаем  сначала  массу  азота  в  атмосфере  Венеры.  Масса  газа  может  быть 

выражена через число молекул 

N

, молярную массу этого газа 



 и число Авогадро 

A

 следующим 

образом: 

,

A

N

m





 

 

Запишем отношение массы азота в атмосфере Венеры к массе всей её атмосферы: 

 

.

N

N

m

m

ATM

N

ATM

N

ATM

N





2

2

2





 

 

Отношение  числа  молекул  азота  к  числу  всех  частиц  в  атмосфере  дано  в  условии.  Молярная 

масса азота равна 0.028 кг/моль. Молярная масса газа атмосферы Венеры будет очень близка к 

молярной  массе  углекислого  газа  (0.044  кг/моль),  поскольку  он  является  основным 

компонентом  атмосферы.    Если  учесть  примесь  азота,  то  значение  молярной  массы 

практически  не  изменится  (0.0434  кг/моль).  Получаем,  что  масса  азота  в  атмосфере  Венеры 

равна 10

19

 кг.  

Массу  атмосферы  Титана  можно  вычислить  из  следующих  соображений.  Вся  масса 

атмосферы 

m

ATM

 давит на всю поверхность Титана: 

 

.

R

GM

m

S

g

m

p

ATM

ATM

4

4







 

 

Здесь 

g

  –  ускорение  свободного  падения  на  поверхности  Титана, 

M

  и 

R

  –  масса  и  радиус 

Титана. Масса атмосферы равна 

 

.

GM

pR

m

ATM

4

4





 

 

или 9

·

10

18

 кг.  Это  примерно  равно  массе  азота  в  атмосфере  Венеры,  а  сама  атмосфера  Титана 

состоит  из  азота  практически  полностью.  В  итоге,  масса  азота  в  атмосфере  Венеры  совсем 

ненамного (примерно на 10%) больше, чем в атмосфере Титана. 

 

 

 

11 

2.  Рекомендации  для  жюри.

  Решение  задачи  разбивается  на  две  части.  В  первой  части  

участнику необходимо рассчитать массу азота в атмосфере Венеры. Это оценивается в 4 балла. 

В  частности,  за  вычисление  молярной  массы  атмосферы  Венеры  выставляется  1  балл.  За 

переход от объемной к массовой доле выставляется 3 балла. В случае, если участник не делает 

этого перехода и считает, что масса азота составляет 0.035 массы атмосферы Венеры, эта часть 

задачи не засчитывается, и итоговая оценка не может превышать 3 баллов.  

Во второй части задачи участнику необходимо вычислить массу атмосферы Титана. За 

правильное вычисление он получает 3 балла. Еще 1 балл выставляется за правильный вывод о 

соотношении  масс  азота  в  обеих  атмосферах.  Этот  балл  может  быть  выставлен  только  в  том 

случае, если обе части задачи решены верно. 

 

3.  Условие.

  Будущие  поселенцы  Луны  наблюдают  явление  метеора  у  темного  края  диска 

Земли, с трудом различимое  визуально в телескоп с диаметром объектива 30 см. Какой блеск 

будет иметь этот  метеор на Земле, если он  наблюдается в зените? С каким объектом неба он 

сравним по яркости? 

 

3.  Решение.

  Проницающая  способность  человеческого  глаза  составляет  около  6

m

,  однако 

кратковременный  и  движущийся  источник  света  с  таким  блеском  заметить  не  удастся. 

Опытный  наблюдатель  метеоров  с  адаптированным  к  темноте  зрением  замечает  эти  явления 

при  блеске  до  5

m

.  Используя  телескоп  с  диаметром  объектива 

D

,  можно  увеличить 

проницающую способность: 

 

m

 = 5 + 5 lg 

D

/

d

, 

 

где 

d

  –  диаметр  зрачка  глаза  (в  среднем  0.6  см).  Для  30-см  телескопа  мы  получаем  величину 

проницающей способности при наблюдении метеоров: 13.5

m

. Метеор, с трудом наблюдавшийся 

космонавтами, имел примерно такой блеск. Радиус орбиты Луны 

R

 составляет 384 тыс. км. Так 

как  он  существенно  больше  радиуса  Земли,  можно  считать,  что  именно  такое  расстояние 

отделяло  космонавтов  от  метеора. Наблюдатели на Земле располагаются к нему  существенно 

ближе – если метеор виден в зените, расстояние до него равно его высоте 

H

. Типичные высоты 

метеоров  составляют  порядка  100  км.  Отсюда  мы  получаем  звездную  величину  метеора  на 

Земле: 

 

m

0

 = 

m

 + 5 lg 

H

/

R

 = 5 + 5 lg (

HD

/

Rd

) ~ –4

m

. 

 

Это был яркий болид, по блеску сравнимый с Венерой. 

 

12 

 

3.  Рекомендации  для жюри.

  Для  решения  задачи  участники  олимпиады  должны  определить 

проницающую силу телескопа при наблюдении метеоров (в виде формулы или численно). Эта 

часть  задачи  оценивается  в  3  балла.  Если  в  качестве  проницающей  способности  глаза 

принимается  величина  6

m

  (как  для  звезд),  оценка  снижается  не  более,  чем  на  1  балл. 

Правильное указание высоты метеора (допускаются значения от 70 до 120 км) оценивается в 2 

балла, вычисление звездной величины по формуле Погсона  – в 2 балла,  указание Венеры как 

объекта похожей яркости – еще в 1 балл. 

 

4.  Условие.

