Математика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2022-2023 год)

7 класс

Вариант 7.1.1.

Внутри большого квадрата находится маленький квадрат, соответствен-

ные стороны этих квадратов параллельны. Расстояния между некоторыми сторонами
квадратов отмечены на рисунке. На сколько периметр большого квадрата больше, чем
периметр маленького?

Ответ:

Вариант 7.1.2.

Внутри большого квадрата находится маленький квадрат, соответствен-

Ответ:

Вариант 7.1.3.

Внутри большого квадрата находится маленький квадрат, соответствен-

Ответ:

Вариант 7.1.4.

Внутри большого квадрата находится маленький квадрат, соответствен-

Ответ:

Вариант 7.2.1.

Каждое из натуральных чисел

1, 2, 3, … , 377

покрашено либо в красный,

либо в синий цвет (оба цвета присутствуют). Известно, что количество красных чисел
равно наименьшему красному числу, а количество синих чисел равно наибольшему си-
нему числу. Чему равно наименьшее красное число?

Ответ:

189

Вариант 7.2.2.

Каждое из натуральных чисел

1, 2, 3, … , 375

покрашено либо в красный,

Ответ:

188

Вариант 7.2.3.

Каждое из натуральных чисел

1, 2, 3, … , 373

покрашено либо в красный,

Ответ:

187

Вариант 7.2.4.

Каждое из натуральных чисел

1, 2, 3, … , 371

покрашено либо в красный,

Ответ:

186

Вариант 7.3.1.

Крош и Ёжик решили проверить, кто из них быстрее добежит по прямой

дороге от домика Копатыча до домика Лосяша. Когда Крош пробежал

метров, Ёжик

пробежал всего

метров. А когда Крошу оставалось

метров, Ёжику оставалось

мет-

ров. Сколько метров составляет длина дороги от домика Копатыча до домика Лосяша?
(Крош и Ёжик выбежали одновременно, каждый из них бежал со своей постоянной ско-
ростью.)

Ответ:

180

Вариант 7.3.2.

Крош и Ёжик решили проверить, кто из них быстрее добежит по прямой

дороге от домика Копатыча до домика Лосяша. Когда Крош пробежал

метров, Ёжик

пробежал всего

метров. А когда Крошу оставалось

метров, Ёжику оставалось

мет-

Ответ:

170

Вариант 7.3.3.

Крош и Ёжик решили проверить, кто из них быстрее добежит по прямой

дороге от домика Копатыча до домика Лосяша. Когда Крош пробежал

метров, Ёжик

пробежал всего

метров. А когда Крошу оставалось

метров, Ёжику оставалось

мет-

Ответ:

190

Вариант 7.3.4.

Крош и Ёжик решили проверить, кто из них быстрее добежит по прямой

дороге от домика Копатыча до домика Лосяша. Когда Крош пробежал

метров, Ёжик

пробежал всего

метров. А когда Крошу оставалось

метров, Ёжику оставалось

мет-

Ответ:

160

Вариант 7.4.1.

Рассмотрим семизначные натуральные числа, в десятичной записи кото-

рых каждая из цифр

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

встречается ровно один раз.

(а)

(1 балл)

У скольких из них цифры с первой по шестую расположены в порядке воз-

растания, а с шестой по седьмую — в порядке убывания?

(б)

(3 балла)

У скольких из них цифры с первой по пятую расположены в порядке воз-

растания, а с пятой по седьмую — в порядке убывания?

Ответ:

(а)

(б)

Вариант 7.4.2.

Рассмотрим восьмизначные натуральные числа, в десятичной записи ко-

торых каждая из цифр

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

встречается ровно один раз.

(а)

(1 балл)

У скольких из них цифры с первой по седьмую расположены в порядке воз-

растания, а с седьмой по восьмую — в порядке убывания?

(б)

(3 балла)

У скольких из них цифры с первой по шестую расположены в порядке воз-

растания, а с шестой по восьмую — в порядке убывания?

Ответ:

(а)

(б)

Вариант 7.4.3.

