Астрономия (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год)

Задание 6.

На фото показан трек Марса вблизи величайшего противостояния 2003 года.
Наблюдалось ли в момент противостояния с Марса прохождение Земли по
диску Солнца?

Решение.

Чтобы с Марса в момент противостояния наблюдалось прохождение Земли по
диску Солнца, необходимо, чтобы Марс находился бы в плоскости эклиптики.
Но в этом случае для земного наблюдателя трек Марса имел бы вид отрезка,
а не петли. Следовательно, прохождения не наблюдалось.

Оценивание.

Максимальная оценка за эту задачу – 8 баллов. Если ответ дан без объяснения,
то оценка не может превышать двух баллов. Ключевым фактором правильного
решения является понимание того, что орбиты планет лежат в разных
плоскостях, а петли в видимом движении планет возникают из-за того, что мы
смотрим на участок орбиты немного сверху или снизу.

Всероссийская олимпиада школьников 2014–2015 гг.

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

ПО АСТРОНОМИИ 2014–2015 г.

МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП. 11 КЛАСС

Задание 1.

Расположите объекты в порядке увеличения их линейных размеров:

а. белый карлик
б. коричневый карлик
в. красный гигант
г. красный карлик
д. нейтронная звезда

Решение.

Правильный ответ: нейтронная звезда, белый карлик, коричневый карлик,

красный карлик, красный гигант.

Нейтронная звезда имеет характерный размер 10–20 км, белый карлик

~10000 км  (примерно  с Землю).  Оба  этих  объекта  –  остатки  звёзд  различной
массы на конечном этапе их эволюции.
Коричневый карлик – это «недозвезда», объект, масса которого достаточна для
прохождения  термоядерных  реакций  синтеза  в его  недрах  за  счёт  изначально
существующего дейтерия, но недостаточна для синтеза гелия из водорода, как
в нормальных  звёздах.  Размеры  коричневых  карликов  сравнимы  с размером
Юпитера или немного больше.
Красные  карлики  –  нормальные  звёзды,  размером  уступающие  Солнцу,  но
превосходящие коричневые карлики.
Красные гиганты – нормальные звёзды, размером в сотни радиусов Солнца.

Оценивание.

Если все объекты выстроены в правильном порядке, выставляется 8 баллов.
Если порядок не совсем верный, но из предложенного ответа достаточно убрать
один объект, чтобы оставшиеся четыре расположились в правильном порядке,
то выставляется 4 балла. Если для получения правильного порядка нужно
убрать два объекта, то выставляется 1 балл. В остальных случаях – 0 баллов.
Обоснование ответа не требуется.

Задание 2.

На каких планетах из земной группы (Меркурий, Венера, Земля, Марс)
космонавт, находящийся на поверхности этих планет, смог бы наблюдать
метеоры? Ответ обоснуйте.

Решение.

Можно  увидеть  метеор  на  Земле  и  Марсе.  Метеор  –  это  явление  горения
космического  тела  в атмосфере  планеты.  На  Меркурии  нет  атмосферы,  а  на
Венере настолько плотная атмосфера, что метеор просто не будет виден сквозь
неё  с поверхности  планеты.  На  Марсе  плотность  атмосферы  около  1/100  от

Всероссийская олимпиада школьников 2014–2015 гг.

плотности атмосферы Земли, что соответствует высотам порядка 30 км.
Метеоры на Земле загораются на высоте 80–100 км, поэтому на Марсе они
могут наблюдаться, но практически у поверхности планеты.

Оценивание.

Максимальная оценка за это задание – 8 баллов. За указание, что на Меркурии
нельзя наблюдать метеоры, ставится 1 балл. За указание, что это явление
нельзя наблюдать на Венере (при правильном объяснении) ставится 4 балла. За
указание, что на Земле можно наблюдать метеоры, ставится 1 балл, за указание,
что их можно наблюдать на Марсе, – 2 балла.

Задание 3.

