Математика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2022-2023 год) - часть 8

ит человек в синей кофте. Найдите наибольшее возможное количество девочек в красных
кофтах.

Ответ:

26

.

Задача 8.4.3.

По кругу стоят

27

детей, каждый из них одет в красную или синюю кофту.

Известно, что рядом с каждым мальчиком стоит девочка, а рядом с каждой девочкой сто-
ит человек в синей кофте. Найдите наибольшее возможное количество девочек в красных
кофтах.

Ответ:

18

.

Задача 8.4.4.

По кругу стоят

48

детей, каждый из них одет в красную или синюю кофту.

Известно, что рядом с каждым мальчиком стоит девочка, а рядом с каждой девочкой сто-
ит человек в синей кофте. Найдите наибольшее возможное количество девочек в красных
кофтах.

Ответ:

32

.

Задача 8.5.1.

Из города в деревню выехал автомобиль, одновременно с ним из деревни в

город выехал велосипедист. Когда автомобиль и велосипедист встретились, автомобиль
сразу же развернулся и поехал обратно в город. В итоге велосипедист приехал в город на

35

минут позже автомобиля. Сколько минут затратил велосипедист на весь путь, если

известно, что его скорость в

4,5

раза меньше скорости автомобиля?

Ответ:

55

.

Задача 8.5.2.

Из города в деревню выехал автомобиль, одновременно с ним из деревни в

город выехал велосипедист. Когда автомобиль и велосипедист встретились, автомобиль
сразу же развернулся и поехал обратно в город. В итоге велосипедист приехал в город на

28

минут позже автомобиля. Сколько минут затратил велосипедист на весь путь, если

известно, что его скорость в

4,5

раза меньше скорости автомобиля?

Ответ:

44

.

Задача 8.5.3.

Из города в деревню выехал автомобиль, одновременно с ним из деревни в

город выехал велосипедист. Когда автомобиль и велосипедист встретились, автомобиль
сразу же развернулся и поехал обратно в город. В итоге велосипедист приехал в город на

42

минут позже автомобиля. Сколько минут затратил велосипедист на весь путь, если

известно, что его скорость в

4,5

раза меньше скорости автомобиля?

Ответ:

66

.

91

Задача 8.5.4.

Из города в деревню выехал автомобиль, одновременно с ним из деревни в

город выехал велосипедист. Когда автомобиль и велосипедист встретились, автомобиль
сразу же развернулся и поехал обратно в город. В итоге велосипедист приехал в город на

49

минут позже автомобиля. Сколько минут затратил велосипедист на весь путь, если

известно, что его скорость в

4,5

раза меньше скорости автомобиля?

Ответ:

77

.

Задача 8.6.1.

Паша выписал в порядке возрастания все натуральные делители натураль-

ного числа

𝑘

и их пронумеровал: первый, второй,

…

.

Паша заметил, что если шестой делитель умножить на тринадцатый делитель, то полу-
чится исходное число

𝑘

.

Сколько натуральных делителей имеет число

𝑘

?

Ответ:

18

.

Задача 8.6.2.

Паша выписал в порядке возрастания все натуральные делители натураль-

ного числа

𝑘

и их пронумеровал: первый, второй,

…

.

Паша заметил, что если шестой делитель умножить на одиннадцатый делитель, то полу-
чится исходное число

𝑘

.

Сколько натуральных делителей имеет число

𝑘

?

Ответ:

16

.

Задача 8.6.3.

Паша выписал в порядке возрастания все натуральные делители натураль-

ного числа

𝑘

и их пронумеровал: первый, второй,

…

.

Паша заметил, что если шестой делитель умножить на десятый делитель, то получится
исходное число

𝑘

.

Сколько натуральных делителей имеет число

𝑘

?

Ответ:

15

.

Задача 8.6.4.

Паша выписал в порядке возрастания все натуральные делители натураль-

ного числа

𝑘

и их пронумеровал: первый, второй,

…

.

Паша заметил, что если четвёртый делитель умножить на одиннадцатый делитель, то
получится исходное число

𝑘

.

Сколько натуральных делителей имеет число

𝑘

?

Ответ:

14

.

92

Задача

 

8.7.4.

 

В

 

остроугольном

 

треугольнике

 

𝐴𝐵𝐶

 

проведена

 

высота

 

𝐵𝐻

.

 

Оказалось,

 

что

 

𝐶𝐻

 

=

 

𝐴𝐵

 

+

 

𝐴𝐻

.

 

Сколько

 

градусов

 

составляет

 

угол

 

𝐵𝐴𝐶

,

 

если

 угол 

𝐴𝐵𝐶

 

=

 

78

∘

?

Ответ:

68

.

Задача 8.8.1.

На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, кото-

рые всегда лгут.

Однажды собрались

10

жителей острова, все они надели на себя футболки с номерами от

1

до

10

(у разных жителей разные номера). Каждый из них сказал одну из фраз:

• «Среди собравшихся нет рыцаря, номер футболки которого больше моего»

• «Среди собравшихся нет лжеца, номер футболки которого меньше моего».

Известно, что каждая из этих фраз прозвучала ровно

5

раз. Сколько рыцарей могло быть

среди этих

10

жителей? Укажите все возможные варианты.

Ответ:

1, 2, 3, 4, 5, 6

.

Задача 8.8.2.

На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, кото-

рые всегда лгут.