Рассмотрим девятизначные натуральные числа, в десятичной записи ко-

торых каждая из цифр

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

встречается ровно один раз.

(а)

(1 балл)

У скольких из них цифры с первой по восьмую расположены в порядке воз-

растания, а с восьмой по девятую — в порядке убывания?

(б)

(3 балла)

У скольких из них цифры с первой по седьмую расположены в порядке

возрастания, а с седьмой по девятую — в порядке убывания?

Ответ:

(а)

(б)

Вариант 7.5.1.

В лесу живут эльфы и гномы. Однажды

жителей этого леса встали в

ряд лицом в одну сторону, в этот момент некоторые из них могли быть в колпаках. (Эль-
фов могло быть от

до

включительно, жителей в колпаках тоже могло быть от

до

включительно.)

Каждый из

жителей сказал одну из следующих фраз:

• «Мой сосед справа — эльф».

• «Мой сосед справа — в колпаке».

Известно, что эльфы без колпаков всегда говорят правду, а эльфы в колпаках всегда лгут.
У гномов всё наоборот: гномы без колпаков всегда лгут, а гномы в колпаках всегда говорят
правду.

(а)

(2 балла)

Какое наибольшее количество эльфов без колпаков могло быть в ряду?

(б)

(2 балла)

Какое наибольшее количество эльфов в колпаках могло быть в ряду?

Ответ:

(а)

(б)

Вариант 7.5.2.

В лесу живут эльфы и гномы. Однажды

жителей этого леса встали в

ряд лицом в одну сторону, в этот момент некоторые из них могли быть в колпаках. (Эль-
фов могло быть от

до

включительно, жителей в колпаках тоже могло быть от

до

включительно.)

Каждый из

жителей сказал одну из следующих фраз:

• «Мой сосед справа — эльф».

• «Мой сосед справа — в колпаке».

(а)

(2 балла)

Какое наибольшее количество эльфов без колпаков могло быть в ряду?

(б)

(2 балла)

Какое наибольшее количество эльфов в колпаках могло быть в ряду?

Ответ:

(а)

(б)

Вариант 7.5.3.

В лесу живут эльфы и гномы. Однажды

жителей этого леса встали в

ряд лицом в одну сторону, в этот момент некоторые из них могли быть в колпаках. (Эль-
фов могло быть от

до

включительно, жителей в колпаках тоже могло быть от

до

включительно.)

Каждый из

жителей сказал одну из следующих фраз:

• «Мой сосед справа — эльф».

• «Мой сосед справа — в колпаке».

(а)

(2 балла)

Какое наибольшее количество эльфов без колпаков могло быть в ряду?

(б)

(2 балла)

Какое наибольшее количество эльфов в колпаках могло быть в ряду?

Ответ:

(а)

(б)

Вариант 7.5.4.

В лесу живут эльфы и гномы. Однажды

жителей этого леса встали в

ряд лицом в одну сторону, в этот момент некоторые из них могли быть в колпаках. (Эль-
фов могло быть от

до

включительно, жителей в колпаках тоже могло быть от

до

включительно.)

Каждый из

жителей сказал одну из следующих фраз:

• «Мой сосед справа — эльф».

• «Мой сосед справа — в колпаке».

(а)

(2 балла)

Какое наибольшее количество эльфов без колпаков могло быть в ряду?

(б)

(2 балла)

Какое наибольшее количество эльфов в колпаках могло быть в ряду?

Ответ:

(а)

(б)

Пусть точка

𝐸

имела координаты

(𝑥; 𝑦)

(а)

(1 балл)

Укажите любое возможное значение величины

𝑥𝑦

(б)

(3 балла)

Укажите все возможные значения величины

𝑥𝑦

Ответ:

7, 15, 35

Вариант 7.6.3.