Орбита   космического   аппарата   в перигелии   касается   орбиты   Венеры,
а в афелии –   орбиты   Марса.   После   сближения   с одной   из   этих   планет
в результате   активного   гравитационного   манёвра   период   обращения
космического аппарата уменьшился в 2 раза.
Определите:

1) Сближение с какой планетой привело к уменьшению периода?
2) Каким будет новый период обращения?
3) Будет ли космический аппарат, двигаясь по новой орбите, пересекать

орбиту Земли?

Радиус орбиты Венеры равен 0,72 а. е., Марса – 1,52 а. е.

Решение.

Определим сначала новый период КА. Величина большой полуоси изначальной
орбиты равна (0,72 + 1,52) / 2 = 1,12 а. е. Из III закона Кеплера получаем, что
период обращения по такой орбите составляет 1,12

3/2

= 1,18 года. Тогда новый

период КА равен 0,59 года. Большая полуось новой орбиты равна
0,59

2/3

= 0,70 а. е.

Если  КА  затормозился  около  Марса,  то  его  перигелий  уменьшился.
Минимально  возможная  орбита  с афелием  у  Марса  будет  иметь  большую
полуось,  равную  1,52  /  2  =  0,76  а. е.  Это  больше,  чем  большая  полуось  новой
орбиты. Значит, КА затормозился у Венеры.
Видно,  что  большая  полуось  новой  орбиты  меньше  радиуса  орбиты  Венеры.
Значит,  перигелий  старой  орбиты  стал  афелием  новой.  Новая  орбита  целиком
лежит внутри орбиты Венеры, то есть КА не будет пересекать земную орбиту.

Оценивание.

Максимальная оценка за это задание – 8 баллов. Определение большой полуоси
изначальной орбиты оценивается в 1 балл. Вывод о том, что манёвр привёл
к торможению, а не разгону, – 1 балл. Умение правильно применять III закон
Кеплера добавляет 2 балла. Правильный вывод, что манёвр происходил около
Венеры, оценивается в 2 балла. Еще 2 балла выставляется за вывод
относительно пересечения земной орбиты. Ответы без доказательств
оцениваются не более чем двумя баллами.

Всероссийская олимпиада школьников 2014–2015 гг.

Задание 4.

Звёзды-цефеиды А и В имеют одинаковый период изменения блеска.
Максимальный блеск цефеиды A – 4

, цефеиды В – 7

. Какая из этих звёзд

дальше? Во сколько раз? Межзвёздным поглощением можно пренебречь.

Решение.

Известно  такое  свойство  цефеид:  цефеиды  с одинаковым  периодом  изменения
блеска имеют одинаковую светимость. Различие в наблюдаемом с Земли блеске
обусловлено  только  расстоянием.  Цефеида  А  ярче  цефеиды  В на  3  звёздные
величины,  то  есть  световой  поток  от  неё  интенсивней  в 2,512

≈ 16 раз.

Следовательно, цефеида А в 4 раза ближе, чем цефеида В.

Оценивание.

Максимальная оценка за это задание – 8 баллов.Знание о существовании
зависимости «период – светимость» у цефеид, а также правильный вывод из
этого оцениваются в 4 балла. Вычисления отношения расстояний оцениваются
также в 4 балла. Из них 2 балла – за определение отношения освещённостей,
создаваемых цефеидами, и 2 балла – за учёт того, что освещённость падает
обратно пропорционально квадрату расстояния до источника.

Задание 5.

Астроном-любитель  навёл  телескоп  на  туманность  и  увидел  её  в виде  едва
заметно  светящегося  маленького  пятнышка.  Для  того  чтобы  разглядеть  его
лучше,  он  вставил  перед  окуляром  линзу  Барлоу,  которая  в 3  раза  увеличила
эффективное  фокусное  расстояние  его  телескопа.  Смог  ли  астроном-любитель
лучше разглядеть туманность?

Решение.

Увеличение телескопа

вычисляется по формуле

где

– фокусное расстояние объектива,

– фокусное расстояние окуляра.