Однажды собрались

8

жителей острова, все они надели на себя футболки с номерами от

1

до

8

(у разных жителей разные номера). Каждый из них сказал одну из фраз:

• «Среди собравшихся нет рыцаря, номер футболки которого больше моего»

• «Среди собравшихся нет лжеца, номер футболки которого меньше моего».

Известно, что каждая из этих фраз прозвучала ровно

4

раза. Сколько рыцарей могло быть

среди этих

8

жителей? Укажите все возможные варианты.

Ответ:

1, 2, 3, 4, 5

.

Задача 8.8.3.

На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, кото-

рые всегда лгут.

94

Однажды собрались

12

жителей острова, все они надели на себя футболки с номерами от

1

до

12

(у разных жителей разные номера). Каждый из них сказал одну из фраз:

• «Среди собравшихся нет рыцаря, номер футболки которого больше моего»

• «Среди собравшихся нет лжеца, номер футболки которого меньше моего».

Известно, что каждая из этих фраз прозвучала ровно

6

раз. Сколько рыцарей могло быть

среди этих

12

жителей? Укажите все возможные варианты.

Ответ:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

.

9 класс

Задача 9.1.1.

В магазине продаётся

20

товаров, стоимости которых — различные нату-

ральные числа от

1

до

20

рублей. Магазин решил устроить акцию: при покупке любых

5

товаров один из них выдаётся в подарок, причём покупатель сам выбирает, какой то-

вар получит бесплатно. Влад хочет купить все

20

товаров в этом магазине, заплатив как

можно меньше. Сколько рублей ему понадобится? (Каждый из

20

товаров продаётся в

1

экземпляре.)

Ответ:

136

.

Задача 9.1.2.

В магазине продаётся

20

товаров, стоимости которых — различные нату-

ральные числа от

1

до

20

рублей. Магазин решил устроить акцию: при покупке любых

4

товаров один из них выдаётся в подарок, причём покупатель сам выбирает, какой то-

вар получит бесплатно. Влад хочет купить все

20

товаров в этом магазине, заплатив как

можно меньше. Сколько рублей ему понадобится? (Каждый из

20

товаров продаётся в

1

экземпляре.)

Ответ:

120

.

Задача 9.1.3.

В магазине продаётся

24

товара, стоимости которых — различные нату-

ральные числа от

1

до

24

рублей. Магазин решил устроить акцию: при покупке любых

4

товаров один из них выдаётся в подарок, причём покупатель сам выбирает, какой то-

вар получит бесплатно. Влад хочет купить все

24

товара в этом магазине, заплатив как

можно меньше. Сколько рублей ему понадобится? (Каждый из

24

товаров продаётся в

1

экземпляре.)

Ответ:

171

.

Задача 9.1.4.

В магазине продаётся

25

товаров, стоимости которых — различные нату-

ральные числа от

1

до

25

рублей. Магазин решил устроить акцию: при покупке любых

95

5

товаров один из них выдаётся в подарок, причём покупатель сам выбирает, какой то-

вар получит бесплатно. Влад хочет купить все

25

товаров в этом магазине, заплатив как

можно меньше. Сколько рублей ему понадобится? (Каждый из

25

товаров продаётся в

1

экземпляре.)

Ответ:

210

.

Задача 9.2.1.

Ваня загадал два натуральных числа, произведение которых равняется

7200

.

Какое наибольшее значение может принимать НОД этих чисел?

Ответ:

60

.

Задача 9.2.2.

Ваня загадал два натуральных числа, произведение которых равняется

28800

.

Какое наибольшее значение может принимать НОД этих чисел?

Ответ:

120

.

Задача 9.2.3.

Ваня загадал два натуральных числа, произведение которых равняется

16200

.

Какое наибольшее значение может принимать НОД этих чисел?

Ответ:

90

.

Задача 9.2.4.

Ваня загадал два натуральных числа, произведение которых равняется

45000

.

Какое наибольшее значение может принимать НОД этих чисел?

Ответ:

150

.

Задача 9.3.1.

Четыре города и пять дорог расположены так, как изображено на рисунке.

Длины всех дорог равны целому числу километров. Длины четырёх дорог указаны на
рисунке. Сколько километров составляет длина оставшейся?

96

Ответ:

17

.

Задача 9.3.2.

Четыре города и пять дорог расположены так, как изображено на рисунке.

Длины всех дорог равны целому числу километров. Длины четырёх дорог указаны на
рисунке. Сколько километров составляет длина оставшейся?

Ответ:

18

.

Задача 9.3.3.

Четыре города и пять дорог расположены так, как изображено на рисунке.

Длины всех дорог равны целому числу километров. Длины четырёх дорог указаны на
рисунке. Сколько километров составляет длина оставшейся?

Ответ:

19

.

Задача 9.3.4.

Четыре города и пять дорог расположены так, как изображено на рисунке.

Длины всех дорог равны целому числу километров. Длины четырёх дорог указаны на
рисунке. Сколько километров составляет длина оставшейся?

97

Ответ:

20

.

Задача 9.4.1.

Простое число

𝑝

таково, что число

𝑝 + 25

является седьмой степенью про-

стого числа. Чему может быть равно

𝑝

? Укажите все возможные варианты.

Ответ:

103

.

Задача 9.4.2.

Простое число

𝑝

таково, что число

𝑝 + 27

является седьмой степенью про-

стого числа. Чему может быть равно

𝑝

? Укажите все возможные варианты.