На плоскости отметили точки

𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸

так, что треугольники

𝐴𝐵𝐶

𝐴𝐷𝐸

равны:

𝐴𝐵 = 𝐴𝐷, 𝐴𝐶 = 𝐴𝐸, 𝐵𝐶 = 𝐷𝐸

. Затем с чертежа стёрли точку

𝐸

и подписи

точек

𝐵, 𝐶

𝐷

Пусть точка

𝐸

имела координаты

(𝑥; 𝑦)

(а)

(1 балл)

Укажите любое возможное значение величины

𝑥𝑦

(б)

(3 балла)

Укажите все возможные значения величины

𝑥𝑦

Ответ:

6, 10, 28

Вариант 7.6.4.

На плоскости отметили точки

𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸

так, что треугольники

𝐴𝐵𝐶

𝐴𝐷𝐸

равны:

𝐴𝐵 = 𝐴𝐷, 𝐴𝐶 = 𝐴𝐸, 𝐵𝐶 = 𝐷𝐸

. Затем с чертежа стёрли точку

𝐸

и подписи

точек

𝐵, 𝐶

𝐷

Пусть точка

𝐸

имела координаты

(𝑥; 𝑦)

(а)

(1 балл)

Укажите любое возможное значение величины

𝑥𝑦

(б)

(3 балла)

Укажите все возможные значения величины

𝑥𝑦

Ответ:

16, 24, 48

Вариант 7.7.1.

На какое наибольшее количество групп можно разбить числа

1, 2, 3, … , 100

так, чтобы сумма чисел в каждой группе была простым числом? (Каждое число должно
войти ровно в одну группу. Каждая группа должна состоять из одного или нескольких
чисел.)

Ответ:

Вариант 7.7.2.

На какое наибольшее количество групп можно разбить числа

1, 2, 3, … , 70

Ответ:

Вариант 7.8.1.

Клетки таблицы

50×50

раскрашены в

𝑛

цветов так, что для любой клетки в

объединении её строки и столбца встречаются клетки всех

𝑛

цветов. Найдите наибольшее

возможное количество клеток синего цвета, если

(а)

(1 балл)

𝑛 = 2

;

(б)

(3 балла)

𝑛 = 25

Ответ:

(а)

2450

(б)

1300

Вариант 7.8.2.

Клетки таблицы

40×40

раскрашены в

𝑛

цветов так, что для любой клетки в

объединении её строки и столбца встречаются клетки всех

𝑛

цветов. Найдите наибольшее

возможное количество клеток синего цвета, если

(а)

(1 балл)

𝑛 = 2

;

(б)

(3 балла)

𝑛 = 20

Ответ:

(а)

1560

(б)

840

Вариант 7.8.3.

Клетки таблицы

30×30

раскрашены в

𝑛

цветов так, что для любой клетки в

объединении её строки и столбца встречаются клетки всех

𝑛

цветов. Найдите наибольшее

возможное количество клеток синего цвета, если

(а)

(1 балл)

𝑛 = 2

;

(б)

(3 балла)

𝑛 = 15

Ответ:

(а)

870

(б)

480

Вариант 7.8.4.

Клетки таблицы

20×20

раскрашены в

𝑛

цветов так, что для любой клетки в

объединении её строки и столбца встречаются клетки всех

𝑛

цветов. Найдите наибольшее

возможное количество клеток синего цвета, если

(а)

(1 балл)

𝑛 = 2

;

(б)

(3 балла)

𝑛 = 10

Ответ:

(а)

380

(б)

220

8 класс

Задача 8.1.

В ящике лежат апельсины, груши и яблоки, всего

фруктов. Известно, что

яблок в

раза больше, чем не яблок, а груш в

раз меньше, чем не груш. Сколько апель-

синов лежит в ящике?

Ответ:

Задача 8.3.

У Маши есть три одинаковых игральных кубика, на гранях каждого из них

написано шесть различных простых чисел с суммой

Маша дважды кинула все три кубика. В первый раз сумма выпавших чисел равнялась

во второй раз сумма выпавших равнялась

Ровно одно из шести чисел ни разу не выпало. Какое?

Ответ:

Решение.