С помощью линзы Барлоу фокусное расстояние и, соответственно, увеличение
возросли   втрое.   При   этом   площадь   изображения   также   стала   больше.
Количество   света,   попадающее   в глаз   наблюдателя,   не   увеличилось,   но
распределилось на большее число светочувствительных элементов, то есть на
каждый   элемент   света   стало   приходить   меньше.   До   установки   линзы
туманность была еле заметна, значит после установки она не будет видна вовсе.

Оценивание.

Максимальная оценка за эту задачу – 8 баллов. Если ответ дан без объяснения,
то оценка не может превышать двух баллов.

Всероссийская олимпиада школьников 2014–2015 гг.

Задание 6.

Решение.

Оценивание.

Всероссийская олимпиада школьников 2014–2015 гг.

9 класс

1. Условие.

Какое из трех тел быстрее пролетает свой собственный диаметр – Луна (при

вращении вокруг Земли), Земля (при вращении вокруг Солнца) или Солнце (при вращении

вокруг центра Галактики)?

1. Решение.

Время пролета собственного диаметра

для тела составляет

где

– скорость тела,

– его радиус. Проведем вычисления для Луны, Земли и Солнца и

запишем результаты в таблицу:

Объект

Радиус

Диаметр

Скорость

Время пролета

Луна

1738 км

3476 км

1.023 км/c

3398 c

Земля

6378 км

12756 км

29.8 км/с

428 c

Солнце

695000 км

1390000 км

230 км/c

6000 c

Быстрее всех свой диаметр пролетает Земля.

1. Рекомендации для жюри.

Решение задачи состоит из нескольких элементарных этапов.

Первый этап состоит в записи выражения для времени пролета, это оценивается в 1 балл.

Вычисление времени пролета для каждого из трех тел оценивается по 2 балла. Наконец, еще

1 балл выставляется за формулировку окончательного вывода.

2. Условие.

На Марсе решено построить вышку, с которой всегда были бы видны его

спутники Фобос и Деймос. Какова минимальная высота такого строения? Куда его лучше

всего поставить? Атмосферной рефракцией и ослаблением света, угловыми размерами и

наклоном орбит спутников к плоскости экватора Марса пренебречь.

2. Решение.

Коль скоро мы пренебрегаем наклоном орбит спутников к экватору Марса (в

действительности он очень мал, порядка 1°), спутники обращаются вокруг Марса в

плоскости его экватора. Периоды вращения спутников не совпадают с осевым периодом

вращения Марса, и в разное время они будут располагаться над разными меридианами

Марса. Так как стоит задача постоянного наблюдения спутников с вышки, ее имеет смысл

строить там, где нижняя кульминация спутников происходит наименее глубоко под

горизонтом. Этому условию в пределе удовлетворяют полюса Марса, где спутники будут

располагаться на постоянной глубине под горизонтом. Находись они бесконечно далеко от

планеты, они появились бы на горизонте при наблюдении с поверхности. Но в реальности

спутники (особенно Фобос) близки к Марсу и оказываются ниже вследствие эффекта

суточного параллакса.

МАРС

Фобос

Деймос

Обозначим радиус Марса через

, радиус орбиты Фобоса через

, минимальную высоту

вышки через

. Из рисунка мы можем записать соотношение

cos

−

Отсюда мы получаем выражение для минимальной высоты вышки:

)

(













−

Подставляя численные данные для Марса и Фобоса, получаем значение высоты: 247 км. С

вершины такой башни всегда будет виден Фобос и, очевидно, Деймос, так как он расположен

дальше, и его суточный параллакс меньше (см. рисунок).

2. Рекомендации для жюри.

Первым этапом решения задачи является вывод о том, что

вышку имеет смысл строить на одном из полюсов Марса, так как именно там возможная

глубина погружения спутников Марса под горизонт минимальна. Данный вывод оценивается

в 3 балла. Расчет минимальной высоты башни для наблюдения Фобоса оценивается в 4

балла. Далее достаточно сделать вывод о том, что Деймос также будет виден с этой башни

(можно, но не обязательно, рассчитать минимальную высоту для наблюдений Деймоса,

равную 36 км). Этот этап решения оценивается в 1 балл.

