ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 43

Задание №4980

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 136. Точка E – середина стороны CD. Вычислите площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=34

Ответ: 34

Задание №3410

Основания равнобедренной трапеции равны 12 и 72. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Рассчитайте боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=50

Ответ: 50

Задание №3152

Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 4+2√2 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=2

Ответ: 2

Задание №4474

Площадь параллелограмма ABCD равна 132. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Вычислите площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=66

Ответ: 66

Задание №5890

Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 43° и 99°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов

угол противоположный углу 43 градусов равен 180-43=137 градусов

угол противоположный углу 99 градусов равен 180-99=81 градусов

Больший из неизвестных углов 137 градусов

Ответ: 137

Задание №2182

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 102. Рассчитайте длину средней линии трапеции

Решение

Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 102 / 4 = 25,5

Ответ: 25,5

Задание №5844

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона AB= 58, периметр P= 241 . Рассчитайте длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=62,5

Ответ: 62,5

Задание №3414

Площадь параллелограмма ABCD равна 130. Точка E – середина стороны BC. Рассчитайте площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=97,5

Ответ: 97,5

Задание №3417

Площадь треугольника АВС равна 132. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Рассчитайте площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=99

Ответ: 99

Задание №5352

В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB= 14, BC=4, CD=30. Найдите четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=14+30-4=40

Ответ: 40

Задание №4790

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 45 и 16, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=16

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=122+32=154

Ответ: 154

Задание №4183

Дана равнобедренная трапеция. Основания трапеции равны 30 и 48. Радиус описанной окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Вычислите высоту трапеции

Решение

Сделаем построение, проведем высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=20

HO=7

Отсюда следует, высота трапеции равна KH=KO+HO=20+7=27

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 27

Задание №4275

Дан треугольник ABC. Стороны AC=12, BC=35, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=5

Ответ: 5

Задание №2148

Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 135, основание равно 162 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=8748

Подствавим значения и найдём полупериметр P=216

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=8748/216=40,5

Ответ: 40,5

Задание №3968

К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 23, 58, 80. Найдите периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=23+58+80=161

Ответ: 161

Задание №4906

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона CD= 67, AB= 77 . Вычислите периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 288

Ответ: 288

Задание №3856

Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 312. Рассчитайте диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, поэтому:

AB / 6 = P / 6 =312 / 6 = 52

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*52=104

Ответ: 104

Задание №2563

У трапеции, описанной около окружности, боковые стороны равны 8 и 15 . Вычислите среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 23 / 2 = 11,5

Ответ: 11,5

Задание №5808

Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 120°. Вычислите число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=120

180*n – 360 = 120 * n

n=6

Ответ: 6

Задание №3152

Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 105, ее большая боковая сторона равна 43 . Вычислите радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 4,75

Ответ: 4,75

содержание .. 41 42 43 44 ..