Ответ:

101

.

Задача 9.4.3.

Простое число

𝑝

таково, что число

𝑝 + 21

является седьмой степенью про-

стого числа. Чему может быть равно

𝑝

? Укажите все возможные варианты.

Ответ:

107

.

Задача 9.4.4.

Простое число

𝑝

таково, что число

𝑝 + 19

является седьмой степенью про-

стого числа. Чему может быть равно

𝑝

? Укажите все возможные варианты.

Ответ:

109

.

Задача 9.5.1.

На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, кото-

рые всегда лгут.

Однажды собрались

80

жителей острова, все они надели на себя футболки с номерами от

1

до

80

(у разных жителей разные номера). Каждый из них сказал одну из двух фраз:

• «Среди собравшихся хотя бы у

5

лжецов номер футболки больше моего».

• «Среди собравшихся хотя бы у

5

лжецов номер футболки меньше моего».

Какое наименьшее количество рыцарей могло быть среди этих

80

жителей?

98

Ответ:

70

.

Задача 9.5.2.

На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, кото-

рые всегда лгут.

Однажды собрались

90

жителей острова, все они надели на себя футболки с номерами от

1

до

90

(у разных жителей разные номера). Каждый из них сказал одну из двух фраз:

• «Среди собравшихся хотя бы у

5

лжецов номер футболки больше моего».

• «Среди собравшихся хотя бы у

5

лжецов номер футболки меньше моего».

Какое наименьшее количество рыцарей могло быть среди этих

90

жителей?

Ответ:

80

.

Задача 9.5.3.

На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, кото-

рые всегда лгут.

Однажды собрались

70

жителей острова, все они надели на себя футболки с номерами от

1

до

70

(у разных жителей разные номера). Каждый из них сказал одну из двух фраз:

• «Среди собравшихся хотя бы у

5

лжецов номер футболки больше моего».

• «Среди собравшихся хотя бы у

5

лжецов номер футболки меньше моего».

Какое наименьшее количество рыцарей могло быть среди этих

70

жителей?

Ответ:

60

.

Задача 9.5.4.

На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, кото-

рые всегда лгут.

Однажды собрались

60

жителей острова, все они надели на себя футболки с номерами от

1

до

60

(у разных жителей разные номера). Каждый из них сказал одну из двух фраз:

• «Среди собравшихся хотя бы у

5

лжецов номер футболки больше моего».

• «Среди собравшихся хотя бы у

5

лжецов номер футболки меньше моего».

Какое наименьшее количество рыцарей могло быть среди этих

60

жителей?

Ответ:

50

.

Задача 9.7.2.

Дан квадратный трёхчлен

𝑃(𝑥)

, старший коэффициент которого равен

1

. На

графике

𝑦 = 𝑃(𝑥)

отметили две точки с абсциссами

20

и

40

. Оказалось, что биссектриса

первой четверти координатной плоскости пересекает отрезок между ними в его середине.
Найдите

𝑃(30)

.

Ответ:

−70

.

Задача 9.7.3.

Дан квадратный трёхчлен

𝑃(𝑥)

, старший коэффициент которого равен

1

. На

графике

𝑦 = 𝑃(𝑥)

отметили две точки с абсциссами

30

и

50

. Оказалось, что биссектриса

первой четверти координатной плоскости пересекает отрезок между ними в его середине.
Найдите

𝑃(40)

.

Ответ:

−60

.

Задача 9.7.4.

Дан квадратный трёхчлен

𝑃(𝑥)

, старший коэффициент которого равен

1

. На

графике

𝑦 = 𝑃(𝑥)

отметили две точки с абсциссами

40

и

60

. Оказалось, что биссектриса

первой четверти координатной плоскости пересекает отрезок между ними в его середине.
Найдите

𝑃(50)

.

Ответ:

−50

.

Задача 9.8.1.

В таблице

8 × 12

некоторые

𝑁

клеток — чёрные, а остальные — белые. За

одну операцию разрешается покрасить три клетки, образующие трёхклеточный уголок, в
белый цвет (некоторые из них ещё до перекрашивания могли быть белыми). Оказалось,
что таблицу невозможно сделать полностью белой менее чем за

25

таких операций. Най-

дите наименьшее возможное значение

𝑁

.

Ответ:

27

.

Задача 9.8.2.

В таблице

8 × 10

некоторые

𝑁

клеток — чёрные, а остальные — белые. За

одну операцию разрешается покрасить три клетки, образующие трёхклеточный уголок, в
белый цвет (некоторые из них ещё до перекрашивания могли быть белыми). Оказалось,
что таблицу невозможно сделать полностью белой менее чем за

21

такую операцию. Най-

дите наименьшее возможное значение

𝑁

.

Ответ:

23

.

Задача 9.8.3.

В таблице

8 × 14

некоторые

𝑁

клеток — чёрные, а остальные — белые. За

одну операцию разрешается покрасить три клетки, образующие трёхклеточный уголок, в
белый цвет (некоторые из них ещё до перекрашивания могли быть белыми). Оказалось,
что таблицу невозможно сделать полностью белой менее чем за

29

таких операций. Най-

дите наименьшее возможное значение

𝑁

.

102

Ответ:

31

.

Задача 9.8.4.