3. Условие.

Синодический период некоторой планеты Солнечной системы относится к

одному земному году так же, как один земной год – к сидерическому периоду этой планеты.

Что это за планета?

3. Решение.

В условии задачи не сказано, является планета внутренней или внешней.

Поэтому запишем выражение для синодического периода планеты

в общем виде:

−

Здесь

– орбитальные периоды планеты и Земли. По условию задачи

−

Отсюда мы получаем уравнения:

–

= 0;

;

–

= 0;

Первое из этих уравнений не имеет положительных корней, из чего можно сразу сделать

вывод, что эта планета не может быть внешней. Для второго уравнения имеем

225

сут

≈

−

Эта планета – Венера.

3. Рекомендации для жюри.

Основой решения задачи является запись формулы для

синодического периода планеты (2 балла) и математического выражения условия задачи (2

балла). Участники олимпиады могут это делать с применением модуля либо рассматривать

случаи внутренней и внешней планеты отдельно, оба подхода считаются правильными.

Рассмотрение случая внешней планеты и вывод, что для нее задача не имеет решений,

оценивается в 1 балл. Это можно сделать как математически, так и логически (указав, что

для внешней планеты и синодический и сидерический период больше земного года, что

противоречит условию задачи). Расчет периода обращения для внутренней планеты

оценивается еще в 2 балла. Наконец, указание имени планеты оценивается еще в 1 балл.

Участники могут решать задачу формально, используя справочные данные о

синодическом и сидерическом периоде планет, что также считается верным при условии

проверки данных о всех планетах.

4. Условие.

Сколько часов пройдет по маятниковым часам, доставленным с Земли, за одни

солнечные сутки на Луне? На Марсе?

4. Решение.

Период колебаний маятника равен

Здесь

– длина маятника,

– ускорение свободного падения на поверхности тела,

– его

радиус и масса. Обозначим период этого маятника на Земле как

. За время

(одни

солнечные сутки) на Земле маятник сделает

колебаний. Число колебаний маятника

на другом небесном теле за время

(местные солнечные сутки) будет равно

⋅

Здесь

– радиус и масса Земли. Число часов, которое отсчитает маятник, составит

⋅

Заметим, что

– это солнечные сутки, длящиеся 29.53 земных суток на Луне и 24.66 земных

часов на Марсе. За это время маятник отсчитает 288.4 часа (около 12 суток) на Луне и 15.18

часов на Марсе.

4. Рекомендации для жюри.

Стартовым этапом решения задачи является запись выражения

для периода колебаний маятника (2 балла) и числа колебаний (либо числа часов) за заданный

промежуток времени на поверхности другого небесного тела (2 балла). Вычисление числа

часов, которые маятник отсчитает за солнечные сутки на Луне и Марсе, оценивается еще по

2 балла. Если в качестве солнечных суток подставляется осевой период вращения тела, то в

каждом случае (Луна и Марс) вместо 2 баллов выставляется 1 балл.

5. Условие.

Расстояние до галактики Андромеды (M31) – 770 кпк, до галактики

Треугольника (M33) – 900 кпк. Предположим, в этих двух галактиках и Галактике Млечный

Путь одновременно вспыхнули одинаковые Сверхновые звезды. В какой из трех галактик

раньше удастся зарегистрировать все три вспышки? Межзвездное поглощение не учитывать.

5. Решение.

