содержание .. 63 64 65 66 ..
ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 65
Задание №4100
Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 156°. Рассчитайте число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=156 180*n – 360 = 156 * n n=15 Ответ: 15
Задание №3562
В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB= 35, BC=10, CD=71. Найдите четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=35+71-10=96 Ответ: 96
Задание №1115
Дан треугольник АВС. Его площадь равна 133. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Рассчитайте площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=99,75 Ответ: 99,75
Задание №4969
У прямоугольной трапеции, описанной около окружности, периметр равен 52, большая боковая сторона равна 20 . Найдите радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 3 Ответ: 3
Задание №1482
У трапеции, описанной около окружности, боковые стороны равны 43 и 55 . Найдите среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 98 / 2 = 49 Ответ: 49
Задание №4528
Дана равнобедренненная трапеция. Её основания равны 12 и 6. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Рассчитайте боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=5 Ответ: 5
Задание №1481
Дан треугольник ABC. Стороны AC=27, BC=120, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=12 Ответ: 12
Задание №1537
Площадь параллелограмма ABCD равна 133. Точка E – середина стороны CD. Рассчитайте площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=33,25 Ответ: 33,25
Задание №1772
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, периметр = 132, стророна AB= 31 . Найдите длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=35 Ответ: 35
Задание №1666
В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 60, основание равно 72 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=1728 Подствавим значения и найдём полупериметр P=96 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=1728/96=18
Ответ: 18
Задание №5516
Основания равнобедренной трапеции равны 40 и 14. Радиус описанной окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции
Решение
Построим высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=24 HO=15 Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=24+15=39 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 39
Задание №4470
У трапеции, описанной около окружности, периметр равен 97. Рассчитайте длину средней линии трапеции
Решение
Периметр - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 97 / 4 = 24,25 Ответ: 24,25
Задание №1520
Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 414. Найдите диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =414 / 6 = 69 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*69=138 Ответ: 138
Задание №2897
Дан равнобедренный треугольник. Окружность, вписанная в треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 49 и 15, считая от вершины, противолежащей основанию. Вычислите периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=15 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=128+30=158 Ответ: 158
Задание №1645
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 132. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=66 Ответ: 66
Задание №2868
Дана окружность, вписанная в треугольник ABC, к которой проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 19, 48, 68. Рассчитайте периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=19+48+68=135 Ответ: 135
Задание №2851
Площадь параллелограмма ABCD равна 135. Середина стороны BC - точка E. Вычислите площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=101,25 Ответ: 101,25
Задание №2585
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 94+47√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=47 Ответ: 47
Задание №5625
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона AB= 51, CD= 36 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 174 Ответ: 174
Задание №1378
Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 48° и 90°. Рассчитайте больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея) угол противоположный углу 48 градусов равен 180-48=132 градусов угол противоположный углу 90 градусов равен 180-90=90 градусов Больший из неизвестных углов 132 градусов Ответ: 132
содержание .. 63 64 65 66 ..