Заметим, что число

единственным образом представляется в виде суммы

трёх простых чисел:

10 = 2 + 3 + 5

. Это означает, что на кубиках есть числа

2, 3, 5

, и они

выпали в первый раз.

Заметим, что если чётное число

представимо в виде суммы трёх простых чисел, то

одно из них чётно и поэтому равно

. Тогда сумма двух оставшихся равна

. Заметим,

что среди этих двух чисел не может быть ни числа

, ни числа

, а также что

они различны (ведь числа

— составные). Это означает, что на кубиках есть

два различных простых числа с суммой

, больших

, и они выпали во второй раз (вместе

Итак, на каждом кубике есть числа

2, 3, 5

, а также два других простых числа с суммой

Поскольку сумма всех шести чисел равна

, то шестое число, которое никогда не выпа-

дало, равно

87 − 2 − 3 − 5 − 60 = 17

Задача 8.4.

В клетках таблицы

2 × 35

(

строки,

столбцов) расставлены ненулевые дей-

ствительные числа, причём в верхней строке все числа различны. Для любых двух чисел,
стоящих в одном столбце, выполнено следующее условие: одно число является квадра-
том другого.

(а)

(1 балл)

Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть в этой таб-

лице?

(б)

(3 балла)

Какое наименьшее количество различных чисел может быть в нижней стро-

ке?

Ответ:

(а)

(б)

Решение.

(а)

В любом столбце может быть не более одного отрицательного числа, по-

этому всего отрицательных чисел не больше

. Их может быть ровно

, если, например,

сверху стоят числа

−1, −2, −3, … , −35

, а под ними — числа

, 2

, 3

, … , 35

соответствен-

но.

(б)

Докажем, что каждое из чисел в нижней строке встречается не более

раз.

8 класс

Вариант 8.1.1.

В ящике лежат апельсины, груши и яблоки, всего

фруктов. Известно,

что яблок в

раза больше, чем не яблок, а груш в

раз меньше, чем не груш. Сколько

апельсинов лежит в ящике?

Ответ:

Вариант 8.1.2.

В ящике лежат апельсины, груши и яблоки, всего

120

фруктов. Известно,

что яблок в

раза больше, чем не яблок, а груш в

раз меньше, чем не груш. Сколько

апельсинов лежит в ящике?

Ответ:

Вариант 8.1.3.

В ящике лежат апельсины, груши и яблоки, всего

180

фруктов. Известно,

что яблок в

раза больше, чем не яблок, а груш в

раз меньше, чем не груш. Сколько

апельсинов лежит в ящике?

Ответ:

Вариант 8.1.4.

В ящике лежат апельсины, груши и яблоки, всего

240

фруктов. Известно,

что яблок в

раза больше, чем не яблок, а груш в

раз меньше, чем не груш. Сколько

апельсинов лежит в ящике?

Ответ:

Вариант 8.2.1.

Олег купил шоколадку за

𝑛

рублей, а через некоторое время продал её

за

рублей. Оказалось, что он продал шоколадку ровно на

𝑛%

дороже, чем покупал. За

сколько рублей Олег купил шоколадку?

Ответ:

Вариант 8.2.2.

Олег купил шоколадку за

𝑛

рублей, а через некоторое время продал её за

119

рублей. Оказалось, что он продал шоколадку ровно на

𝑛%

дороже, чем покупал. За

сколько рублей Олег купил шоколадку?

Ответ:

Вариант 8.2.3.

Олег купил шоколадку за

𝑛

рублей, а через некоторое время продал её

за

144

рубля. Оказалось, что он продал шоколадку ровно на

𝑛%

дороже, чем покупал. За

сколько рублей Олег купил шоколадку?

Ответ:

Вариант 8.2.4.

Олег купил шоколадку за

𝑛

рублей, а через некоторое время продал её

за

171

рубль. Оказалось, что он продал шоколадку ровно на

𝑛%

дороже, чем покупал. За

сколько рублей Олег купил шоколадку?

Ответ:

Вариант 8.3.1.