Галактики Андромеды и Треугольника вместе с нашей Галактикой Млечный

Путь – главные представители Местной группы галактик. На нашем небе галактики

Андромеды и Треугольника располагаются достаточно близко друг к другу, что можно

понять уже по их созвездиям, граничащим друг с другом. Учитывая, что расстояния до них

также схожи, можно сделать вывод, что эти галактики располагаются по соседству и в

пространстве. Изобразим схему взаимного расположения трех галактик:

Млечный

Путь

Галактика

Андромеды

Галактика

Треугольника

Обозначим расстояния от Млечного пути до галактик Андромеды и Треугольника как

, а расстояние между этими галактиками – как

. Заметим, что последняя величина

существенно меньше первых двух. В получившемся треугольнике самой большой стороной

будет отрезок от Млечного Пути до галактики Треугольника

. Сверхновую, вспыхнувшую

в Галактике Треугольника, мы сможем зарегистрировать только через время

, где

–

скорость света. То же относится к нашей Сверхновой, свет от которой будет долго идти до

галактики Треугольника. А вот галактика Андромеды находится на меньшем расстоянии от

обеих других галактик, и через время

там могут быть зафиксированы все три

Сверхновые.

5. Рекомендации для жюри.

Решение этой качественной задачи разбивается на два этапа.

На первом этапе участники олимпиады должны представить конфигурацию трех галактик в

пространстве и сделать вывод о том, что галактики Андромеды и Треугольника

располагаются рядом друг с другом. Данный вывод оценивается в 4 балла. Далее в

полученном треугольнике исследуется соотношение длин сторон и делается вывод о том, в

какой галактике удастся раньше всего увидеть все три Сверхновые. Этот вывод также

оценивается в 4 балла.

6. Условие.

На графиках приведены зависимости видимой яркости Венеры и Юпитера при

их заходе за горизонт. Шкалы яркости обоих графиков отличаются. Определите, какой

график соответствует Венере, а какой – Юпитеру. Объясните свой вывод. Атмосферное

ослабление света и рельеф горизонта не учитывать.

Время

ко

ть

6. Решение.

По графикам мы видим, что яркость двух планет при их заходе за горизонт

убывала по-разному. У первой планеты яркость убывала симметрично относительно

середины интервала: в середине видимая яркость была равна половине полной яркости до

захода. Это характерно для объектов, имеющих симметричную форму – полный диск.

Время

ко

У второй планеты профиль убывания яркости несимметричный: к середине захода яркость

уменьшилась более чем в 2 раза. Такое может быть, если форма светящегося объекта

несимметрична, в частности, если объект имеет форму серпа.

Юпитер

Венера

горизонт

Следовательно, профиль 1 в условии относится к Юпитеру, профиль 2 – к Венере, которая

является внутренней планетой и может выглядеть как серп.

6. Рекомендации для жюри.

При решении задачи участники олимпиады должны отметить

факт разности профилей яркости двух объектов и несимметричность по времени второго

профиля. Данный вывод оценивается в 2 балла. Указание, что причиной этого может быть

серповидная фаза второй планеты, оценивается в 4 балла. Окончательный вывод в задаче

оценивается в 2 балла.

Если правильный ответ (Юпитер на первом графике и Венера – на втором) сделан без

оснований, оценка не может превышать 3 баллов.

10 класс

1. Условие.

В календаре одного народа новый день начинался с восходом Сириуса, новый

месяц – когда впервые Луна восходит позже Сириуса, а новый год – когда Сириус впервые

появляется перед восходом Солнца (все относится к столице государства этого народа в

тропическом поясе Земли). Сколько в среднем дней (отсчитываемых этим народом)

содержит один месяц и один год в таком календаре? Прецессией лунной орбиты и земной

оси, собственным движением Сириуса пренебречь. Считать, что астрономы этого народа

имели возможность наблюдать Луну и Сириус днем.

1. Решение.