В таблице

6 × 14

некоторые

𝑁

клеток — чёрные, а остальные — белые. За

одну операцию разрешается покрасить три клетки, образующие трёхклеточный уголок, в
белый цвет (некоторые из них ещё до перекрашивания могли быть белыми). Оказалось,
что таблицу невозможно сделать полностью белой менее чем за

22

такие операции. Най-

дите наименьшее возможное значение

𝑁

.

Ответ:

24

.

10 класс

Задача 10.1.1.

Саша уже неделю смотрит все серии интересного сериала подряд. Вчера

Саша посмотрел

9

серий, а сегодня всего

6

. Оказалось, что сумма номеров всех серий, про-

смотренных вчера, равна сумме номеров всех серий, просмотренных сегодня. Какой но-
мер имеет последняя просмотренная Сашей серия? (Серии нумеруются последователь-
ными натуральными числами, начиная с

1

.)

Ответ:

25

.

Задача 10.1.2.

Саша уже неделю смотрит все серии интересного сериала подряд. Вчера

Саша посмотрел

9

серий, а сегодня всего

7

. Оказалось, что сумма номеров всех серий, про-

смотренных вчера, равна сумме номеров всех серий, просмотренных сегодня. Какой но-
мер имеет последняя просмотренная Сашей серия? (Серии нумеруются последователь-
ными натуральными числами, начиная с

1

.)

Ответ:

39

.

Задача 10.1.3.

Саша уже неделю смотрит все серии интересного сериала подряд. Вче-

ра Саша посмотрел

10

серий, а сегодня всего

5

. Оказалось, что сумма номеров всех се-

рий, просмотренных вчера, равна сумме номеров всех серий, просмотренных сегодня.
Какой номер имеет последняя просмотренная Сашей серия? (Серии нумеруются после-
довательными натуральными числами, начиная с

1

.)

Ответ:

17

.

Задача 10.2.1.

В магазине продаются

15

видов шоколада. За неделю Андрей попробовал

6

видов, Борис —

11

, а Денис —

13

. Оказалось, что ни один вид шоколада не продегусти-

ровали все трое. Сколько видов шоколада попробовали и Андрей, и Борис?

Ответ:

2

.

103

Задача 10.2.2.

В магазине продаются

15

видов шоколада. За неделю Андрей попробовал

7

видов, Борис —

11

, а Денис —

12

. Оказалось, что ни один вид шоколада не продегусти-

ровали все трое. Сколько видов шоколада попробовали и Андрей, и Борис?

Ответ:

3

.

Задача 10.2.3.

В магазине продаются

16

видов шоколада. За неделю Андрей попробовал

9

видов, Борис —

11

, а Денис —

12

. Оказалось, что ни один вид шоколада не продегусти-

ровали все трое. Сколько видов шоколада попробовали и Андрей, и Борис?

Ответ:

4

.

Задача 10.2.4.

В магазине продаются

15

видов шоколада. За неделю Андрей попробовал

7

видов, Борис —

10

, а Денис —

13

. Оказалось, что ни один вид шоколада не продегусти-

ровали все трое. Сколько видов шоколада попробовали и Андрей, и Денис?

Ответ:

5

.

Задача 10.3.1.

Дан прямоугольник

7 × 10

. Чему равна площадь закрашенной фигуры?

Ответ:

8,5

.

Задача 10.3.2.

Дан прямоугольник

8 × 11

. Чему равна площадь закрашенной фигуры?

104

Ответ:

9,5

.

Задача 10.3.3.

Дан прямоугольник

9 × 12

. Чему равна площадь закрашенной фигуры?

Ответ:

10,5

.

Задача 10.3.4.

Дан прямоугольник

10 × 13

. Чему равна площадь, заштрихованная на кар-

тинке?

105

Ответ:

151

.

Задача 10.5.1.

Сумма трёх различных натуральных делителей нечётного натурального

числа

𝑛

равна

10327

. Какое наименьшее значение может принимать

𝑛

?

Ответ:

6735

.

Задача 10.5.2.

Сумма трёх различных натуральных делителей нечётного натурального

числа

𝑛

равна

10373

. Какое наименьшее значение может принимать

𝑛

?

Ответ:

6765

.

Задача 10.5.3.

Сумма трёх различных натуральных делителей нечётного натурального

числа

𝑛

равна

10281

. Какое наименьшее значение может принимать

𝑛

?

Ответ:

6705

.

Задача 10.5.4.

Сумма трёх различных натуральных делителей нечётного натурального

числа

𝑛

равна

10419

. Какое наименьшее значение может принимать

𝑛

?

Ответ:

6795

.

Задача 10.6.1.

На плоскости дана точка

𝑃

. Какое наименьшее количество прямых, не

проходящих через точку

𝑃

, можно провести на плоскости так, чтобы любой луч с нача-

лом в точке

𝑃

пересекал хотя бы

170

выбранных прямых?

Ответ:

341

.

Задача 10.6.2.

На плоскости дана точка

𝑃

. Какое наименьшее количество прямых, не

проходящих через точку

𝑃

, можно провести на плоскости так, чтобы любой луч с нача-

лом в точке

𝑃

пересекал хотя бы

160

выбранных прямых?

Ответ:

321

.

Задача 10.6.3.

На плоскости дана точка

𝑃

. Какое наименьшее количество прямых, не

проходящих через точку

𝑃

, можно провести на плоскости так, чтобы любой луч с нача-

лом в точке

𝑃

пересекал хотя бы

180

выбранных прямых?