У Маши есть три одинаковых игральных кубика, на гранях каждого из

них написано шесть различных простых чисел с суммой

Маша дважды кинула все три кубика. В первый раз сумма выпавших чисел равнялась

во второй раз сумма выпавших равнялась

Ровно одно из шести чисел ни разу не выпало. Какое?

Ответ:

Вариант 8.3.2.

У Маши есть три одинаковых игральных кубика, на гранях каждого из

них написано шесть различных простых чисел с суммой

Маша дважды кинула все три кубика. В первый раз сумма выпавших чисел равнялась

во второй раз сумма выпавших равнялась

Ровно одно из шести чисел ни разу не выпало. Какое?

Ответ:

Вариант 8.3.3.

У Маши есть три одинаковых игральных кубика, на гранях каждого из

них написано шесть различных простых чисел с суммой

Маша дважды кинула все три кубика. В первый раз сумма выпавших чисел равнялась

во второй раз сумма выпавших равнялась

Ровно одно из шести чисел ни разу не выпало. Какое?

Ответ:

Вариант 8.3.4.

У Маши есть три одинаковых игральных кубика, на гранях каждого из

них написано шесть различных простых чисел с суммой

Маша дважды кинула все три кубика. В первый раз сумма выпавших чисел равнялась

во второй раз сумма выпавших равнялась

Ровно одно из шести чисел ни разу не выпало. Какое?

Ответ:

Вариант 8.4.1.

В клетках таблицы

2 × 35

(

строки,

столбцов) расставлены ненулевые

действительные числа, причём в верхней строке все числа различны. Для любых двух чи-
сел, стоящих в одном столбце, выполнено следующее условие: одно число является квад-
ратом другого.

(а)

(1 балл)

Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть в этой таб-

лице?

(б)

(3 балла)

Какое наименьшее количество различных чисел может быть в нижней стро-

ке?

Ответ:

(а)

(б)

Вариант 8.4.2.

В клетках таблицы

2 × 38

(

строки,

столбцов) расставлены ненулевые

(а)

(1 балл)

Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть в этой таб-

лице?

(б)

(3 балла)

Какое наименьшее количество различных чисел может быть в нижней стро-

ке?

Ответ:

(а)

(б)

Вариант 8.4.3.

В клетках таблицы

2 × 32

(

строки,

столбца) расставлены ненулевые

(а)

(1 балл)

Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть в этой таб-

лице?

(б)

(3 балла)

Какое наименьшее количество различных чисел может быть в нижней стро-

ке?

Ответ:

(а)

(б)

Вариант 8.4.4.

В клетках таблицы

2 × 41

(

строки,

столбец) расставлены ненулевые

(а)

(1 балл)

Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть в этой таб-

лице?

(б)

(3 балла)

Какое наименьшее количество различных чисел может быть в нижней стро-

ке?

Ответ:

(а)

(б)

Вариант 8.5.1.

В выпуклом четырёхугольнике

𝐴𝐵𝐶𝐷

биссектрисы углов

𝐴

𝐶

парал-

лельны, а биссектрисы углов

𝐵

𝐷

пересекаются под углом

∘

, как изображено на ри-

сунке. Сколько градусов составляет острый угол между биссектрисами углов

𝐴

𝐵

Ответ:

Вариант 8.5.2.

В выпуклом четырёхугольнике

𝐴𝐵𝐶𝐷

биссектрисы углов

𝐴

𝐶

парал-

лельны, а биссектрисы углов

𝐵

𝐷

пересекаются под углом

∘

, как изображено на ри-

сунке. Сколько градусов составляет острый угол между биссектрисами углов

𝐴

𝐵

Ответ:

Вариант 8.5.3.

В выпуклом четырёхугольнике

𝐴𝐵𝐶𝐷

биссектрисы углов

𝐴

𝐶

парал-

лельны, а биссектрисы углов

𝐵

𝐷

пересекаются под углом

∘

, как изображено на ри-

сунке. Сколько градусов составляет острый угол между биссектрисами углов

𝐴

𝐵

Ответ:

Вариант 8.6.1.

