ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 61

Задание №5740

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 76. Найдите длину средней линии трапеции

Решение

Периметр - сумма сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 76 / 4 = 19

Ответ: 19

Задание №1192

Основания равнобедренной трапеции равны 24 и 32. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 20. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции

Решение

Построим высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=16

HO=12

Значит, высота трапеции равна KH=KO+HO=16+12=28

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 28

Задание №4701

Угол между соседними двумя сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 60°. Вычислите число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=60

180*n – 360 = 60 * n

n=3

Ответ: 3

Задание №3282

Площадь параллелограмма ABCD равна 137. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=68,5

Ответ: 68,5

Задание №5267

Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 10+5√2 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=5

Ответ: 5

Задание №5632

Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 117, большая боковая сторона трапеции равна 56 . Рассчитайте радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 1,25

Ответ: 1,25

Задание №1851

Дан треугольник ABC. Стороны AC=48, BC=140, угол C равен 90° . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=20

Ответ: 20

Задание №3401

Дан треугольник АВС. Его площадь равна 124. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Рассчитайте площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=93

Ответ: 93

Задание №4184

Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 18, BC=3, CD=28. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=18+28-3=43

Ответ: 43

Задание №5474

Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 28° и 128°. Рассчитайте больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов

угол противоположный углу 28 градусов равен 180-28=152 градусов

угол противоположный углу 128 градусов равен 180-128=52 градусов

Больший из неизвестных углов 152 градусов

Ответ: 152

Задание №1792

Дана равнобедренненная трапеция. Её основания равны 162 и 54. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=90

Ответ: 90

Задание №4882

Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 228. Вычислите диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, значит:

AB / 6 = P / 6 =228 / 6 = 38

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*38=76

Ответ: 76

Задание №5211

Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона CD= 92, AB= 98 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 380

Ответ: 380

Задание №2279

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, периметр = 219, стророна AB= 50 . Вычислите длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=59,5

Ответ: 59,5

Задание №1157

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 135, основание равно 162 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=8748

Подствавим значения и найдём полупериметр P=216

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=8748/216=40,5

Ответ: 40,5

Задание №5200

У трапеции, описанной около окружности, боковые стороны равны 16 и 25 . Вычислите среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 41 / 2 = 20,5

Ответ: 20,5

Задание №1603

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 45 и 20, считая от вершины, противолежащей основанию. Вычислите периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=20

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=130+40=170

Ответ: 170

Задание №3233

Площадь параллелограмма ABCD равна 144. Середина стороны BC - точка E. Рассчитайте площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=108

Ответ: 108

Задание №2036

К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 24, 61, 81. Вычислите периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=24+61+81=166

Ответ: 166

Задание №5370

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 122. Точка E – середина стороны CD. Вычислите площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=30,5

Ответ: 30,5

содержание .. 59 60 61 62 ..