Ответ:

361

.

Задача 10.6.4.

На плоскости дана точка

𝑃

. Какое наименьшее количество прямых, не

проходящих через точку

𝑃

, можно провести на плоскости так, чтобы любой луч с нача-

лом в точке

𝑃

пересекал хотя бы

190

выбранных прямых?

107

Ответ:

560

.

11 класс

Задача 11.1.1.

Маша живёт в квартире

№290

, которая находится в

4

-м подъезде

17

-этажного

дома. На каком этаже живёт Маша? (Количество квартир одинаково во всех подъездах до-
ма на всех

17

этажах; номера квартир начинаются с

1

.)

Ответ:

7

.

Задача 11.1.2.

Маша живёт в квартире

№285

, которая находится в

4

-м подъезде

17

-этажного

дома. На каком этаже живёт Маша? (Количество квартир одинаково во всех подъездах до-
ма на всех

17

этажах; номера квартир начинаются с

1

.)

Ответ:

6

.

Задача 11.1.3.

Маша живёт в квартире

№295

, которая находится в

4

-м подъезде

17

-этажного

дома. На каком этаже живёт Маша? (Количество квартир одинаково во всех подъездах до-
ма на всех

17

этажах; номера квартир начинаются с

1

.)

Ответ:

8

.

Задача 11.1.4.

Маша живёт в квартире

№280

, которая находится в

4

-м подъезде

17

-этажного

дома. На каком этаже живёт Маша? (Количество квартир одинаково во всех подъездах до-
ма на всех

17

этажах; номера квартир начинаются с

1

.)

Ответ:

5

.

Задача 11.2.1.

На столе лежат

30

монет:

23

десятирублёвых и

7

пятирублёвых, причём

20

из этих монет лежат вверх орлом, а остальные

10

 — решкой. При каком наименьшем

𝑘

среди произвольно выбранных

𝑘

монет обязательно найдётся десятирублёвая монета,

лежащая орлом вверх?

Ответ:

18

.

Задача 11.2.2.

На столе лежат

30

монет:

24

десятирублёвых и

6

пятирублёвых, причём

20

из этих монет лежат вверх орлом, а остальные

10

 — решкой. При каком наименьшем

𝑘

среди произвольно выбранных

𝑘

монет обязательно найдётся десятирублёвая монета,

лежащая орлом вверх?

Ответ:

17

.

110

Задача 11.2.3.

На столе лежат

30

монет:

24

десятирублёвых и

6

пятирублёвых, причём

21

из этих монет лежат вверх орлом, а остальные

9

 — решкой. При каком наименьшем

𝑘

среди произвольно выбранных

𝑘

монет обязательно найдётся десятирублёвая монета,

лежащая орлом вверх?

Ответ:

16

.

Задача 11.2.4.

На столе лежат

30

монет:

22

десятирублёвых и

8

пятирублёвых, причём

20

из этих монет лежат вверх орлом, а остальные

10

 — решкой. При каком наименьшем

𝑘

среди произвольно выбранных

𝑘

монет обязательно найдётся десятирублёвая монета,

лежащая орлом вверх?

Ответ:

19

.

Задача 11.3.1.

Произведение положительных чисел

𝑎

и

𝑏

равно

1

. Известно, что

(3𝑎 + 2𝑏)(3𝑏 + 2𝑎) = 295.

Найдите

𝑎 + 𝑏

.

Ответ:

7

.

Задача 11.3.2.

Произведение положительных чисел

𝑎

и

𝑏

равно

1

. Известно, что

(3𝑎 + 2𝑏)(3𝑏 + 2𝑎) = 217.

Найдите

𝑎 + 𝑏

.

Ответ:

6

.

Задача 11.3.3.

Произведение положительных чисел

𝑎

и

𝑏

равно

1

. Известно, что

(3𝑎 + 2𝑏)(3𝑏 + 2𝑎) = 385.

Найдите

𝑎 + 𝑏

.

Ответ:

8

.

Задача 11.3.4.

Произведение положительных чисел

𝑎

и

𝑏

равно

1

. Известно, что

(3𝑎 + 2𝑏)(3𝑏 + 2𝑎) = 487.

Найдите

𝑎 + 𝑏

.

Ответ:

9

.

111

Ответ:

 

28

.

Ответ:

29

.

Задача 11.5.1.

При каком наименьшем натуральном

𝑛

можно расставить числа от

1

до

𝑛

по кругу так, чтобы каждое число было либо больше всех

40

следующих за ним по часовой

стрелке, либо меньше всех

30

следующих за ним по часовой стрелке?

Ответ:

70

.

Задача 11.5.2.

При каком наименьшем натуральном

𝑛

можно расставить числа от

1

до

𝑛

по кругу так, чтобы каждое число было либо больше всех

40

следующих за ним по часовой

стрелке, либо меньше всех

20

следующих за ним по часовой стрелке?

Ответ:

60

.

Задача 11.5.3.

При каком наименьшем натуральном

𝑛

можно расставить числа от

1

до

𝑛

по кругу так, чтобы каждое число было либо больше всех

50

следующих за ним по часовой

стрелке, либо меньше всех

30

следующих за ним по часовой стрелке?

Ответ:

80

.

Задача 11.5.4.

При каком наименьшем натуральном

𝑛

можно расставить числа от

1

до

𝑛

по кругу так, чтобы каждое число было либо больше всех

50

следующих за ним по часовой

стрелке, либо меньше всех

40

следующих за ним по часовой стрелке?

Ответ:

90

.

113

Задача 11.6.1.

У многочлена

𝑃(𝑥)

все коэффициенты — целые неотрицательные числа.

Известно, что

𝑃(1) = 4

и

𝑃(5) = 152

. Чему равно

𝑃(11)?

Ответ:

1454

.

Задача 11.6.2.

У многочлена

𝑃(𝑥)

все коэффициенты — целые неотрицательные числа.

Известно, что

𝑃(1) = 4

и

𝑃(5) = 152

. Чему равно

𝑃(12)?

Ответ:

1874

.

Задача 11.6.3.

У многочлена

𝑃(𝑥)

все коэффициенты — целые неотрицательные числа.

Известно, что

𝑃(1) = 4

и

𝑃(5) = 152

. Чему равно

𝑃(9)?

Ответ:

812

.

Задача 11.6.4.

У многочлена

𝑃(𝑥)

все коэффициенты — целые неотрицательные числа.

Известно, что

𝑃(1) = 4

и

𝑃(5) = 152

. Чему равно

𝑃(8)?

Ответ:

578

.

Задача 11.7.1.

Центры шести сфер радиуса

1

расположены в вершинах правильного ше-

стиугольника со стороной

2

. Эти сферы внутренним образом касаются большой сферы

𝑆

с центром в центре шестиугольника. Сфера

𝑃

касается шести сфер внешним образом и

сферы

𝑆

внутренним образом. Чему равен радиус сферы

𝑃

?

Ответ:

1,5

.

Задача 11.7.2.

Центры шести сфер радиуса

3

расположены в вершинах правильного ше-

стиугольника со стороной

6

. Эти сферы внутренним образом касаются большой сферы

𝑆

с центром в центре шестиугольника. Сфера

𝑃

касается шести сфер внешним образом и

сферы

𝑆

внутренним образом. Чему равен радиус сферы

𝑃

?

Ответ:

4,5

.

Задача 11.8.1.

В таблице

28 × 35

некоторые

𝑘

клеток покрашены в красный цвет, ещё

𝑟

 —

в розовый, а оставшиеся

𝑠

 — в синий. Известно, что

•

𝑘

 >= 

𝑟

>= 

𝑠

;

• у каждой граничной клетки есть хотя бы

2

соседа такого же цвета;

• у каждой неграничной клетки есть хотя бы

3

соседа такого же цвета.

Какое наименьшее значение может принимать величина

𝑘 − 𝑠

?

(Клетка называется граничной, если она примыкает к границе таблицы.)

114

Ответ:

28

.

Задача 11.8.2.

В таблице

29 × 35

некоторые

𝑘

клеток покрашены в красный цвет, ещё

𝑟

 —

в розовый, а оставшиеся

𝑠

 — в синий. Известно, что

•

𝑘 ⩾ 𝑟 ⩾ 𝑠

;

• у каждой граничной клетки есть хотя бы

2

соседа такого же цвета;

• у каждой неграничной клетки есть хотя бы

3

соседа такого же цвета.

Какое наименьшее значение может принимать величина

𝑘 − 𝑠

?

(Клетка называется граничной, если она примыкает к границе таблицы.)

Ответ:

29

.

Задача 11.8.3.

В таблице

25 × 35

некоторые

𝑘

клеток покрашены в красный цвет, ещё

𝑟

 —

в розовый, а оставшиеся

𝑠

 — в синий. Известно, что

•

𝑘 ⩾ 𝑟 ⩾ 𝑠

;

• у каждой граничной клетки есть хотя бы

2

соседа такого же цвета;

• у каждой неграничной клетки есть хотя бы

3

соседа такого же цвета.

Какое наименьшее значение может принимать величина

𝑘 − 𝑠

?

(Клетка называется граничной, если она примыкает к границе таблицы.)

Ответ:

25

.

Задача 11.8.4.

В таблице

26 × 35

некоторые

𝑘

клеток покрашены в красный цвет, ещё

𝑟

 —

в розовый, а оставшиеся

𝑠

 — в синий. Известно, что

•

𝑘 ⩾ 𝑟 ⩾ 𝑠

;

• у каждой граничной клетки есть хотя бы

2

соседа такого же цвета;

• у каждой неграничной клетки есть хотя бы

3

соседа такого же цвета.

Какое наименьшее значение может принимать величина

𝑘 − 𝑠

?

(Клетка называется граничной, если она примыкает к границе таблицы.)

Ответ:

26

.

115

7 класс

Задача 7.1.

Внутри большого квадрата находится маленький квадрат, соответственные

стороны этих квадратов параллельны. Расстояния между некоторыми сторонами квадра-
тов отмечены на рисунке. На сколько периметр большого квадрата больше, чем периметр
маленького?

3

2

6

Ответ:

32

.

Решение.

Пусть сторона маленького квадрата равна

𝑥

, тогда сторона большого квадрата,

если считать по горизонтали, равна

2 + 𝑥 + 6 = 𝑥 + 8

. Периметр квадрата в четыре раза

больше его стороны, так что отсюда нетрудно вычислить разность периметров:

4(𝑥 + 8) − 4𝑥 = 32.

Задача 7.2.