Натуральное число

𝑛

таково, что значение выражения

𝑛

+ 492

является

точным квадратом.

(а)

(2 балла)

Укажите любое возможное значение

𝑛

(б)

(2 балла)

Чему может быть равно

𝑛

? Укажите все возможные варианты.

Ответ:

𝑛 = 38; 122

Вариант 8.6.2.

Натуральное число

𝑛

таково, что значение выражения

𝑛

+ 516

является

точным квадратом.

(а)

(2 балла)

Укажите любое возможное значение

𝑛

(б)

(2 балла)

Чему может быть равно

𝑛

? Укажите все возможные варианты.

Ответ:

𝑛 = 40; 128

Вариант 8.6.3.

Натуральное число

𝑛

таково, что значение выражения

𝑛

+ 564

является

точным квадратом.

(а)

(2 балла)

Укажите любое возможное значение

𝑛

(б)

(2 балла)

Чему может быть равно

𝑛

? Укажите все возможные варианты.

Ответ:

𝑛 = 44; 140

Вариант 8.7.1.

Сколько существует способов расположить в ряд

𝑛

крестиков и

ноликов

так, чтобы среди любых трёх подряд идущих значков нашёлся хотя бы один нолик, если

(а)

(2 балла)

𝑛 = 27

;

(б)

(2 балла)

𝑛 = 26

Ответ:

(а)

(б)

105

Вариант 8.7.2.

Сколько существует способов расположить в ряд

𝑛

крестиков и

ноликов

так, чтобы среди любых трёх подряд идущих значков нашёлся хотя бы один нолик, если

(а)

(2 балла)

𝑛 = 29

;

(б)

(2 балла)

𝑛 = 28

Ответ:

(а)

(б)

120

Вариант 8.7.3.

Сколько существует способов расположить в ряд

𝑛

крестиков и

ноликов

так, чтобы среди любых трёх подряд идущих значков нашёлся хотя бы один нолик, если

(а)

(2 балла)

𝑛 = 25

;

(б)

(2 балла)

𝑛 = 24

Ответ:

(а)

(б)

Вариант 8.7.4.

Сколько существует способов расположить в ряд

𝑛

крестиков и

ноликов

так, чтобы среди любых трёх подряд идущих значков нашёлся хотя бы один нолик, если

(а)

(2 балла)

𝑛 = 23

;

(б)

(2 балла)

𝑛 = 22

Ответ:

(а)

(б)

Вариант 8.8.1.

Дан треугольник

𝐴𝐵𝐶

, в котором

∠𝐴 = 42

∘

𝐴𝐵 < 𝐴𝐶

. Точка

𝐾

на стороне

𝐴𝐶

такова, что

𝐴𝐵 = 𝐶𝐾

. Точки

𝑃

𝑄

— середины отрезков

𝐴𝐾

𝐵𝐶

соответственно.

Сколько градусов составляет угол

𝐴𝐶𝐵

, если известно, что

∠𝑃𝑄𝐶 = 110

∘

9 класс

Задача 9.1.

Ученики 9 «A», 9 «Б», 9 «В» собрались на линейку. Марья Ивановна решила

посчитать количество присутствующих из каждого класса. У неё получилось, что на ли-
нейке было

учеников из 9 «A»,

учеников из 9 «Б» и

учеников из 9 «В». А Илья Гри-

горьевич решил посчитать сразу общее количество присутствующих из всех трёх классов —
у него получилось

учеников.

Оказалось, что при подсчёте численности каждого класса Марья Ивановна ошиблась не
более чем на

. А при подсчёте общей численности Илья Григорьевич ошибся не более

чем на

Сколько учеников из 9 «A» присутствовало на линейке?

Ответ:

Решение.

Пусть

𝑎

𝑏

𝑐

— реальное количество учеников из 9 «A», 9 «Б», 9 «В» соответ-

ственно. Из подсчётов Марьи Ивановны следует, что

𝑎 ⩽ 29

𝑏 ⩽ 31

𝑐 ⩽ 32

, а из подсчётов

Ильи Григорьевича следует, что

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ⩾ 92

. Получаем, что

92 ⩽ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ⩽ 29 + 31 + 32 = 92.

