ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 100

Задание №3877

Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 150°. Найдите число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=150

180*n – 360 = 150 * n

n=12

Ответ: 12

Задание №1859

У равнобедренного прямоугольного треугольника катеты равны 70+35√2 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=35

Ответ: 35

Задание №3227

Площадь параллелограмма ABCD равна 142. Середина стороны CD - точка E. Найдите площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=35,5

Ответ: 35,5

Задание №3054

У трапеции, описанной около окружности, периметр равен 83. Вычислите длину средней линии трапеции

Решение

Периметр - сумма сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 83 / 4 = 20,75

Ответ: 20,75

Задание №2705

Основания равнобедренной трапеции равны 30 и 48. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Вычислите высоту трапеции

Решение

Сделаем построение, проведем высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=20

HO=7

Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=20+7=27

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 27

Задание №3537

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 126. Точка E – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=94,5

Ответ: 94,5

Задание №5214

Основания равнобедренной трапеции равны 18 и 54. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=30

Ответ: 30

Задание №1078

В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB= 23, BC=5, CD=43. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=23+43-5=61

Ответ: 61

Задание №5490

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 119. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=59,5

Ответ: 59,5

Задание №5765

Площадь треугольника АВС равна 122. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Рассчитайте площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=91,5

Ответ: 91,5

Задание №1279

У трапеции, описанной около окружности, боковые стороны равны 17 и 28 . Рассчитайте среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 45 / 2 = 22,5

Ответ: 22,5

Задание №2870

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 52 и 18, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=18

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=140+36=176

Ответ: 176

Задание №3780

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона AB= 80, CD= 73 . Вычислите периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 306

Ответ: 306

Задание №2789

У прямоугольной трапеции, описанной около окружности, периметр равен 73, большая боковая сторона равна 28 . Вычислите радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 4,25

Ответ: 4,25

Задание №1005

Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, периметр = 340, стророна AB= 83 . Рассчитайте длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=87

Ответ: 87

Задание №2982

Дан треугольник ABC. Стороны AC=24, BC=45, угол C равен 90° . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=9

Ответ: 9

Задание №1589

Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 372. Рассчитайте диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому:

AB / 6 = P / 6 =372 / 6 = 62

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*62=124

Ответ: 124

Задание №1291

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 28° и 106°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов

угол противоположный углу 28 градусов равен 180-28=152 градусов

угол противоположный углу 106 градусов равен 180-106=74 градусов

Больший из неизвестных углов 152 градусов

Ответ: 152

Задание №5876

Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 15, основание равно 18 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=108

Подствавим значения и найдём полупериметр P=24

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=108/24=4,5

Ответ: 4,5

Задание №4694

Окружность вписана в треугольник ABC, к ней проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 19, 47, 66. Вычислите периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=19+47+66=132

Ответ: 132

содержание .. 98 99 100