Каждое из натуральных чисел

1, 2, 3, … , 377

покрашено либо в красный, ли-

бо в синий цвет (оба цвета присутствуют). Известно, что количество красных чисел рав-
но наименьшему красному числу, а количество синих чисел равно наибольшему синему
числу. Чему равно наименьшее красное число?

Ответ:

189

.

Решение.

Пусть

𝑁

— наибольшее синее число. Тогда в синий цвет могут быть покраше-

ны только числа от

1

до

𝑁

. Поскольку синих чисел всего

𝑁

, получаем, что все числа от

1

до

𝑁

— синие. Соответственно, все числа от

𝑁+1

до

377

— красные. Поскольку количество

красных чисел равно наименьшему красному числу, получаем уравнение

𝑁 +1 = 377−𝑁

,

из которого находим

𝑁 = 188

. Значит, наименьшее красное число — это

189

.

Задача 7.3.

Крош и Ёжик решили проверить, кто из них быстрее добежит по прямой до-

роге от домика Копатыча до домика Лосяша. Когда Крош пробежал

20

метров, Ёжик про-

бежал всего

16

метров. А когда Крошу оставалось

30

метров, Ёжику оставалось

60

метров.

Сколько метров составляет длина дороги от домика Копатыча до домика Лосяша? (Крош
и Ёжик выбежали одновременно, каждый из них бежал со своей постоянной скоростью.)

Ответ:

180

.

2

Решение.

Когда Крош пробежал

20

метров, Ёжик пробежал всего

16

метров, поэтому их

скорости относятся как

5 ∶ 4

.

Когда Крошу оставалось пробежать

30

метров, пусть он уже пробежал

5𝑥

метров (

𝑥

—

не обязательно целое число). Тогда к этому моменту Ёжик пробежал

4𝑥

метров. Значит,

общая длина всей дороги в метрах с одной стороны равна

5𝑥 + 30

, а с другой стороны —

4𝑥 + 60

. Получаем уравнение

5𝑥 + 30 = 4𝑥 + 60

, из которого находим

𝑥 = 30

.

Следовательно, искомая длина составляет

5 ⋅ 30 + 30 = 180

метров.

Задача 7.4.

Рассмотрим семизначные натуральные числа, в десятичной записи которых

каждая из цифр

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

встречается ровно один раз.

(а)

(1 балл)

У скольких из них цифры с первой по шестую расположены в порядке воз-

растания, а с шестой по седьмую — в порядке убывания?

(б)

(3 балла)

У скольких из них цифры с первой по пятую расположены в порядке воз-

растания, а с пятой по седьмую — в порядке убывания?

Ответ:

(а)

6

.

(б)

15

.

Решение.

(а)

Из условия следует, что шестая цифра — самая большая, поэтому она рав-

на

7

. В качестве последней цифры можно выбрать любую цифру от

1

до

6

, и это однознач-

но определит всё число (ведь первые пять цифр должны быть упорядочены по возраста-
нию). Значит, таких семизначных чисел ровно

6

.

(б)

Из условия следует, что пятая цифра — самая большая, поэтому она равна

7

. В ка-

честве двух последних цифр можно выбрать две различные цифры от

1

до

6

, и это одно-

значно определит всё число (ведь первые четыре цифры должны быть упорядочены по
возрастанию). Также шестая цифра должна быть больше седьмой, поэтому возможных
пар последних цифр ровно

15

:

Задача 7.5.

В лесу живут эльфы и гномы. Однажды

60

жителей этого леса встали в ряд

лицом в одну сторону, в этот момент некоторые из них могли быть в колпаках. (Эльфов
могло быть от

0

до

60

включительно, жителей в колпаках тоже могло быть от

0

до

60

вклю-

чительно.)

Каждый из

60

жителей сказал одну из следующих фраз:

• «Мой сосед справа — эльф».

• «Мой сосед справа — в колпаке».

3

Известно, что эльфы без колпаков всегда говорят правду, а эльфы в колпаках всегда лгут.
У гномов всё наоборот: гномы без колпаков всегда лгут, а гномы в колпаках всегда говорят
правду.

(а)

(2 балла)

Какое наибольшее количество эльфов без колпаков могло быть в ряду?

(б)

(2 балла)

Какое наибольшее количество эльфов в колпаках могло быть в ряду?

Ответ:

(а)

59

.

(б)

30

.

Решение.

(а)

Заметим, что самый правый житель не может говорить правду, ведь правее

него никого нет. Это значит, что он не может быть эльфом без колпака, поэтому всего
эльфов без колпаков не более

59

.

Теперь приведём пример ситуации, когда эльфов без колпаков ровно

59

. Пусть самый

правый житель — это эльф в колпаке, а остальные

59

— это эльфы без колпака. Пусть

все говорят фразу «Мой сосед справа — эльф». Тогда эльфы без колпаков говорят правду,
а эльф в колпаке лжёт.

(б)

Заметим, что среди любых двух соседей не может быть двух эльфов в колпаках. Дей-

ствительно, если это так, то левый из них точно сказал бы правду. Но такого не может
быть, ведь эльфы в колпаках всегда лгут.

Разобьём всех жителей на

30

пар соседей. В каждой из этих пар не больше одного эльфа

в колпаке, поэтому всего эльфов в колпаках не больше

30

.