Отсюда следует, что все рассматриваемые неравенства должны обращаться в равенства,
в частности

𝑎 = 29

Задача 9.2.

На сторонах

𝐴𝐵

𝐴𝐷

прямоугольника

𝐴𝐵𝐶𝐷

отмечены точки

𝑀

𝑁

соответ-

ственно. Известно, что

𝐴𝑁 = 7

𝑁𝐶 = 39

𝐴𝑀 = 12

𝑀𝐵 = 3

(а)

(1 балл)

Найдите площадь прямоугольника

𝐴𝐵𝐶𝐷

(б)

(3 балла)

Найдите площадь треугольника

𝑀𝑁𝐶

Как известно, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его
катетов. Тогда

Задача 9.3.

Натуральные числа

𝑎

𝑏

таковы, что

𝑎

делится на

𝑏 + 1

делится на

𝑎 + 𝑏

(а)

(1 балл)

Укажите любое возможное значение

𝑎

(б)

(3 балла)

Чему может быть равно

𝑏

? Укажите все возможные варианты.

Ответ:

(а)

любое из чисел

(б)

Решение.

Поскольку

— простое число, а

𝑎 + 𝑏

— натуральное число, большее 1, полу-

чаем, что

𝑎 + 𝑏 = 43

. Значит,

𝑏 ⩽ 42

𝑎 = 43 − 𝑏

Из условия следует, что число

𝑏 + 1

является делителем числа

𝑎 + (𝑏 + 1) = 44

. Поскольку

𝑏 + 1

— натуральное число, большее 1 и меньшее 44, получаем, что

𝑏 + 1

может равняться

одному из значений

2, 4, 11, 22

• Пусть

𝑏 + 1 = 2

. Тогда

𝑏 = 1

𝑎 = 42

• Пусть

𝑏 + 1 = 4

. Тогда

𝑏 = 3

𝑎 = 40

• Пусть

𝑏 + 1 = 11

. Тогда

𝑏 = 10

𝑎 = 33

• Пусть

𝑏 + 1 = 22

. Тогда

𝑏 = 21

𝑎 = 22

Легко проверить, что все пары

(42, 1)

(40, 3)

(33, 10)

(22, 21)

подходят под условие.

Задача 9.4.

На доске нарисована пустая таблица

3 × 51

. Маша хочет заполнить её клетки

числами, руководствуясь следующими правилами:

• каждое из чисел

1, 2, 3, … , 153

должно присутствовать в таблице;

• в левой нижней клетке таблицы должно стоять число

;

• для любого натурального

𝑎 ⩽ 152

числа

𝑎

𝑎 + 1

должны стоять в соседних по

стороне клетках.

(а)

(1 балл)

Какое наибольшее число может стоять в клетке, соседней по стороне с чис-

лом

(б)

(3 балла)

Назовём клетку таблицы

хорошей,

если в ней может оказаться число

153

Сколько всего хороших клеток?

Ответ:

(а)

152

(б)

Решение.

Раскрасим таблицу в чёрный и белый цвета так, чтобы клетка, в которой долж-

но стоять число

, оказалась чёрной. Третье правило в условии означает, что последо-

вательные числа в таблице стоят «змейкой», а цвета их клеток чередуются, то есть все
нечётные числа, включая

153

, тоже будут в клетках чёрного цвета.

Очевидно, что все они по-прежнему не делятся на

Пусть сладкоежка в какой-то момент забрал все конфеты из одной из коробок. Посмотрим
на оставшиеся четыре коробки: общее количество конфет в них не меньше, чем сумма
остатков при делении на

соответствующих чисел. Таким образом, в них осталось хотя бы

0+1+2+3 = 6

конфет. Соответственно, сладкоежка забрал не более

11+22+33+44+55−6 =

159

конфет.