  Опишите  вид  Фобоса  и  Деймоса  с  поверхности  Марса  для  наблюдателя  на 

различных марсианских широтах. В каких пределах изменяется их видимый диаметр и фаза в 

зависимости от широты? Считать, что спутники обращаются в плоскости экватора планеты. 

 

4.  Решение.

  Оба  спутника  Марса  обращаются  вокруг  него  практически  в  плоскости  экватора 

планеты на небольшом расстоянии от нее. Поэтому вблизи полюсов Марса они не могут быть 

видны  из-за  своего  суточного  параллактического  смещения.  Для  того,  чтобы  определить,  на 

каких широтах Марса можно увидеть спутник, обратимся к рисунку: 

 







h

L

R

D

D

0

Марс

Фобос

(Деймос)

 

 

Максимальная (по модулю) широта, на которой можно увидеть спутник, составляет 

 

,

L

R

arccos



0



 

 

где 

R

 – радиус Марса, 

L

 – радиус орбиты спутника. Значение широты равно 69



 для Фобоса и 

82



 для Деймоса.  

 

13 

Пусть  наблюдатель  находится  на  широте 



  на  поверхности  Марса,  причем  по  модулю 

эта  широта  меньше 



0

.  Максимальное  расстояние  до  спутника,  при  котором  он  может 

наблюдаться, соответствует его положению на горизонте. Такое положение может наблюдаться 

на  всех  этих  широтах,  так  как  орбитальные  периоды  Фобоса  и  Деймоса  не  равны  периоду 

обращения  Марса  вокруг  своей  оси,  и  они  будут  периодически  восходить  и  заходить  за 

горизонт. Величина максимального расстояния не зависит от широты и составляет 

 

,

R

L

D

2

2

0





 

 

а минимальный угловой диаметр спутника равен 

 

.

R

L

r

D

r

2

2

0

0

2

2









 

 

Эта  величина  составляет  8



  для  Фобоса  и  1.8



  для  Деймоса.  Наименьшее  расстояние  от 

наблюдателя до спутника 

D

 можно получить из теоремы косинусов: 

 

.

cos

LR

R

L

D



2

2

2







 

 

Угловой диаметр спутника будет равен 

 

.

cos

LR

R

L

r

D

r





2

2

2

2

2

0









 

 

Эта  величина  увеличивается  с  уменьшением  модуля  широты  и  достигает  максимума  на 

экваторе: 

 

.

R

L

r

D

r

E

E







2

2



 

 

Значение 



E

 равно 11



 для Фобоса и 2



 для Деймоса.  

Для того, чтобы ответить на второй вопрос задачи, отметим, что в зависимости от точки 

наблюдения склонение Фобоса меняется в пределах 



21



, склонение Деймоса – в пределах 



8



. 

Склонение  Солнца  на  Марсе  колеблется  в  пределах 



25



,  и  на  любой  широте,  где  могут 

наблюдаться  спутники,  они  могут  оказаться  в  близком  соединении  с  Солнцем  или  даже 

 

14 

вступить на его диск. Их фаза при этом будет равна нулю. Так же, вне зависимости от широты, 

Фобос  и  Деймос  могут  иметь  фазу,  равную  единице,  даже  несмотря  на  большие  угловые 

размеры  тени  Марса.  Чтобы  иметь  полную  фазу  и  при  этом  не  попасть  в  тень  (при  этом 

возможно  погружение  в  полутень  Марса),  спутник  должен  наблюдаться  на  горизонте  (это 

может  быть  на  любой  широте,  кроме  окрестностей  полюсов),  а  Солнце  –  быть  также  у 

горизонта в противоположной части неба. 

 

4. Рекомендации для жюри.

 Первая часть решения связана с определением широтной области 

на Марсе, где Фобос и Деймос могут наблюдаться над горизонтом. Эта часть оценивается в 2 

балла,  по  одному  за  каждый  из  спутников.  Следующая  часть  решения  связана  с  диапазоном 

видимых диаметров Фобоса и Деймоса. Выражение для минимального диаметра оценивается в 

1  балл,  формула  для  максимального  диаметра  –  в  2  балла.  Еще  один  балл  выставляется  за 

указание граничных численных значений для Фобоса и Деймоса. Итого, вторая часть решения 

оценивается в 4 балла. Последние 2 балла выставляются за указание граничных значений фазы 

(1  балл  –  за  обоснование  возможности наблюдения  фазы,  стремящейся  к нулю,  и  1  балл  –  за 

обоснование возможности наблюдения фазы, равной единице). 

 

5. Условие.

 Среднее угловое расстояние между двумя компонентами звезды 



 Центавра равно 

18



,  а  параллакс  этой  звезды  –  0.74



.  С  какого  расстояния  компоненты 



  Центавра  можно 

различить в телескоп с диаметром объектива 10 см? Считать, что линия между компонентами 

звезды  перпендикулярна  направлению  на  Солнце,  а  угловое  расстояние  между  ними  при 

наблюдении с Земли не меняется. 

 

5.  Решение.

  Параллакс  звезды 



  есть  угол,  под  которым  с  этой  звезды  виден  радиус  орбиты 

Земли  (1  а.е.).  Этот  угол  равен  1



/

r

0

,  где 

r

0

  –  расстояние  до  звезды  в  парсеках.  Обозначим 

расстояние между компонентами 



 Центавра (в астрономических единицах) как 

a

. Если линия, 

соединяющая  звезды,  перпендикулярна  лучу  зрения,  то  угловое  расстояние  между  звездами 

при наблюдении с Земли (в угловых секундах) составит 

 

.

a

r

a

d







0

0

 

 

Если наблюдатель удалится на расстояние 

r

 от 



 Центавра, то для углового расстояния между 

ее компонентами будет справедливо неравенство: