содержание .. 77 78 79 80 ..
ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 79
Задание №1408
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона AB= 88, CD= 77 . Вычислите периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 330 Ответ: 330
Задание №4257
Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 126, большая боковая сторона трапеции равна 61 . Вычислите радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 1 Ответ: 1
Задание №1737
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 18, 46, 64. Найдите периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=18+46+64=128 Ответ: 128
Задание №3413
Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 25, BC=7, CD=52. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=25+52-7=70 Ответ: 70
Задание №5652
Дан треугольник ABC. Стороны AC=80, BC=84, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=24 Ответ: 24
Задание №2012
Площадь параллелограмма ABCD равна 141. Середина стороны BC - точка E. Рассчитайте площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=105,75 Ответ: 105,75
Задание №5167
Периметр правильного шестиугольника равен 270. Найдите диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =270 / 6 = 45 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*45=90 Ответ: 90
Задание №5080
Основания равнобедренной трапеции равны 12 и 48. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=30 Ответ: 30
Задание №3263
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 30+15√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=15 Ответ: 15
Задание №2337
Дан треугольник АВС. Его площадь равна 124. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Рассчитайте площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=93 Ответ: 93
Задание №1928
У трапеции, описанной около окружности, периметр равен 96. Найдите длину средней линии трапеции
Решение
Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 96 / 4 = 24 Ответ: 24
Задание №1262
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 24 и 9, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=9 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=66+18=84 Ответ: 84
Задание №1902
Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 28 и 40 . Вычислите среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 68 / 2 = 34 Ответ: 34
Задание №4572
Площадь параллелограмма ABCD равна 147. Середины его сторон - это вершины параллелаграмма A′B′C′D′. Рассчитайте площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=73,5 Ответ: 73,5
Задание №3698
Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 34° и 139°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея) угол противоположный углу 34 градусов равен 180-34=146 градусов угол противоположный углу 139 градусов равен 180-139=41 градусов Больший из неизвестных углов 146 градусов Ответ: 146
Задание №3048
Угол между соседними двумя сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 156°. Вычислите число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=156 180*n – 360 = 156 * n n=15 Ответ: 15
Задание №5876
Площадь параллелограмма ABCD равна 140. Середина стороны CD - точка E. Найдите площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=35 Ответ: 35
Задание №1799
Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 95, основание равно 114 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=4332 Подствавим значения и найдём полупериметр P=152 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=4332/152=28,5
Ответ: 28,5
Задание №3463
Основания равнобедренной трапеции равны 30 и 14. Радиус описанной окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции
Решение
Сделаем построение, проведем высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=24 HO=20 Отсюда следует, высота трапеции равна KH=KO+HO=24+20=44 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 44
Задание №1070
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона AB= 72, периметр P= 309 . Рассчитайте длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=82,5 Ответ: 82,5
содержание .. 77 78 79 80 ..