Теперь приведём пример, как сладкоежка может забрать ровно

159

конфет. Пусть он пе-

рекладывает по

конфеты из первых четырёх коробок, пока это возможно (то есть пока

хотя бы в одной из этих коробок есть хотя бы

конфеты). Этот процесс рано или поздно

закончится, ведь с каждым таким ходом общее количество конфет в первых четырёх ко-
робках уменьшается ровно на

(в одной коробке количество конфет уменьшается на

а в трёх оставшихся — увеличивается на

В тот момент, когда такой процесс закончится, в каждой из первых четырёх коробок будет
от

до

конфет. Но мы доказали ранее, что количества конфет в этих четырёх коробках

должны давать разные остатки при делении на

. Отсюда следует, что в одной коробке

лежит

конфет, в другой —

, в третьей —

, в четвёртой —

конфеты. Значит, остальные

159

конфет лежат в пятой коробке, их сладкоежка и заберёт.

9 класс

Вариант 9.1.1.

Ученики 9 «A», 9 «Б», 9 «В» собрались на линейку. Марья Ивановна ре-

шила посчитать количество присутствующих из каждого класса. У неё получилось, что
на линейке было

учеников из 9 «A»,

учеников из 9 «Б» и

учеников из 9 «В».

А Илья Григорьевич решил посчитать сразу общее количество присутствующих из всех
трёх классов — у него получилось

учеников.

Оказалось, что при подсчёте численности каждого класса Марья Ивановна ошиблась не
более чем на

. А при подсчёте общей численности Илья Григорьевич ошибся не более

чем на

Сколько учеников из 9 «A» присутствовало на линейке?

Ответ:

Вариант 9.1.2.

Ученики 9 «A», 9 «Б», 9 «В» собрались на линейку. Марья Ивановна ре-

шила посчитать количество присутствующих из каждого класса. У неё получилось, что
на линейке было

учеников из 9 «A»,

учеников из 9 «Б» и

учеников из 9 «В».

учеников.

Оказалось, что при подсчёте численности каждого класса Марья Ивановна ошиблась не
более чем на

. А при подсчёте общей численности Илья Григорьевич ошибся не более

чем на

Сколько учеников из 9 «Б» присутствовало на линейке?

Ответ:

Вариант 9.1.3.

Ученики 9 «A», 9 «Б», 9 «В» собрались на линейку. Марья Ивановна ре-

шила посчитать количество присутствующих из каждого класса. У неё получилось, что
на линейке было

учеников из 9 «A»,

учеников из 9 «Б» и

учеников из 9 «В».

ученика.

Оказалось, что при подсчёте численности каждого класса Марья Ивановна ошиблась не
более чем на

. А при подсчёте общей численности Илья Григорьевич ошибся не более

чем на

Сколько учеников из 9 «A» присутствовало на линейке?

Ответ:

Вариант 9.1.4.

Ученики 9 «A», 9 «Б», 9 «В» собрались на линейку. Марья Ивановна ре-

шила посчитать количество присутствующих из каждого класса. У неё получилось, что
на линейке было

учеников из 9 «A»,

учеников из 9 «Б» и

учеников из 9 «В».

ученика.

Оказалось, что при подсчёте численности каждого класса Марья Ивановна ошиблась не
более чем на

. А при подсчёте общей численности Илья Григорьевич ошибся не более

чем на

Сколько учеников из 9 «Б» присутствовало на линейке?

Ответ:

Вариант 9.2.1.

На сторонах

𝐴𝐵

𝐴𝐷

прямоугольника

𝐴𝐵𝐶𝐷

отмечены точки

𝑀

𝑁

соот-

ветственно. Известно, что

𝐴𝑁 = 7

𝑁𝐶 = 39

𝐴𝑀 = 12

𝑀𝐵 = 3

(а)

(1 балл)

Найдите площадь прямоугольника

𝐴𝐵𝐶𝐷

(б)

(3 балла)

Найдите площадь треугольника

𝑀𝑁𝐶

Математика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2022-2023 год) - часть 9