ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 47

Задание №5376

Основания равнобедренной трапеции равны 24 и 18. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 15. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции

Решение

Проведем высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=12

HO=9

Значит, высота трапеции равна KH=KO+HO=12+9=21

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 21

Задание №4443

В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB= 42, BC=11, CD=83. Вычислите четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=42+83-11=114

Ответ: 114

Задание №3760

Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 498. Рассчитайте диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, поэтому:

AB / 6 = P / 6 =498 / 6 = 83

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*83=166

Ответ: 166

Задание №1574

Дана трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 92. Вычислите длину средней линии трапеции

Решение

Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 92 / 4 = 23

Ответ: 23

Задание №3611

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 128. Точка E – середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=32

Ответ: 32

Задание №2684

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, периметр = 163, стророна AB= 38 . Найдите длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=43,5

Ответ: 43,5

Задание №4503

Площадь параллелограмма ABCD равна 154. Середины его сторон - это вершины параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=77

Ответ: 77

Задание №3956

Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 134, большая боковая сторона равна 61 . Найдите радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 3

Ответ: 3

Задание №4611

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 131. Точка E – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=98,25

Ответ: 98,25

Задание №2084

Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 40+20√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=20

Ответ: 20

Задание №1860

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 44 и 35. Найдите среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 79 / 2 = 39,5

Ответ: 39,5

Задание №1587

Дан треугольник ABC. Стороны AC=9, BC=12, угол C равен 90° . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=3

Ответ: 3

Задание №1165

Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 130, основание равно 156 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=8112

Подствавим значения и найдём полупериметр P=208

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=8112/208=39

Ответ: 39

Задание №2337

Окружность вписана в треугольник ABC, к ней проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 18, 53, 62. Вычислите периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=18+53+62=133

Ответ: 133

Задание №1672

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона AB= 66, CD= 52 . Вычислите периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 236

Ответ: 236

Задание №3618

Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 47° и 111°. Рассчитайте больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов

угол противоположный углу 47 градусов равен 180-47=133 градусов

угол противоположный углу 111 градусов равен 180-111=69 градусов

Больший из неизвестных углов 133 градусов

Ответ: 133

Задание №3589

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 24 и 6, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=6

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=60+12=72

Ответ: 72

Задание №4583

Основания равнобедренной трапеции равны 84 и 42. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=35

Ответ: 35

Задание №4424

Площадь треугольника АВС равна 148. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=111

Ответ: 111

Задание №1811

Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 140°. Найдите число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=140

180*n – 360 = 140 * n

n=9

Ответ: 9

содержание .. 45 46 47 48 ..