Промежуток времени между двумя последовательными восходами одной

далекой звезды (не Солнца) есть одни звездные сутки

, равные 23 часа 56 минут 04 секунды

или 0.99727 обычных суток. Если пренебречь прецессией лунной орбиты, то на ней можно

выделить одну точку, которая будет восходить над горизонтом в момент восхода Сириуса:

Горизонт

Сириус

Ор

би

та

ун

Очевидно, что новый месяц начнется после того, как Луна пройдет через эту точку (с

ближайшим восходом Луны). Средняя продолжительность месяца составит период между

двумя прохождениями Луны через эту точку. Это есть сидерический (звездный) период

Луны

, равный 27.32 суток. Аналогичная ситуация будет с годом – он начнется после того,

как Солнце в своем видимом пути по эклиптике пройдет точку, восходящую вместе с

Сириусом. Период между двумя такими моментами есть сидерический (звездный) год

. Так

как по условию задачи мы пренебрегаем прецессией земной оси, длительность

сидерического года можно считать равной обычному году – 365.24 суток. В итоге, число

дней в месяце и годе такого календаря в среднем составит

366

;

1. Рекомендации для жюри.

Для решения задачи участники олимпиады должны показать,

каким известным в астрономии величинам будут равны продолжительности дня, месяца и

года по данному календарю. Данные этапы решения оцениваются по 2 балла каждое. Если в

качестве дня указывается обычный средний солнечный день, а в качестве месяца – лунный

(синодический) месяц, то соответствующие баллы не выставляются. Окончательные

вычисления числа дней в месяце и годе оцениваются еще по 1 баллу.

2. Условие.

Древняя цивилизация построила на Земле (включая океаны) сеть сигнальных

башен высотой 30 метров. С верхней площадки каждой башни были видны верхние

площадки, по крайней мере, двух соседних башен. Зажигая на них огни определенного цвета,

можно было быстро передавать на большие расстояния весть об опасности. За какое

минимальное время такую информацию можно было распространить по всей Земле, если

время реакции солдата на башне, зажигающего огни, составляет 10 секунд? Атмосферным

ослаблением света, рефракцией и рельефом Земли пренебречь.

2. Решение.

Для решения задачи определим максимальное расстояние между двумя

соседними башнями, чтобы с вершины одной из них можно было видеть вершину другой.

ЗЕМЛЯ

С учетом того, что высота башни

существенно меньше радиуса Земли

, получаем:

)

(

км

≈

−

Через время

(10 секунд) на соседней башне также загорится сигнальный огонь. В итоге,

скорость передачи информации

составит почти 4 км/с. Определим, за какое время эта

информация достигнет противоположной точки Земли, предполагая, что все передающие ее

башни располагаются на одном большом круге:

R t

5100

или 1.4 часа. Данный способ, очевидно, наиболее быстрый для цивилизаций, не

располагающих радиосвязью и возможностью запуска космических аппаратов.

2. Рекомендации для жюри.

Основной этап решения состоит в вычислении расстояния

между соседними башнями. Его можно производить в общем или численном виде, с

использованием точных или приближенных формул. Данный этап решения оценивается в 4

балла. Вычисление времени обхода половины окружности Земли оценивается также в 4

балла.

3. Условие.

Астрономы наблюдали далекую звезду, физически похожую на Солнце, и

зафиксировали падение ее яркости на 0.1% в течение 5 часов, вызванное прохождением по ее

диску планеты. Найдите расстояние между планетой и звездой, считая орбиту планеты

круговой. Определите размер планеты, считая, что она прошла по центру диска звезды. На

какую планету Солнечной системы похожа эта далекая планета по размерам?

3. Решение.

Планета прошла по центру диска звезды, отчего видимая яркость звезды

уменьшилась на 1/1000 часть. Наблюдения ведутся с расстояния, много большего радиуса

орбиты планеты, поэтому можно считать, что соотношение видимых размеров звезды и

планеты такое же, как соотношение их истинных размеров. Тогда мы можем определить

радиус планеты:

1000

≈

Здесь

– радиус звезды, который по условию задачи близок к радиусу Солнца. Радиус

планеты оказывается равен 22 тысячи км, то есть планета по размерам напоминает Уран и

Нептун.

Вновь учитывая, что наблюдения происходят издалека, отметим, что длительность

прохождения планеты

есть ни что иное, как время, за которое планета в своем орбитальном

движении пролетает расстояние, равное диаметру звезды. Отсюда мы получаем скорость

планеты:

Астрономия (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2021-2009 год) - часть 49