Теперь приведём пример ситуации, когда эльфов в колпаках ровно

30

. Пусть чередуют-

ся гномы в колпаках и эльфы в колпаках, причём самый левый житель — гном. Пусть
все говорят фразу «Мой сосед справа — эльф». Тогда гномы в колпаках говорят правду,
а эльфы в колпаках лгут.

Задача 7.6.

На плоскости отметили точки

𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸

так, что треугольники

𝐴𝐵𝐶

и

𝐴𝐷𝐸

равны:

𝐴𝐵 = 𝐴𝐷, 𝐴𝐶 = 𝐴𝐸, 𝐵𝐶 = 𝐷𝐸

. Затем с чертежа стёрли точку

𝐸

и подписи точек

𝐵, 𝐶

и

𝐷

.

4

5

10

5

10

0

𝐴

Пусть точка

𝐸

имела координаты

(𝑥; 𝑦)

.

(а)

(1 балл)

Укажите любое возможное значение величины

𝑥𝑦

.

(б)

(3 балла)

Укажите все возможные значения величины

𝑥𝑦

.

Ответ:

(а)

любое из чисел

14

,

18

,

40

.

(б)

14

,

18

,

40

.

Решение.

Из условия

𝐴𝐵 = 𝐴𝐷

следует, что

𝐵

и

𝐷

— это две самые правые отмеченные

точки (в неизвестном порядке). Оставшаяся неподписанная точка — это

𝐶

.

Случай 1.

Пусть точка

𝐵

находится сверху, а точка

𝐷

— снизу (рис.

1а

). Ясно, что для точки

𝐸

есть два варианта:

• точка

𝐸

1

с координатами

(8; 5)

;

• точка

𝐸

2

с координатами

(6; 3)

.

Случай 2.

Пусть точка

𝐵

находится внизу, а точка

𝐷

— сверху. Ясно, что для точки

𝐸

есть

два варианта:

• точка

𝐸

3

с координатами

(2; 7)

;

• точка

𝐸

4

с координатами

(6; 3)

.

Осталось лишь заметить, что точки

𝐸

1

и

𝐸

4

совпадают, поэтому есть ровно три возмож-

ных расположения точки

𝐸

, а именно

(2; 7)

,

(6; 3)

и

(8; 5)

. Соответственно, произведение

координат точки

𝐸

может принимать ровно три значения:

14

,

18

и

40

.

Задача 7.7.

На какое наибольшее количество групп можно разбить числа

1, 2, 3, … , 100

так, чтобы сумма чисел в каждой группе была простым числом? (Каждое число должно
войти ровно в одну группу. Каждая группа должна состоять из одного или нескольких
чисел.)

5

Рис.

 

1:

 

к

 

решению

 

задачи

 

7.6

Ответ:

51

.

Решение.

Заметим, что если в какой-то группе все числа чётные, то и сумма чисел в ней

тоже чётная. Как известно, единственное простое чётное число — это

2

. Значит, полу-

чить группу, состоящую только из чётных чисел, сумма которых является простым чис-
лом, можно единственным способом: взять в неё только число

2

. В каждую из остальных

групп придётся брать хотя бы одно нечётное число, поэтому таких групп не более

50

. Ито-

го получаем, что групп не более

51

.

Теперь приведём пример разбиения на

51

группу. Для всех

𝑘

от

1

до

50

, кроме

𝑘 = 2

и

𝑘 = 4

, возьмём в группу с номером

𝑘

два числа

𝑘

и

101 − 𝑘

, которые в сумме дают простое

число

101

.

В группу

№ 2

возьмём только число

2

.

В группу

№ 4

возьмём числа

4

и

99

, их сумма равна простому числу

103

.

В группу

№ 51

возьмём только число

97

, которое является простым.

Итого мы получили

51

группу, сумма чисел в каждой из которых — простое число.

Задача 7.8.

Клетки таблицы

50 × 50

раскрашены в

𝑛

цветов так, что для любой клетки в

объединении её строки и столбца встречаются клетки всех

𝑛

цветов. Найдите наибольшее

возможное количество клеток синего цвета, если

(а)

(1 балл)

𝑛 = 2

;

(б)

(3 балла)

𝑛 = 25

.

Ответ:

(а)

2450

.

(б)

1300

.

6

Решение.

Докажем, что клеток любого цвета

𝐴

, встречающегося в раскраске, не меньше

50

. Предположим, это не так, и клеток цвета

𝐴

не больше

49

. Тогда найдётся строка без

клеток цвета

𝐴

, а также найдётся столбец без клеток цвета

𝐴

. Но тогда для клетки в пере-

сечении этих строки и столбца условие не выполняется, противоречие. Следовательно,
клеток любого цвета

𝐴

не меньше

50

.

(а)

Поскольку клеток не синего цвета не меньше

50

, то клеток синего цвета не больше

50 ⋅ 50 − 50 = 2450

. Ровно

2450

клеток синего цвета может быть, например, если в нижней

строке все клетки — красные, а все остальные клетки таблицы — синие.

(б)

Поскольку клеток любого не синего цвета не меньше

50

, то клеток синего цвета не

больше

50 ⋅ 50 − 24 ⋅ 50 = 1300

. Ровно

1300

клеток синего цвета может быть, например,

если в первых

26

строках таблицы все клетки — синие, а каждая из остальных

24

строк

состоит из клеток какого-то одного цвета, причём цвета этих

24

строк различны.

7